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Abbiamo dunque complessivamente due configurazioni di equilibrio Q e Q

1 2

date da

F

F − l cos ϕ , ϕ ; Q = + l cos ϕ , π + ϕ . (13)

Q = 0 0 2 0 0

1 k k

Per studiare la stabilità di Q e Q dobbiamo calcolare la matrice hessiana

1 2

dell’energia potenziale. Abbiamo per le derivate seconde:

2

∂ V = k (14)

2

∂s

2

∂ V l 2 2 2

−m − − −

= g sin ϕ k s l cos ϕ k l (cos ϕ sin ϕ) (15)

2

∂ϕ 2

2

∂ V −k

= l sin ϕ (16)

∂s ∂ϕ

Sostituendo le configurazioni di equilibrio troviamo, dopo qualche passaggio,

per le matrici hessiane H e H nei due equilibri:

1 2

−k

k l sin ϕ 0

H = (17)

1,2 2

2 2

−k −

l sin ϕ k l sin ϕ l F (1 + tan ϕ ) cos ϕ

0 0 0 0

2

−k

che danno det(H ) = l F (1 + tan ϕ ) cos ϕ , il cui segno dipende da

1,2 0 0

cos ϕ . La configurazione di equilibrio Q è quindi incondizionatamente stabi-

0 2

le mentre Q è incondizionatamente instabile.

1

Le reazioni vincolari sul sistema sono: la reazione vincolare Φ = Φ i + Φ j

O x y

b b

nell’origine e le reazioni Φ = Φ j e Φ = Φ j nei punti D ed E. La prima

D D E E

b b

equazione cardinale sull’asta all’equilibrio ci da’

− −

Φ m g j + k (K B) = 0 (18)

O b

Scomposta lungo le due direzioni coordinate da’:

Φ k (s + l cos ϕ) = 0

x −

Φ m g = 0

y

e quindi le componenti della reazione vincolare in O all’equilibrio sono

Φ = k (s + l cos ϕ) = F

x

Φ = m g.

y

La prima equazione cardinale della statica applicata alla lamina quadrata,

− − −

Φ + Φ M g j + k (B K) F i = 0, (19)

E D b b

3

scomposta lungo le direzioni coordinate, ci dà

k (s + l cos ϕ) F = 0 (20)

Φ + Φ M g = 0 (21)

E D

La prima equazione è una delle equazioni dell’equilibrio che abbiamo già trova-

to. La seconda equazione non è sufficiente a determinare separatamente Φ e

E

Φ , quindi dobbiamo usare anche la seconda equazione cardinale. Scegliendo

D

il centro di massa della lamina P come polo abbiamo:

0

− × − × − × −

(E P ) Φ + (D P ) Φ + (K P ) [k (B K)] = 0 (22)

0 E 0 D 0

Proiettando lungo k si ha:

b − − −

L (Φ Φ ) k (s + l cos ϕ) (l sin ϕ L) = 0 (23)

D E

− − −

L (Φ Φ ) F (l sin ϕ L) = 0. (24)

D E

Le reazioni vincolari Φ e Φ sono quindi date dal sistema

D E

Φ + Φ = M g (25)

D E F −

− (l sin ϕ L) (26)

Φ Φ =

D E L

da cui otteniamo

1 l

Φ = sin ϕ (27)

Mg F + F

D 2 L

1 l

− sin ϕ . (28)

Φ = Mg + F F

E 2 L

Ricordando la relazione trigonometrica tan ϕ

±

sin ϕ = p 2

1 + tan ϕ

otteniamo all’equilibrio: mg

sin ϕ =

0 p 2 2 2

4 F + m g

mg

sin(ϕ + π) =

0 p 2 2 2

4 F + m g

e usando i dati dell’equilibrio abbiamo in Q :

1 !

1 F mgl

Mg F +

Φ = (29)

D p

2 L 2 2 2

4 F + m g !

1 F mgl

Φ = Mg + F . (30)

E p

2 L 2 2 2

4 F + m g

4

Esercizio 2.

Una lamina piana omogenea di massa m è costituita da un disco di centro C

e raggio R nel quale è praticato un foro quadrato concentrico di lato R. La

lamina si muove nel piano verticale O(x, y) ed è libera di ruotare attorno al

centro C, a sua volta libero di scorrere senza attrito sull’asse y. Sui punti

diametrali A e B agiscono due forze: una molla di costante elastica k > 0, che

collega A con l’origine O, e una forza costante applicata in B, parallela alla

direzione dell’asse y nel verso positivo. Il sistema ha due gradi di libertà; si

scelgano come coordinate lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con

s > 0 quando C sta sotto di O. Si chiede di:

y O x

k > 0 s F

B

R R θ

C Φ

C

A m

• calcolare la matrice d’inerzia della lamina in un sistema di riferimento

con l’origine in C e gli assi paralleli ai lati del quadrato;

• scrivere l’energia potenziale del sistema;

• calcolare le configurazioni di equilibrio;

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate;

• scrivere l’energia cinetica del sistema;

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto C agisca una

forza viscosa di costante λ. 5

.

La matrice d’inerzia I della lamina è data dalla differenza delle matrici I del

D

disco pieno e I del foro quadrato:

Q −

I = I I , (31)

D Q

con le matrici I e I calcolate con la densità della lamina. Le masse del disco

D Q

pieno m e del foro quadrato m sono date dalla soluzione del sistema

D Q −

m m = m (32)

D Q 2

π R

m D = = π (33)

2

m R

Q

da cui ricaviamo π m (34)

m =

D −

π 1

1

m = m (35)

Q −

π 1

Per le matrici d’inerzia del disco e del quadrato facciamo riferimento alle

espressioni ricavate a lezione:  

1 0 0

1 2 0 1 0

I = m R (36)

D D  

4 0 0 2

per il disco e  

1 0 0

1 2 0 1 0

m R . (37)

I =

Q Q  

12 0 0 2

per il quadrato (che ha lato R). In conclusione:

 

1 0 0

1 2 − 0 1 0

I = R (3 m m ) . (38)

