Esercizi Fisica generale

S

raggio r = 0.25 cm, resistenza R = 500 Ω, avvolta con N = 12 spire e orientata in modo che la sua normale formi un angolo

n

B B B

θ = 25˚ con l'asse del solenoide. All'istante t = 0 viene chiuso l'interruttore T e, tramite un generatore di f.e.m. V = 15 V, inizia

G

la fase di carica del circuito. Calcolare 1) il coefficiente di autoinduzione del solenoide; 2) la f.e.m. indotta ai capi della bobina

-5

all'istante t = 5 × 10 s. Successivamente, dopo che la corrente nel solenoide raggiunge il valore di regime, la bobina viene

estratta dal solenoide. Calcolare 3) la carica totale che fluisce nella bobina durante l'estrazione. Si consideri l'induttore come un

tratto lungo D di un solenoide lineare infinito.  

7 1

       

4 10 T m A 25 deg

μ0 π θ

  

rs 1.cm D 12 cm

  

rb 0.25 cm Nb 12  5

    

Rb 500 t0 5 10 s

Ω

  

Ns 250 Rc 10 Ω

 

Vg 15 V

Il coefficiente di autoinduzione si calcola dalla formula per un solenoide ideale di lunghezza D. Detta S la sezione

del solenoide e ns il numero di spire per unita' di lunghezza:

Ns

  

2 4 2 3 1 2 4

             

S rs 3.142 10 m ns 2.083 10 m Lc ns S D 2.056 10 H

π μ0

D

La f.e.m. indotta nella bobina e' data dalla legge di Faraday. Detto Φ il flusso concatenato dalla bobina e

B il campo nel solenoide, dalla legge che da' la corrente alla chiusura del circuito RL si trova:

   

Lc Vg t

 5

        

 

2.056 10 s i ( t ) 1 exp B ( t ) ns i ( t )

=

τ μ0

   

Rc Rc τ



2 5 2

      

Sb rb 1.963 10 m ( t ) B ( t ) Sb Nb cos

( )

=

π Φ θ

d d d d

                 

Vb ( t ) ( t ) ( B ( t ) Sb Nb cos

( ) ) ( ns i ( t ) Sb Nb cos

( ) ) ns Sb Nb cos

( ) i ( t )

= = = =

Φ θ μ0 θ μ0 θ

d t d t d t d t

    

  

Vg t Vg t

d d     

i ( t ) 1 exp exp

= =

    

  



Rc Rc

d t d t τ τ

τ

 

Vg t  3

           



Vb ( t ) ns Sb Nb cos

( ) exp Vb ( t0

) 3.584 10 V

μ0 θ  



Rc τ τ

La carica che scorre nella bobina durante l'estrazione si calcola dalla legge di Felici, tenendo presente che il flusso

nella bobina dopo l'estrazione e' nullo. Detta i la corrente a regime nel circuito RL:

Vg  

3 7

            

i 1.5 A B ns i 3.927 10 T B Sb Nb cos

( ) 8.386 10 Wb

μ0 Φ θ

Rc  9

Φ

  

Q 1.677 10 C

Rb

Spira&Bobina

Una grande spira circolare piana conduttrice di raggio R = 70 cm giace sul piano di un sistema cartesiano ed ha il

x-y

S

centro sull'origine O degli assi. La spira è percorsa da una corrente costante i che scorre nel verso indicato. Al centro

S

della spira viene posta una piccola bobina piana circolare di raggio R = 5 mm, avvolta con N = 40 spire e orientata in

B B

modo che la perpendicolare alla superficie della bobina sia inclinata di un angolo θ= 25 rispetto alla perpendicolare al

˚

piano Quando nella bobina viene fatta scorrere una corrente i = 0.5 A orientata nel verso indicato, il modulo del

x-y. B

-8

momento meccanico che agisce sulla bobina è τ = 2.5 × 10 N m. Assumendo che il campo B prodotto dalla spira sia

S

uniforme su tutta la superficie della bobina, calcolare: 1) la corrente i che scorre nella spira. Successivamente la bobina

S

viene lasciata libera di ruotare su se stessa fino ad assumere la posizione di equilibrio. Calcolare, in questa situazione

2) il modulo, la direzione e il verso del vettore B che rappresenta il campo totale prodotto dalla spira e dalla bobina al

centro della bobina stessa; 3) il coefficiente di mutua induzione M fra spira e bobina.  

