Esercizi per esame scritto Meccanica Razionale

TTT I

-1-l-1- +

-r-i- \

-+

+-

-i-Tt-

-i-T- It -T-T- i

__]- I

I

I

t

: t_

-T-t

E -ì r--t]--i- -1-T-

I

I

l 7

ffi

i

I

I

I

I --+--

I

I ]-tr

-Tt-

--1-r-

.lt

-fi-

ll

----l---1-

-l-]_

ì-i-

il l

ffi

I

"ff- ìz ?n ,.,

r*l

f

tltttlllttt! tlttt

ffi

ffi

r l-+ I i

#i i

I L_ l.r{-*.i

-!-l---l--L-i--]

lllllr tr---+---.]-----l----

L-trtll

§rl i i_l

-i

-/rN I

i

1: litrlti il

ffi

+

ffi ++++ I--i-ll-l--i--[

-l--l- _I_T-

-----t--

-]_i_L_

!! _l-

r

I

I ---+--

i

r I

I

-1-T-T- ffitr

TT]-T-iT-r-i-

--t--l---r-----f--r

tlrtitit +++++

-ffi-rT-l-

7 1- 5r,qelzto

E L

-1.-_ -r

6- it

i^l-

€. l'

tnÀ& '>r t

* .- A\'' Ei:

"

-

',

t

'iJ^J " ! ffi

.):T',,

)fo',_

_L( \l\'-\-'1.

T'\ ;'l

j: I

r. :]... l.

[fn -- i]__

J ;ì:

J'vq/-! "j:

-'\,^(Ltt'tl-'. *

-t'.lt "r l'd, 0\q-

'

" I Q1.

t,0.* .\*l

-o=VÀr=i(

\+n ^ j

P. itt

Po-o= u/Nyhì*-:

^. I

$-i u

"

\++' 2 :/.Q

\ rhl

pn-o- :

-r p, I +*u

B-q a-ù rtthl

Fu- =

È , t,o

,U;,, J)) -t-

",tìg j;

ùvr.)t- Vr=it

-

(d i

vÀ-- !u : s,-&^-Y ù'-u"S'

<'' :

./ 'Y

ft, ,

t r -ìl^

e,A É;r" L

-

! lv'.env

(N,;M t;

I

<; i ' /.,

t 4

o

-v

lino;

-H I

tr ùsaù

JrB= i"* '*t-

rt

t| eI J

l/' ti ;"*

'i ".

L Mrlu

e,'u--fJr)'tl

*r.*& 3t

C»

''L lr

r;.r ot+.f.

"

, $,

o

". ,,

,l'i -

À^= - =

l,ù..

i ,1,

nn.U.§

dAt {,; * ^4"

,,,

.,,,iu.

ti i,,, i

,.'i

-,',\

y t '

l1&1r^,: [drl)

[À- lÈ J':

rJ\

li

'l=,i: 'ìJ

'

J

l,i ìil;

L

; : -+{d7-^:

i.f

-t

i-, n,,*$^t [;

r/\

z

, I,i;,

, I

,r -*.ru,)rv')l

J-4r01,,4* .\

il

d/+c

ffi,

ttfi \

r---i--r b

l-T-

fi-tì-,1

#i+

r!- I

I

Esercizio

Due punti materiali e , di ugual massa , sono vincolati a muoversi sulla circonferenza

P P m

1 2

di centro l'origine e raggio nel piano verticale ( ). Sia il punto piu' alto dove la

R O x; z A

circonferenza incontra l'asse . Sui due punti, oltre alla forza peso, agiscono tre molle di

z

ugual costante elastica 0, che collegano i due punti e con il punto e tra di

c > P P A

1 2

loro, rispettivamente (vedi gura).

1. Scrivere l'energia cinetica del sistema;

T

2. scrivere l'energia potenziale del sistema;

V

3. scrivere le equazioni di Lagrange;

4. integrare parzialmente le equazioni di Lagrange ricavando la conservazione dell'energia;

5. calcolare le posizioni di equilibrio;

6. studiare la stabilita' delle posizioni di equilibrio trovate.

1

Svolgimento

Il sistema ha due gradi di liberta'.