D Q  

12 0 0 2

L’energia potenziale del sistema contiene tre contributi: quello della forza peso,

quello della molla e quello della forza costante applicata in B:

1 2

− −

V = m g y + k (A O) F y = (39)

C B

2

1 2 2

−m − −

= g s + k R + s + 2 R s sin θ F (R sin θ s) (40)

2 6

I punti critici dell’energia potenziale, che corrispondono alle configurazioni di

equilibrio, sono dati dalle soluzioni del sistema

∂V =0

∂s

∂V =0

∂θ

ovvero ∂V ≡ −m g + k (s + 2 R sin θ) + F = 0 (41)

∂s

∂V ≡ −

k R s cos θ F R cos θ = 0. (42)

∂θ

Calcoliamo anche le derivate seconde dell’energia potenziale, in preparazione

per lo studio della stabilità: 2

∂ V

V = = k (43)

ss 2

∂s

2

∂ V

V = = 2 k R cos θ (44)

sθ ∂s∂θ

2

∂ V −R −

V = = (k s F ) sin θ. (45)

θθ 2

∂θ

Il sistema (41)-(42) si riduce a: −

mg F

s + 2 R sin θ = (46)

k

(k s F ) cos θ = 0. (47)

La seconda equazione è soddisfatta per

(i) cos θ = 0, che fornisce i due valori θ = π/2 e θ = 3 π/2;

1 1

(ii) s = F/k, che fornisce sin θ = (m g 2 F )/(2 k R).

Il secondo insieme di soluzioni esiste solo quando

mg 2 F ≤ 1

2 kR

7 − −

e in tal caso abbiamo θ = arcsin(m g 2 F )/(2 k R) e θ = π θ . I due

3 4 3

insiemi di soluzioni danno le seguenti configurazioni di equilibrio Q(s, θ):

mg F −

Q = 2 R, π/2 (48)

1 k

mg F

Q = + 2 R, 3 π/2 (49)

2 k

F

Q = , θ (50)

3 3

k

F −

Q = , π θ (51)

4 3

k

Nelle configurazioni Q e Q abbiamo V = 0, quindi la stabilità è determinata

1 2 sθ

da V :

θθ −

Q : V = R [2 (F + R) m g] (52)

1 θθ − −

Q : V = R [2 (F R) m g] . (53)

2 θθ

≤ − ≤

Q è stabile se 2 (F + R) m g mentre Q è stabile se 2 (F R) m g. In Q

1 1 3

e Q abbiamo V = 0, quindi il determinante della matrice hessiana è negativo

4 θθ

e gli equilibri non sono stabili.

Calcoliamo ora le reazioni vincolari all’equilibrio. L’unica reazione vincolare

presente è Φ = Φ i. Dalla prima equazione cardinale della statica lungo

C C b

l’asse x abbiamo: −

Φ k x = 0 (54)

C A

e quindi −k

Φ = k x = R cos θ. (55)

C A

Nelle configurazioni Q e Q abbiamo Φ = 0; in Q e Q abbiamo rispettiva-

1 2 C 3 4

−k

mente Φ = R cos θ e Φ = k R cos θ .

C 3 C 3

L’energia cinetica del sistema va calcolata con il teorema di König. Dato che

C è il centro di massa abbiamo: 1 1 1

1 2 2 2 2

m v + I ω = m ṡ + I θ̇ (56)

T = 33 33

C

2 2 2 2

dove 1 2 −

I = R (3 m m )

33 D Q

6 8

è l’elemento della matrice d’inerzia dell’equazione (38). La lagrangiana del

L −

sistema è = T V . Abbiamo

∂L = m ṡ (57)

∂ ṡ

∂L = I θ̇ (58)

33

∂ θ̇

∂L − −

= m g k (s + 2 R sin θ) F (59)

∂s

∂L −k

= R s cos θ + F R cos θ. (60)

∂θ

La forza viscosa che agisce sul punto C è data da:

−λ −λ

F = v = (−

ṡ j) = λ ṡ j. (61)

λ C b b

Le forze generalizzate relative alla forza viscosa sono date da:

∂C · −λ

· = λ ṡ j (−

j) = ṡ (62)

Q = F

s λ b b

∂s

∂C

·

Q = F =0 (63)

θ λ ∂θ

e le equazioni di Lagrange sono:

− −λ

m s̈ m g + k (s + 2 R sin θ) + F = ṡ (64)

−k

I θ̈ = R s cos θ + F R cos θ (65)

33 9

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l Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 16 luglio 2015

Una lamina piana omogenea di massa m è costituita da un disco di centro C e raggio R nel

quale è praticato un foro quadrato di lato R/2 ed il cui centro Q è situato a distanza R/2 dal

centro del disco. Sia inoltre AB il diametro passante per C e Q. La lamina si muove nel piano

verticale O(x, y) ed è libera di ruotare attorno al punto A, a sua volta libero di scorrere senza

attrito sull’asse y. Sui punti diametrali A e B agiscono due molle di costante elastica k > 0,

che collegano A e B rispettivamente con l’origine O e con il punto K, proiezione di B sull’asse

x. Il sistema ha due gradi di libertà; si scelgano come coordinate lagrangiane i parametri s e θ

indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede di:

y K

O x

k > 0

s k > 0

A R C

θ Q

m R/2 B

• calcolare la matrice d’inerzia della lamina (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto A agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 16 luglio 2015

Una lamina piana omogenea di massa m è costituita da un quadrato di centro C e lato L nel

quale è praticato un foro circolare di raggio L/8 ed il cui centro Q è situato a distanza L/4

dal centro del quadrato sul segmento AB che unisce i punti medi di due lati opposti e passa

per C. La lamina si muove nel piano verticale O(x, y) ed è libera di ruotare attorno al punto

A, a sua volta libero di scorrere senza attrito sull’asse y. Sui punti A e B agiscono due molle

di costante elastica k > 0, che collegano A e B rispettivamente con l’origine O e con il punto