7 1

     

4 10 T m A

μ0 π

 

Rs 50 cm

 

ib 0.20 A

 

Rb 5.0 mm

 

45 deg

θ 

Nb 20  8

   

2.5 10 N m

τ

La corrente che scorre nella spira si ricava dal modulo del momento meccanico che agisce sulla bobina. Il

momento meccanico e' dovuto al campo Bs prodotto dalla spira nella regione occupata dalla bobina. Dato il verso

della corrente il campo Bs al centro della spira e' diretto verso l'alto (cioe' in direzione + z). Detta S l'area della

bobina, dalla direzione della corrente ib indicata, il suo momento di dipolo magnetico Mb risulta pure diretto verso

l'alto e forma un angolo θ con il campo Bs. Allora abbiamo:

 

2 5 2 4 2

         

S Rb 7.854 10 m Mb S ib Nb 3.142 10 A m

π   

Mb B Mb Bs sin

( )

= =

τ τ θ

  

is 2 Rs Bs

 4

τ μ0

    

Bs 1.125 10 T Bs is 89.556 A

=

 

Mb sin

( ) 2 Rs

θ μ0

Quando la bobina raggiunge la posizione di equilibrio il suo campo Bb e' allineato e parallelo con quello della spira

Bs. Il campo totale e' la somma dei due, e sono entrambi diretti verso + z. Allora anche il campo totale e' diretto

verso + z e il suo modulo Btot vale:

 

ib Nb  

4 4

μ0

      

Bb 5.027 10 T Btot Bs Bb Btot 6.152 10 T



2 Rb

Per calcolare il coefficiente di mutua induzione M calcoliamo il flusso del campo Bs attraverso la superficie

della bobina, tenendo conto del numero delle spire Nb e dividiamo per la corrente is.

 

7 9

Φ

       

Bs S Nb 1.768 10 Wb M M 1.974 10 H

Φ is

Si noti che non conviene calcolare M dal flusso di Bb nella spira perche il campo Bb non e' costante

sulla superficie della spira grande.

Condensatore nel solenoide

Una spira circolare di raggio = 3.4 cm e resistenza = 0.22 kΩ contiene in serie un piccolo condensatore di capacità = 22 nF.

r R C

La spira è immersa in un campo magnetico uniforme, perpendicolare alla spira stessa, generato da un solenoide cilindrico, avvolto

con = 2000 spire/metro, assimilabile ad un tratto molto lungo di un solenoide lineare infinito. Il campo magnetico del solenoide,

n

inizialmente costante e di valore B0, e' portato a zero all'istante t2, con una legge B(t) = B k t per 0 < < per rimanere poi

– t t

0 2

nullo per t > t con t = 200 μs. Calcolare (trascurando l’autoinduzione della spira):

2 2

1. Il coefficiente di mutua induzione tra solenoide e spira.

2. Il valore della costante tale da indurre nella spira una forza elettromotrice = 0.45 V.

k V 0

3. la carica che si accumula sul condensatore, inizialmente scarico, al tempo = 3.3 μs.

q t

1 1

4. La potenza massima dissipata sulla resistenza durante il processo di carica del condensatore.

Al tempo il campo del solenoide cessa di variare, la f.e.m indotta nella spira si annulla e il condensatore inizia un processo di

t 2

scarica. Calcolare

5. la f.e.m. indotta dalla spira nel solenoide all'istante , 2 μs dopo l'inizio della fase di scarica

t 3   

9 7 1

        

C 22 10 F 4 10 T m A

μ0 π

 

6 6

     

t1 3.3 10 s t2 200 10 s

 6

    

t3 2 10 s B ( t ) B0 k t

= 3

    

r 3.4 cm R 0.22 10 Ω

 1

   

V0 0.45 V ns 2000 m

Detta S l'area della spira, e is la corrente nel solenoide, il coefficiente di mutua induzione M si calcola cosi':

  

ns is S

 

2 3 2 6

μ0

        

S r 3.632 10 m M M ns S 9.127 10 H

=

π μ0

is

La fem Vi indotta nella spira dalla variazione di B del solenoide e'

dΦ V0  1

d

         

V0 V0 S ( B0 k t ) S k k 123.91 T s

= = =

dt S

d t

Questa fem rimane costante fino al tempo t2 che risulta molto grande rispetto alla costante di tempo RC della spira. Infatti:

 6

   

RC R C 4.84 10 s

Allora la carica del condensatore obbedice alla legge del circuito RC e all'istante t1 si

trova:    

t1

       

Q C V0 1 exp 9

 

Q 4.894 10 C

   

RC

La potenza istantanea dissipata dipende dalla corrente ed e' massima al tempo t2 termina la fase di carica del

condensatore. Dato che t2>>RC la corrente massima imax raggiunge il valore di regime Vi/R.

V0  

3 2 4

      

imax 2.045 10 A Pmax R imax Pmax 9.205 10 W

R

All'istante t2 la fem indotta nella spira e' nulla e quindi inizia la scarica del condensatore attraverso la resistenza

della spira stessa. Contando il tempo t a partire dall'istante t2, la fem Vs indotta nel solenoide all'istante t3 dalla

variazione di flusso dovuta alla corrente i(t) di scarica nella spira si calcola dalle:

     

V0 t di V0 t

d

       

   

i ( t ) exp Vs M Vs M exp

= =

     

R RC dt R RC

d t

   

V0 1 t V0 t3  3

         

 

Vs

( t ) M exp Vs3 M exp Vs3 2.552 10 V

=    

R RC RC RC

2 

R C