Si scelgano come coordinate Lagrangiane gli angoli e che i vettori e

P O P O

1 2 1 2

formano con l'asse , rispettivamente (vedi gura). Risulta allora:

x ^i ^

= ( cos + sin ) (1)

k

P O R

1 1 1

^i ^

= ( cos + sin ) (2)

k

P O R

2 2 2

per i vettori posizione, _ ^i ^

= ( sin + cos )

v k

R

1 1 1 1

_ ^i ^

= ( sin + cos )

v k

R

2 2 2 2

per le velocita' e  _ 2

^i ^ ^i ^

= ( sin + cos ) ( cos + sin )

a k k

R R

1 1 1 1 1 1 1

 _ 2

^i ^ ^i ^

= ( sin + cos ) ( cos + sin )

a k k

R R

2 2 2 2 2 2 2

per le accelerazioni.

1) L'energia cinetica del sistema e' data da:

1 1

= +

2 2

T mv mv

2 2

1 2

2 _ _

Siccome i due punti si muovono di moto circolare, abbiamo che = e = ,

v R v R

1 1 2 2

cosi' che 1 _ _

2 2

= ( + ) (3)

2

T mR

1 2

2

2) L'energia potenziale e' data da: 1 2 2 2

= + + ( + + )

V mgz mgz c AP AP P P :

1 2 1 2

1 2 2

Dalle equazioni (1) e (2) abbiamo = sin

z R

1 1

= sin

z R :

2 2

Usando il Teorema di Carnot (vedi gura), inoltre,

2 = 2 (1 cos( )) = 2 (1 sin )

2 2

AP R R

1 1 1

2

2 = 2 (1 cos( )) = 2 (1 sin )

2 2

AP R R

2 2 2

2

2 = 2 (1 cos( ))

2

P P R :

1 2 2 1

L'energia potenziale diventa dunque: 1

= (sin + sin ) + (2 ) (3 sin sin cos( ))

2

V mgR c R

1 2 1 2 2 1

2

che, eliminando le costanti e raggruppando i termini, diventa

= ( ) (sin + sin ) cos( ) (4)

2

V R mg cR c R

1 2 2 1

3

3) La Lagrangiana e' data da:

12

L _ _

12 22

= ( + ) + ( ) (sin + sin ) + cos( ))

2 2

mR R cR mg c R

1 2 2 1

e le sue derivate sono: L

@ = ( ) cos + sin( )

2

R cR mg c R

1 2 1

@

1

L

@ _

= 2

mR

_ 1

@ 1

L

@ = ( ) cos sin( )

2

R cR mg c R

2 2 1

@

2

L

@ _

= 2

mR :

_ 2

@ 2

Le equazioni di Lagrange sono dunque:

 + ( ) cos sin( ) =0 (5)

2 2

mR R mg cR c R

1 1 2 1

 + ( ) cos + sin( ) = 0 (6)

2 2

mR R mg cR cR

2 2 2 1

_ _

4) Moltiplicando ( ) e ( ) rispettivamente per e per abbiamo:

?? ??

1 2

 _ _ _

+ ( ) cos sin( ) =0

2 2

mR R mg cR c R

1 1 1 1 1 2 1

 _ _ _

+ ( ) cos + sin( ) = 0

2 2

mR R mg cR cR :

2 2 2 2 2 2 1

Sommando le due equazioni otteniamo:

 _  _ _ _ _ _

( + ) + ( ) ( cos + ) cos + ( ) sin( ) = 0

2 2

mR R mg cR c R

1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1

che, integrata rispetto al tempo, o re:

8 9

0 1

< =

_ _

2 2

d

@ A

1 2

+ + ( ) (sin + sin ) cos( ) = 0

2 2

mR R mg cR cR

: ;

1 2 2 1

2 2

dt 4

Come appare dalle ( ) e ( ), nell'espressione in parentesi gra a si riconosce l'energia

?? ??

totale del sistema, = + .

E T V

5) Calcoliamo le derivate prime dell'energia potenziale:

@V = ( ) cos sin( ) (7)

2

R mg cR cR

1 2 1

@

1

@V = ( ) cos + sin( ) (8)

2

R mg cR cR

2 2 1

@

2

Le con gurazioni di equilibrio si ottengono uguagliando a zero le ( ) e ( ):

?? ??

( ( ) cos sin( ) = 0

2

R mg cR cR

1 2 1 (9)

( ) cos + sin( ) = 0

2

R mg cR cR

2 2 1

Sommando le due equazioni del sistema ( ) si ottiene

??