K, proiezione di B sull’asse x. Il sistema ha due gradi di libertà; si scelgano come coordinate

lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede

y K

O x

k > 0

s k > 0

A m

θ C Q

R=L/8 B

L

di: • calcolare la matrice d’inerzia della lamina (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto A agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

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Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2013/2014

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 settembre 2014

1. Un disco non omogeneo di raggio R e centro C si muove nel piano verticale O(x, y). Il

centro C è libero di scorrere senza attrito lungo l’asse y ed il disco può ruotare attorno

a C. Il diametro AB divide il disco in due semicerchi di masse M ed m. Due molle di

ugual costante elastica k > 0 collegano i punti diametrali A e B con i punti H e Q posti

−a

sull’asse x, di ascisse rispettivamente e b. Dopo aver determinato il numero di gradi

di libertà e scelto le coordinate lagrangiane,

(i) determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità.;

(ii) quanto deve valere λ = k R/(m g) nel caso particolare M = 2 m, b = R ed a = 2 R,

affinchè il diametro AB sia, all’equilibrio, inclinato di π/4 rispetto all’orizzontale?

y

a b

H Q

O x

k > 0

B

m

k > 0 C

R M

A

(Per gli studenti di Fisica Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica).

2. Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema dell’esercizio precedente, supponendo il

disco omogeneo con massa M e che sul centro C agisca una forza viscosa di costante λ.

(Per gli studenti di Fisica Matematica: scrivere le equazioni del moto usando le equazioni

cardinali della dinamica, senza forze viscose).

3. Una lamina piana è costituita da un quadrato ABCD di lato 2 L nel quale vengono

praticati due fori: un cerchio nel quadrante inferiore destro tangente ai lati del quadrato

ed un quadrato di lato l nel quadrante superiore sinistro, con il centro Q sulla retta

mediana dei due quadranti superiori e posto a distanza λ dal lato sinistro del quadrato.

In figura: AB = BC = 2 L; DH = L/2; QH = λ. Con riferimento alla terna solidale

O(x, y, z) indicata in figura, per quale valore di λ gli assi principali formano un angolo di

p 2/π?

π/4 con quelli di partenza se l = L

y λ C

D Q

H l 2 L x

A= O B

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2013/2014

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 settembre 2014

1. Un manubrio è costituito da un’asta AB priva di massa , ai cui estremi sono saldati due

dischi di raggio R e masse M ed m. Il sistema si muove nel piano verticale O(x, y). Il

punto medio dell’asta C è libero di scorrere senza attrito lungo l’asse y ed il manubrio

può ruotare attorno a C. Due molle di ugual costante elastica k > 0 collegano i punti

−a

A e B con i punti H e Q posti sull’asse x, di ascisse rispettivamente e b. Dopo aver

determinato il numero di gradi di libertà e scelto le coordinate lagrangiane,

(i) determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità.;

(ii) quanto deve valere λ = k R/(m g) nel caso particolare M = 2 m, b = R ed a = 2 R,

affinchè l’asta AB sia, all’equilibrio, inclinata di π/4 rispetto all’orizzontale?

y

a b

H Q

O x

k > 0

B

k > 0 m,R

C

l

M,R A

(Per gli studenti di Fisica Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica).

2. Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema dell’esercizio precedente, supponendo che

sul punto C agisca una forza viscosa di costante λ e che i due dischi abbiano la stessa

massa, M .

(Per gli studenti di Fisica Matematica: scrivere le equazioni del moto usando le equazioni

cardinali della dinamica, senza forze viscose).

3. Una lamina piana è costituita da un cerchio di raggio R nel quale vengono praticati due

fori: un cerchio di centro Q e raggio r nel quadrante superiore sinistro, con il centro Q sulla

bisettrice del II e IV quadrante a distanza λ da C, ed un quadrato CHKD di lato l = R/2

nel quadrante inferiore destro, con i lati CH e CD disposti lungo due direzion diametrali

e parallele agi assi coordinati x ed y. Con riferimento alla terna solidale indicata in figura,

per quale valore di λ gli assi principali della figura formano un angolo di π/4 con quelli

6π?

di partenza se r = R/

y R

Q

λ D

C K

H x

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Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2013/2014

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 17 luglio 2014

1. Un’asta non omogenea AB di lunghezza 4L si muove nel piano verticale O(x, y). Il punto

medio C è libero di scorrere senza attrito sull’asse x e l’asta è libera di ruotare attorno

a C. La metà AC ha massa M e la metà CB ha massa m. Oltre alla forza di gravità,

sull’asta agiscono due molle: una molla BK di costante elastica k > 0 ed una molla AH

1

di costante elastica k > 0, e dove K è la proiezione ortogonale dell’estremo B sull’asse y

2

ed H è la proiezione ortogonale dell’estremo A sull’asse x (quindi K ed H sono mobili).

Dopo aver determinato il numero di gradi di libertà e scelto le coordinate lagrangiane,

(i) determinare le configurazioni di equilibrio per valori generici dei parametri;

(ii) scrivere le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità nel caso m = M/2 e

M g = 4k L.

2 y k > 0

1 B

K 2 L, m

H x

O C

k > 0

2 2 L, M

A

(Per gli studenti di Fisica Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica).

2. Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema dell’esercizio precedente, supponendo che

sull’estremo B agisca una forza viscosa di costante λ.

(Per gli studenti di Fisica Matematica: scrivere le equazioni del moto usando le equazioni

cardinali della dinamica, senza forze viscose).

3. Una gogna è costituita schematicamente da una lamina piana rettangolare non omogenea

ABCD, di lati AB = a e AD = 2b e massa M , privata del semicerchio di diametro

RS = a/2, il cui centro Q coincide con il punto medio ai AB (vedi figura). Siano H e

K i punto medi dei lati AD e BC, m la massa della parte ABHK (privata del foro) ed

M m la massa della parte HKCD.

Calcolare la matrice d’inerzia della lamina rispetto alla terna O(x, y, z) mostrata in figura.

