Esercizi fattorizzazione Calcolo numerico

ESERCIZIO 1

A = \[\begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\0 & -2 & 3 \\-1 & 4 & -2 \end{bmatrix}\]b = \[\begin{bmatrix}0 \\5 \\1 \end{bmatrix}\]

1. Verificare le ipotesi del teorema per l'esistenza della fattorizzazione di Choleski
2. Trovare una matrice di permutazione per cui la matrice B ( = A permutata) soddisfi le ipotesi
3. Trovare la fattorizzazione \(B = LL^T\)
4. Risolvere \(By = c\) e ritrovare la soluzione x di Ax=b
5. Calcolare il determinante: \(det \left( A^3 \right)\)

Soluzione

1. Considero i minori di A :\[ A_1 = 2 , \quad A_2 = \begin{bmatrix}2 & -1 \\0 & -2 \end{bmatrix}\quad \Rightarrow \quad det A_2 = -4 < 0 \\\]

   Inoltre, A NON è simmetrica

2. Scambiando le colonne 2 e la colonna 3 ottengo :\[B =\begin{bmatrix}2 & 0 & -1 \\0 & 3 & -2 \\-1 & -2 & 4 \end{bmatrix}=AP = A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

   Osserviamo:

   • B è simmetrica
   • \[B_1 = 2 , \quad B_2 = \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 3\end{bmatrix}, \quad det B_2 = 6 > 0\]
   • \[ B_3 = B , \quad det B = 13 > 0\]

   \(\Rightarrow\) possiamo calcolare \(B = LL^T\)

ESERCIZIO 1

A = ^[ 2 -1 0 -0 2 -3 -1 4 2 _]     b = ^[ 0 5 1 _]

(A) Verificare le ipotesi del teorema per l'esistenza della fattorizzazione di Choleski

(B) Trovare una matrice di permutazione per cui la matrice B (= A permutata) soddisfi le ipotesi

(C) Trovare la fattorizzazione B = LL^T

(D) Risolvere By = c e ritrovare la soluzione x di Ax = b

(E) Calcolare il determinante: det(A³)

Soluzione

A) Considero i minori di A:

A₁ = 2 ,    A₂ = ^[ 2 -1 0 -2 _]      det A₂ = -4 < 0

Inoltre, A NON è simmetrica

B) Scambiando le colonne 2 e la colonna 3 ottengo:

B = ^[ 2 0 -1 0 3 -2 -1 -2 4 _]   = AP = A ^[ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 _]

Osserviamo:

• B è simmetrica
• B_A = 2 ,    B₂ = ^[ 2 0 0 3 _] , det B₂ = 6 > 0
• B₃ = B, det B = 13 > 0
• => possiamo calcolare B = LL^T

c)

²  2      0      -1    =      |     l₁₁   0   0    |    | l₁₁ l₂₁ l₃₁ |

0   3   -2            |   l₂₁ l₂₂   0    |    |    0  l₂₂ l₃₂ |

-1 -2    4  | l₃₁ l₃₂ l₃₃|   |    0  l₃₂ l₃₃ |

     ⇒      l₁₁² = 2    ⇒  l₁₁ = √2

     l₂₁ l₁₁ = 0    ⇒  l₂₁ = 0

     l₃₁ l₁₁ = -1   ⇒  l₃₁ = -1/√2

    l₂₂² + l₂₂² = 3   ⇒  l₂₂ = √3-0    = \sqrt{3}

     l₂₁ l₃₁ + l₂₁ l₃₂ = -2   ⇒  l₃₂ = -2/l₂₂    = -2/√3

    l₃₁² + l₃₂² + l₃₃² = 4  ⇒  l₃₃ = \sqrt{4-1/2-4/3}= √13/6

quindi:    L = \left[\begin{matrix} \sqrt{2}     0      0\\ 0  \sqrt{3}   0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{-1}{\sqrt{3}}  \frac{1}{\sqrt{6}} \end{matrix}\right]

d)

  A\, x\, = b

  AP = B    (con\quad p\cdot = p^{t}\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad p p^{t}=i)

\left(\begin{matrix}A\; P\; P^{t}\;  x\end{matrix}\right)\quad=\; \begin{pmatrix}b\; \begin{Vmatrix}b&\ y&\ ;\\ \end{Vmatrix}\begin{matrix} & c \end{\begin{pmatrix}

\Rightarr;       B = AP

  y = P^tx\

  c = b\,\,\,\ \Rightarr;\ x\ = Py

Rijadro\quad By = c :

       L L^{t}\;  \begin{Vmatrix}y\\ z \end{Vmatrix}& = & b

 \Rightarr;\quad\begin{cases} Lz = b\\ L^ty = z\\ \end{cases}

\left(\begin{Vmatrix} \sqrt{2} & \quad 0 \quad \quad 0\\ &\sqrt{3} \quad 0\\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \begin{Vmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\\ \end{matrix}\right)=\left(0\right)

L \quad\;& z_{1} = 0

& \quad\normalsize ;z_{2} = \frac{5}{\sqrt{3}}

z_{3} =&\sqrt{\frac{26}{3}}