( )(cos + cos ) =0 (10)

R mg cR

1 2

le cui soluzioni vanno poi sostituite in una delle due equazioni del sistema ( ) per ottenere

??

le soluzioni complete. L'equazione ( ) puo' essere soddisfatta da (A) = 0 o da

?? mg cR

(B) cos + cos = 0.

1 2

Esaminiamo prima il caso (A). Con = le equazioni del sistema ( ) si riducono a

??

mg cR

sin( ) = 0

;

2 1

ovvero = oppure = + . Otteniamo percio' due famiglie di con gurazioni di

2 1 2 1

equilibrio, = ( ) e = ( + ) con arbitrario.

; ;

1 1 1 2 1 1 1

Esaminiamo ora il caso (B). Dall'equazione cos + cos = 0 otteniamo che

1 2

(B1) = oppure (B2) = + .

2 1 2 1

Esaminiamo prima il caso (B1). Sostituendo = nella prima delle ( ) abbiamo:

??

2 1

( ) cos sin( 2 ) = 0

2

R mg cR cR

1 1

( ) cos sin(2 ) = 0

mg cR cR

1 1

( ) cos 2 sin cos = 0

mg cR cR

1 1 1

cos ( 2 sin ) = 0

mg cR cR :

1 1

5

Quest'ultima equazione e' soddisfatta per (B11) cos = 0 oppure per

1

(B12) + 2 sin = 0.

mg cR cR 1

(B11) = 2, oppure = 3 2. Nel primo caso = 2, nel secondo = 2

= = = =

1 1 2 2

ovvero = 3 2. Le nuove con gurazioni di equilibrio sono dunque = ( 2 2) e

= = ; =

2 3

= (3 2 3 2).

= ; =

4 j j

(B12) sin = ( ) (2 ), che esiste per (2 ) 1, o anche (dopo qualche

cR mg = cR cR mg = cR

1

passaggio) 3. Sia = sin ( ) (2 ) appartenente al I quadrante (se

1

cR > mg= cR mg = cR

0

0) o al IV quadrante (se 0). Abbiamo allora = e = ,

cR mg > cR mg <

1 0 1 0

che danno = e = , rispettivamente. Le con gurazioni di equilibrio che

2 0 2 0

corrispondono a queste soluzioni sono = ( ) e = ( ).

; ;

5 0 0 6 0 0

Esaminiamo ora il caso (B2). Sostituendo = + nella prima delle ( ) abbiamo:

??

2 1

( ) cos sin =0

2

R mg cR cR

1

ovvero cos = 0, vale a dire = 2 oppure = 3 2, che danno = 3 2 e

= = =

1 1 1 2

= 5 2, ovvero = 2 rispettivamente. Le corrispondenti con gurazioni di equilibrio

= =

2 2

sono dunque = ( 2 3 2) e = (3 2 2).

= ; = = ; =

7 8

Riassumendo, abbiamo trovato otto con gurazioni di equilibrio,

= ( ) arbitrario,

; ;

1 1 1 1

= ( + ) arbitrario,

; ;

2 1 1 1

= ( 2 2)

= ; =

3 = (3 2 3 2)

= ; =

4 = ( )

;

5 0 0

= ( )

;

6 0 0

= ( 2 3 2)

= ; =

7 = (3 2 2)

= ; =

8

Le con gurazioni e rappresentano due famiglie ad un parametro di equilibri ed

1 2

esistono nel caso in cui = . Le con gurazioni e esistono solo se 3 e

mg cR cR > mg=

5 6

6

con = sin ( ) (2 ) (determinazione del I o del IV quadrante).

1

cR mg = cR

0

6) Calcoliamo le derivate seconde dell'energia potenziale:

2

@ V

= ( ) sin + cos( ) (11)

2

R cR mg cR

V 1 2 1

11 2

@ 1

2

@ V

= ( ) sin + cos( ) (12)

2

V R cR mg cR

22 2 2 1

2

@ 2

2

@ V

= cos( ) (13)

2

V cR :

12 2 1

@

1 2

La stabilita' delle otto con gurazioni di equilibrio trovate discende dallo studio delle

matrici Hessiane corrispondenti a ciascun equilibrio.

Per (ricordiamo che = in questo c