Calcolare quindi le direzioni principali d’inerzia con l’origine in O. Per quale valore del

rapporto b/a gli assi principali formano un angolo di π/4 con quelli di partenza?

y C

D M-m

H K

m x

A= O S

R Q B

r I

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I

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I

Esercizio

Due punti materiali e , di ugual massa , sono vincolati a muoversi sulla circonferenza

P P m

1 2

di centro l'origine e raggio nel piano verticale ( ). Sia il punto piu' alto dove la

R O x; z A

circonferenza incontra l'asse . Sui due punti, oltre alla forza peso, agiscono tre molle di

z

ugual costante elastica 0, che collegano i due punti e con il punto e tra di

c > P P A

1 2

loro, rispettivamente (vedi gura).

1. Scrivere l'energia cinetica del sistema;

T

2. scrivere l'energia potenziale del sistema;

V

3. scrivere le equazioni di Lagrange;

4. integrare parzialmente le equazioni di Lagrange ricavando la conservazione dell'energia;

5. calcolare le posizioni di equilibrio;

6. studiare la stabilita' delle posizioni di equilibrio trovate.

1

Svolgimento

Il sistema ha due gradi di liberta'.

Si scelgano come coordinate Lagrangiane gli angoli e che i vettori e

P O P O

1 2 1 2

formano con l'asse , rispettivamente (vedi gura). Risulta allora:

x ^i ^

= ( cos + sin ) (1)

k

P O R

1 1 1

^i ^

= ( cos + sin ) (2)

k

P O R

2 2 2

per i vettori posizione, _ ^i ^

= ( sin + cos )

v k

R

1 1 1 1

_ ^i ^

= ( sin + cos )

v k

R

2 2 2 2

per le velocita' e  _ 2

^i ^ ^i ^

= ( sin + cos ) ( cos + sin )

a k k

R R

1 1 1 1 1 1 1

 _ 2

^i ^ ^i ^

= ( sin + cos ) ( cos + sin )

a k k

R R

2 2 2 2 2 2 2

per le accelerazioni.

1) L'energia cinetica del sistema e' data da:

1 1

= +

2 2

T mv mv

2 2

1 2

2 _ _

Siccome i due punti si muovono di moto circolare, abbiamo che = e = ,

v R v R

1 1 2 2

cosi' che 1 _ _

2 2

= ( + ) (3)

2

T mR

1 2

2

2) L'energia potenziale e' data da: 1 2 2 2

= + + ( + + )

V mgz mgz c AP AP P P :

1 2 1 2

1 2 2

Dalle equazioni (1) e (2) abbiamo = sin

z R

1 1

= sin

z R :

2 2

Usando il Teorema di Carnot (vedi gura), inoltre,

2 = 2 (1 cos( )) = 2 (1 sin )

2 2

AP R R

1 1 1

2

2 = 2 (1 cos( )) = 2 (1 sin )

2 2

AP R R

2 2 2

2

2 = 2 (1 cos( ))

2

P P R :

1 2 2 1

L'energia potenziale diventa dunque: 1

= (sin + sin ) + (2 ) (3 sin sin cos( ))

2

V mgR c R

1 2 1 2 2 1

2

che, eliminando le costanti e raggruppando i termini, diventa

= ( ) (sin + sin ) cos( ) (4)

2

V R mg cR c R

1 2 2 1

3

3) La Lagrangiana e' data da:

12

L _ _

12 22

= ( + ) + ( ) (sin + sin ) + cos( ))

2 2

mR R cR mg c R

1 2 2 1

e le sue derivate sono: L

@ = ( ) cos + sin( )

2

R cR mg c R

1 2 1

@

1

L

@ _

= 2

mR

_ 1

@ 1

L

@ = ( ) cos sin( )

2

R cR mg c R

2 2 1

@

2

L

@ _

= 2

mR :

_ 2

@ 2

Le equazioni di Lagrange sono dunque:

 + ( ) cos sin( ) =0 (5)

2 2

mR R mg cR c R

1 1 2 1

 + ( ) cos + sin( ) = 0 (6)

2 2

mR R mg cR cR

2 2 2 1

_ _

4) Moltiplicando ( ) e ( ) rispettivamente per e per abbiamo:

?? ??

1 2

 _ _ _

+ ( ) cos sin( ) =0

2 2

mR R mg cR c R

1 1 1 1 1 2 1

 _ _ _

+ ( ) cos + sin( ) = 0

2 2

mR R mg cR cR :

2 2 2 2 2 2 1

Sommando le due equazioni otteniamo:

 _  _ _ _ _ _

( + ) + ( ) ( cos + ) cos + ( ) sin( ) = 0

2 2

mR R mg cR c R

1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1

che, integrata rispetto al tempo, o re:

8 9

0 1

< =

_ _

2 2

d

@ A

1 2

+ + ( ) (sin + sin ) cos( ) = 0

2 2

mR R mg cR cR

: ;

1 2 2 1

2 2

dt 4

Come appare dalle ( ) e ( ), nell'espressione in parentesi gra a si riconosce l'energia

?? ??

totale del sistema, = + .

E T V

5) Calcoliamo le derivate prime dell'energia potenziale:

@V = ( ) cos sin( ) (7)

2

R mg cR cR

1 2 1

@

1

@V = ( ) cos + sin( ) (8)

2

R mg cR cR

2 2 1

@

2

Le con gurazioni di equilibrio si ottengono uguagliando a zero le ( ) e ( ):

?? ??

( ( ) cos sin( ) = 0

2

R mg cR cR

1 2 1 (9)

( ) cos + sin( ) = 0

2

R mg cR cR

2 2 1

Sommando le due equazioni del sistema ( ) si ottiene

??

( )(cos + cos ) =0 (10)

R mg cR

1 2

le cui soluzioni vanno poi sostituite in una delle due equazioni del sistema ( ) per ottenere

??

le soluzioni complete. L'equazione ( ) puo' essere soddisfatta da (A) = 0 o da

?? mg cR

(B) cos + cos = 0.

1 2

Esaminiamo prima il caso (A). Con = le equazioni del sistema ( ) si riducono a

??

mg cR

sin( ) = 0

;

2 1

ovvero = oppure = + . Otteniamo percio' due famiglie di con gurazioni di

2 1 2 1

equilibrio, = ( ) e = ( + ) con arbitrario.

; ;

1 1 1 2 1 1 1

Esaminiamo ora il caso (B). Dall'equazione cos + cos = 0 otteniamo che

1 2

(B1) = oppure (B2) = + .

2 1 2 1

Esaminiamo prima il caso (B1). Sostituendo = nella prima delle ( ) abbiamo:

??

2 1

( ) cos sin( 2 ) = 0

2

R mg cR cR

1 1

( ) cos sin(2 ) = 0

mg cR cR

1 1

( ) cos 2 sin cos = 0

mg cR cR

1 1 1

cos ( 2 sin ) = 0

mg cR cR :

1 1

5

Quest'ultima equazione e' soddisfatta per (B11) cos = 0 oppure per

1

(B12) + 2 sin = 0.

mg cR cR 1

(B11) = 2, oppure = 3 2. Nel primo caso = 2, nel secondo = 2

= = = =

1 1 2 2

ovvero = 3 2. Le nuove con gurazioni di equilibrio sono dunque = ( 2 2) e

= = ; =

2 3

= (3 2 3 2).

= ; =

4 j j

(B12) sin = ( ) (2 ), che esiste per (2 ) 1, o anche (dopo qualche

cR mg = cR cR mg = cR

1

passaggio) 3. Sia = sin ( ) (2 ) appartenente al I quadrante (se

1

cR > mg= cR mg = cR

0

0) o al IV quadrante (se 0). Abbiamo allora = e = ,

cR mg > cR mg <

1 0 1 0

che danno = e = , rispettivamente. Le con gurazioni di equilibrio che

2 0 2 0

corrispondono a queste soluzioni sono = ( ) e = ( ).

; ;

5 0 0 6 0 0

Esaminiamo ora il caso (B2). Sostituendo = + nella prima delle ( ) abbiamo:

??

2 1

( ) cos sin =0

2

R mg cR cR

1

ovvero cos = 0, vale a dire = 2 oppure = 3 2, che danno = 3 2 e

= = =

1 1 1 2

= 5 2, ovvero = 2 rispettivamente. Le corrispondenti con gurazioni di equilibrio

= =

2 2

sono dunque = ( 2 3 2) e = (3 2 2).

= ; = = ; =

7 8

Riassumendo, abbiamo trovato otto con gurazioni di equilibrio,

= ( ) arbitrario,

; ;

1 1 1 1

= ( + ) arbitrario,

; ;

2 1 1 1

= ( 2 2)

= ; =

3 = (3 2 3 2)

= ; =

4 = ( )

;

5 0 0

= ( )

;

6 0 0

= ( 2 3 2)

= ; =

7 = (3 2 2)

= ; =

8

Le con gurazioni e rappresentano due famiglie ad un parametro di equilibri ed

1 2

esistono nel caso in cui = . Le con gurazioni e esistono solo se 3 e

mg cR cR > mg=

5 6

6

con = sin ( ) (2 ) (determinazione del I o del IV quadrante).

1

cR mg = cR

0

6) Calcoliamo le derivate seconde dell'energia potenziale:

2

@ V

= ( ) sin + cos( ) (11)

2

R cR mg cR

V 1 2 1

11 2

@ 1

2

@ V

= ( ) sin + cos( ) (12)

2

V R cR mg cR

22 2 2 1

2

@ 2

2

@ V

= cos( ) (13)

2

V cR :

12 2 1

@

1 2

La stabilita' delle otto con gurazioni di equilibrio trovate discende dallo studio delle

matrici Hessiane corrispondenti a ciascun equilibrio.

Per (ricordiamo che = in questo caso) abbiamo ( ) = ( ) = ( )=

cR mg V V V

1 11 1 22 1 12 1

e la matrice Hessiana e'

2

cR !

2 2

cR cR

= ( ) =

H H

1 1 2 2

cR cR

con det( ) = 0, e quindi non e' stabile.

H 1 1

Per (anche in questo caso = ) abbiamo ( ) = ( ) = ( )= .

2

cR mg V V V cR

2 11 2 22 2 12 2

La matrice Hessiana e' !

2 2

cR cR

= ( ) =

H H

2 2 2 2

cR cR

Gli elementi diagonali sono negativi e det( ) = 0; quindi anche non e' stabile.

H 2 2

Per abbiamo ( ) = ( ) = 2 e ( ) = . La matrice Hessiana

2 2

V V cR mgR V cR

3 11 3 22 3 12 3

e' !

2 2 2

cR mgR cR

= ( ) =

H H

3 3 2

2 2

cR cR mgR

con det( ) = (2 ) . La con gurazione di equilibrio e' dunque stabile

2 2 2 4

H cR mgR c R

3

se ( 2 0

2

cR mgR >

(2 ) 0

2 2 2 4

cR mgR c R >

( 2 0

2

cR mgR >

2 2 2

cR mgR > cR

7

ovvero e' stabile per .

cR > mg

3

Per abbiamo ( ) = ( ) = e ( ) = . La matrice Hessiana e'

2

V V mgR V cR

4 11 4 22 4 12 4 !

2

mgR cR

= ( ) =

H H

4 4 2

cR mgR

con det( ) = ( ) . La con gurazione di equilibrio e' dunque stabile se

2 2 4

H mgR c R

4

( ) 0, ovvero .

2 2 4

mgR c R > mg > cR

Per abbiamo

5 ( ) = ( ) sin + cos( 2 ) =

2

V R cR mg cR

11 5 0 0

= ( ) sin cos(2 ) = ( )

2

R cR mg cR V

0 0 22 5

( ) = cos( 2 ) =

2

V cR

12 5 0

= cos(2 )

2

cR 0

e la matrice Hessiana e' !

( ) sin cos(2 ) cos(2 )

2 2

R cR mg cR cR

0 0 0

= ( ) =

H H cos(2 ) ( ) sin cos(2 )

5 5 2 2

cR R cR mg cR

0 0 0

con determinante det( ) = [ ( ) sin cos(2 )] (2 ). La

2 2 2 4 2

H R cR mg cR c R cos

5 0 0 0

con gurazione di equilibrio e' dunque stabile se

( ( ) sin cos(2 ) 0

2

R cR mg cR >

0 0 2

[ ( ) sin cos(2 )] (2 ) 0

2 2 4 2

R cR mg cR c R cos >

0 0 0

ovvero ( ( ) sin cos(2 ) 0

2

R cR mg cR >

0 0

( ) sin 2 ( ) cos(2 ) sin 0

2

2 2 3

R cR mg cR cR mg >

0 0 0

Sostituendo = 2 sin , il sistema si riduce a

cR mg cR 0

( 4 sin 1 0

2 >

0

3 sin sin 0

4 2

>

0 0 p p

3 ( 3 + 2).

la cui soluzione e' sin 1 3, ovvero, dopo qualche passaggio,

2 =

> = cR < mg

0

Aggiungendo la condizione di esistenza della con gurazione di equilibrio , otteniamo

p p 5

3 ( 3 + 2) per la stabilita' di .

3 =

mg= < cR < mg 5

Gli elementi della matrice Hessiana per sono gli stessi di e quindi valgono le stesse

6 5

considerazioni. 8

Per abbiamo

7 ( ) = ( ) =

2

V R cR mg cR mgR

11 7

( ) = ( ) = 2

2 2

V R mg cR cR mgR cR

22 7

( ) = 2

V cR

12 7

e la matrice Hessiana e' !

2

mgR cR

= ( ) =

H H

7 7 2

2 2

cR mgR cR

Essendo uno degli elementi sulla diagonale negativo, la con gurazione di equilibrio e'

7

instabile.

Per abbiamo

8 ( ) = ( ) = 2

2 2

V R mg cR cR mgR cR

11 8

( ) = ( ) =

2

V R cR mg cR mgR

22 8

( ) = 2

V cR

12 8

e la matrice Hessiana e' !

2 2 2

mgR cR cR

= ( ) =

H H

8 8 2

cR mgR

Essendo uno degli elementi sulla diagonale negativo, anche la con gurazione di equilibrio

e' instabile.

8 9

Esercizio.

Consideriamo il sistema mostrato in figura 1, costituito da due aste e

AC BC,

di ugual massa ed ugual lunghezza vincolate con cerniera nell’estremo

b L,

comune ed i cui estremi e sono vincolati a scorrere senza attrito su

C A B

una guida orizzontale. Vogliamo scrivere le equazioni del moto e determinare

le reazioni vincolari utilizzando le equazioni cardinali della dinamica.

y C

θ x

O A B

s

Figura 1: Il corpo rigido ed il sistema solidale

Equazioni del moto.

Il sistema ha due gradi di libertà; scegliamo come variabili lagrangiane l’ascissa

di e l’amgolo che l’asta forma con la verticale (vedi figura 1).

C ϕ AC Atten-

il sistema non è rigido, ma è composto da due parti rigide, che vanno

zione:

studiate separatamente. Nell’applicare le equazioni cardinali a ciascuna asta,

dobbiamo rappresentare l’azione dell’altra asta mediante una forza vincolare

interna di mutua interazione, applicata all’estremo comune Chiamiamo

C.

tale forza di reazione quando applicata all’asta e −Φ quando appli-

AC

Φ C C

cata all’asta Le due forze obbediscono al principio di azione e reazione di

BC.

Newton sono pertanto opposte. Dalla simmetria del problema, avendo le aste

ugual massa ed ugual lunghezza, ci aspettiamo una forza di reazione interna

parallela all’asse questo però lo vogliamo ricavare dalle equazioni e dalla loro

x; b b

soluzione, quindi diamo a una direzione generica, quindi = Φ + Φ

Φ Φ i j.

C C x y

b

Su ciascuna asta agisce inoltre la forza peso −m applicata ai centri di mas-

g j, b

sa e delle due aste, e le forze di reazione agli estremi, = Φ e

P P Φ j

A B A A

b

= Φ Il diagramma delle forze è illustrato in figura 2. Per scrivere le

Φ j.

B B

equazioni cardinali, scegliamo i due centri di massa e quali punti rispet-

P P

A B

to ai quali calcolare i momenti. Abbiamo dunque le equazioni cardinali della

dinamica per l’asta AC, (A)

= (1)

m a R

A

(A) (A)

(P ) = (P ) (2)

K̇ M

A A

1 C

C Φ j

Φ j Φ −Φ B

A C C

P P

A B B

A -m g j

-m g j

Figura 2: Il diagramma delle forze

e per l’asta BC (B)

= (3)

m a R

B

(B) (B)

(P ) = (P ), (4)

K̇ M

B B (A) (B)

dove ed sono le accelerazioni dei centri di massa e , ed

P P

a a R R

A B A B

sono le risultanti delle forze agenti rispettivamente sull’asta e sull’asta

AC BC,

(A) (B) (A)

(P ) e (P ) sono i momenti risultanti sulle due aste e (P ) e

M M K

A B A

(B) (P ) i due momenti angolari. Dobbiamo innanzitutto trovare posizione,

K B

velocità ed accelerazione dei centri di massa e . Abbiamo:

P P

A B

L

L b

b

sin + cos (5)

− = − θ θ

P O s i j

A 2 2

L L

b b

− = + sin + cos (6)

P O s θ θ

i j

B 2 2

L L

b b

= − cos − sin (7)

θ θ

ṡ θ̇ θ̇

i j

v

A 2 2

L L

b b

= + cos − sin (8)

ṡ θ̇ θ θ̇ θ

v i j

B 2 2

L L

b b

2 2

= − cos − sin − sin + cos (9)

s̈ θ̈ θ θ̇ θ θ̈ θ θ̇ θ

a i j

A 2 2

L L

b b

2 2

= + cos − sin − sin + cos (10)

s̈ θ̈ θ θ̇ θ θ̈ θ θ̇ θ

a i j

B 2 2

I momenti angolari rispetto ai centri di massa, tenendo conto che quando θ

aumenta (e quindi 0) l’asta ruota in senso orario e l’asta in senso

θ̇ > AC BC

antiorario, sono dati da 1

b b

(A) 2

(P ) = −I(P ) = − (11)

θ̇ m L θ̇

K k k

A A 12

1

b b

(B) 2

(P ) = ) = (12)

I(P θ̇ m L θ̇

K k k

B B 12

2

Le risultanti delle forze esterne sono b

b

(A) = Φ − + (13)

m g

R j j Φ

A C

b b

(B) = Φ − − (14)

m g

R j j Φ C

B

mentre per i momenti risultanto abbiamo b

(A) (P ) = (A − ) × (Φ + (C − ) ×

P P

M j) Φ

A A A A C

L L

b b

= − Φ sin + (Φ sin − Φ cos (15)

θ θ θ)

k k

A y x

2 2 b

(B) (P ) = (B − ) × (Φ + (C − ) × (−Φ )

P P

M j)

B B B B C

L

L b b

Φ sin + (Φ cos + Φ sin (16)

= θ θ θ)

k k

B x y

2 2

Sostituiamo ora le (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) ed (16) nelle equazioni

b b

cardinali (1)-(4), scomponiamo lungo le direzioni degli assi e ed otteniamo

i j

cosı̀:

L 2

− cos − sin = Φ (17)

m s̈ θ̈ θ θ̇ θ x

2

L 2

−m sin + cos = Φ + Φ − (18)

θ̈ θ θ̇ θ m g

y A

2

L 2

cos

+ − sin = −Φ (19)

θ̈

m s̈ θ θ̇ θ x

2

L 2

−m sin + cos = −Φ + Φ − (20)

θ̈ θ θ̇ θ m g

y B

2

1 L

2

− = [(Φ − Φ ) sin − Φ cos (21)

m L θ̈ θ θ]

y A x

12 2

1 L

2 = [(Φ + Φ ) sin + Φ cos (22)

m L θ̈ θ θ]

y B x

12 2

Sommando e sottraendo (17) con (19), (18) con (20) e (21) con (22) abbiamo:

= 0 (23)

2

cos − sin = −2 Φ (24)

m L θ̈ θ θ̇ θ x

2

−m sin + cos = Φ + Φ − 2 (25)

L θ̈ θ θ̇ θ m g

A B

2 Φ + Φ − Φ = 0 (26)

y A B

2 Φ + Φ − Φ = 0 (27)

y B A

1 L

2 = [(Φ + Φ ) sin + 2 Φ cos (28)

m L θ̈ θ θ]

B A x

6 2

La (23) può essere risolta per la coordinata con = + dove

s, s(t) s(0) ṡ(0) t,

e sono dati dalle condizioni iniziali. Dalle (26) e (27) ricaviamo che

s(0) ṡ(0) 3

Φ = 0 e Φ = Φ . Le rimanenti equazioni diventano

y B A

2

cos − sin = −2 Φ (29)

m L θ̈ θ θ̇ θ x

2

sin + cos = 2 Φ − 2 (30)

−m θ̈ θ θ̇ θ m g

L A

1 = Φ sin + Φ cos (31)

m L θ̈ θ θ

A x

6

Moltiplicando la (29) per cos e la (30) per sin e sottraendole otteniamo

θ θ

L

Φ sin + Φ cos = −m + sin

θ θ θ̈ m g θ;

A x 2

sostituendo nella (31) abbiamo finalmente l’equazione del moto:

3 g sin = 0 (32)

− θ

θ̈ 2 L

Una volta ottenuta la soluzione dell’equazione del moto a partire dalle condi-

zioni iniziali, sono note le funzioni e che, sostituite nelle (29) e

θ(t), θ̇(t) θ̈(t)

(30) danno i valori delle reazioni vincolari.

Reazioni vincolari.

Abbiamo dalle (29) e (30):

mL 2

Φ = sin − cos (33)

θ̇ θ θ̈ θ

x 2

mL 2

Φ = − sin + cos (34)

m g θ̈ θ θ̇ θ

A 2

Inoltre, già sappiamo che Φ = Φ e che Φ = 0, quindi il calcolo delle

B A y

reazioni vincolari interne ed esterne in funzione della soluzione e delle sue

θ(t)

derivate temporali è completo. È peraltro utile conoscere le reazioni vincolari

in funzione delle coordinate lagrangiane scelte, in questo caso il solo angolo θ.

Per ottenere questo risultato dobbiamo sfruttare gli integrali primi del moto.

In questo caso è sufficiente la sola conservazione dell’energia, che però necessita

delle condizioni iniziali. Siano dunque = (35)

θ(0) θ

0

= (36)

θ̇(0) ω 0

4

le condizioni iniziali. Moltiplichiamo ora l’equazione del moto (32) per θ̇:

3 g

− sin = 0

θ̇ θ̈ θ̇ θ

2 L

" #

2 3

d g d

θ̇ + [cos = 0

θ]

2 2

dt L dt

" #

2 3 g

d θ̇ + cos = 0

θ

2 2

dt L

2 2

3 3

g ω g

θ̇ 0

+ cos = costante = + cos da cui

θ θ

0

2 2 2 2

L L

3 g

2 2

= + (cos − cos

θ̇ ω θ θ)

0

0 L

Dall’equazione del moto sappiamo inoltre che

3 g

= sin

θ̈ θ

2 L

e, sostituendo nelle (33) e (34), otteniamo le reazioni vincolari in funzione

dell’angolo:

3

mL g 2

Φ = − sin sin +

m g θ θ ω

A 0

2 2 L

3 g (cos − cos cos (37)

+ θ θ) θ

0

L

3

mL g

2

Φ = + (cos − cos sin

ω θ θ) θ

x 0

0

2 L

3 g

− sin cos

θ θ

2 L

3 9

mL g

2

= + cos sin − cos sin (38)

θ θ m g θ θ.

ω 0

0

2 2

L

Inoltre, come già sappiamo, Φ = Φ e Φ = 0.

B A y

5

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica

Anno Accademico 2015/2016

FisicaMatematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 12 luglio 2016

1. Un disco di massa M , centro C e raggio R si muove nel piano verticale O(x, y), libero

di ruotare attorno al suo centro C, a sua volta libero di scorrere senza attrito sulla retta

bisettrice del II e IV quadrante. Infine, due molle di ugual costante k > 0 collegano il

punto del bordo A con il punto H, proiezione ortogonale di A sull’asse x, e il centro C

con l’origine O. Scegliendo quali coordinate lagrangiane i parametri s (la distanza con

segno di C da O considerata positiva quando C sta sotto di O) e θ (l’angolo che il vettore

A − C forma con la direzione orizzontale) come indicati in figura, si chiede di:

• scrivere le posizioni di A, H e C in funzione di s e θ;

• scrivere l’espressione vettoriale di tutte le forze agenti sul sistema, specificandone il

punto di applicazione;

• deteminare le configurazioni di equilibrio e le reazioni vincolari nelle configurazioni

di equilibrio mediante le equazioni cardinali della statica.

y H x

O k> 0 k> 0

s A

θ

C R,M

2. Una lamina piana di massa M è costituita da un disco di centro O e raggio R privato

di un semidisco di centro O e raggio r, il cui diametro è disposto lungo la bisettrice del

II e IV quadrante (vedi figura). Calcolare la matrice d’inerzia della lamina nel sistema

O(x, y, z) mostrato in figura, con l’asse z perpendicolare al piano della lamina. Non si

possono usare le formule dei momenti d’inerzia notevoli svolte durante il corso.

y x

O

R r

M

Preferenze data orale:

• Giovedı̀ 14/7

• Venerdı̀ 15/7

• Giovedı̀ 21/7

• Venerdı̀ 22/7

• Settembre Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica

Anno Accademico 2015/2016

Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 12 luglio 2016

1. Un disco di massa M , centro C e raggio R si muove nel piano verticale O(x, y), libero

di ruotare attorno al suo centro C, a sua volta libero di scorrere senza attrito sulla retta

bisettrice del II e IV quadrante. Infine, due molle di ugual costante k > 0 collegano il

punto del bordo A con il punto H, proiezione ortogonale di A sull’asse y, e il centro C

con l’origine O. Scegliendo quali coordinate lagrangiane i parametri s (la distanza con

segno di C da O considerata positiva quando C sta sotto di O) e θ (l’angolo che il vettore

A − C forma con la direzione orizzontale) come indicati in figura, si chiede di:

• scrivere le posizioni di A, H e C in funzione di s e θ;

• scrivere l’espressione vettoriale di tutte le forze agenti sul sistema, specificandone il

punto di applicazione;

• deteminare le configurazioni di equilibrio e le reazioni vincolari nelle configurazioni

di equilibrio mediante le equazioni cardinali della statica.

y x

O k> 0

s

H A

k> 0 θ

C R,M

2. Una lamina piana di massa M è costituita da un disco di centro O e raggio R privato

di un semidisco di centro O e raggio r, il cui diametro è disposto lungo la bisettrice del

I e III quadrante (vedi figura). Calcolare la matrice d’inerzia della lamina nel sistema

O(x, y, z) mostrato in figura, con l’asse z perpendicolare al piano della lamina. Non si

possono usare le formule dei momenti d’inerzia notevoli svolte durante il corso.

y r x

O R

M

Preferenze data orale:

• Giovedı̀ 14/7

• Venerdı̀ 15/7

• Giovedı̀ 21/7

• Venerdı̀ 22/7

• Settembre

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica

Anno Accademico 2015/2016

Meccanica Razionale

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 16 aprile 2016

1. Un disco di centro C, raggio R e massa M rotola senza strisciare lungo un piano inclinato.

L’angolo formato dal piano con l’asse x è di π/6. Una molla di costante elastica k > 0

collega il centro del disco C con il punto materiale P di massa M , libero di scorrere senza

attrito sull’asse x. Sul punto P agisce inoltre una forza costante di modulo F diretta

lungo il verso positivo dell’asse x.Scegliendo come coordinate lagrangiane la distanza s

del punto di contatto Q del disco sul piano inclinato dall’origine O e l’ascissa r del punto

P sull’asse x, scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema.

y M

C Q

k> 0

s F

π

/

O r x

P,M

2. Nel sistema O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia della lamina di

massa m ivi rappresentata, costituita dalla figura “ad L” OABCDEO, i cui lati brevi mi-

surano L e i lati lunghi 2 L, privata del cerchio di raggio R = L/2 tangente (internamente)

ai lati OA e OE della figura ad L.

y L D

E C B

Q m

 x

O A

L

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2015/2016

Meccanica Razionale

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 16 aprile 2016

1. Un disco di centro C, raggio R e massa M rotola senza strisciare lungo un piano inclinato.

L’angolo formato dal piano con l’asse x è di π/6. Una molla di costante elastica k > 0

collega il centro del disco C con il punto materiale P di massa M , libero di scorrere senza

attrito sull’asse y. Sul punto P agisce inoltre una forza costante di modulo F diretta

lungo il verso positivo dell’asse y.Scegliendo come coordinate lagrangiane la distanza s

del punto di contatto Q del disco sul piano inclinato dall’origine O e l’ordinata r del punto

P sull’asse y, scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema.

y M

C

k> 0 Q

P,M

r s

π

/

O x

2. Nel sistema O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia della lamina di

massa m ivi rappresentata, costituita dalla figura “a T ” OABCDEF GO, in OA = GB =

L, OG = AB = ED = F C = 2 L, EF = DC = L/2, privata del cerchio di raggio

R = L/2 tangente (internamente) ai lati OA, OG e AB della figura a T .

y D

E 

L/

C

B

F G m

 L Q x

L

O A

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 14 novembre 2015

Una lamina piana omogenea di massa m è costituita da un disco di centro C e raggio R nel

quale è praticato un foro quadrato concentrico di lato R. La lamina si muove nel piano verticale

O(x, y) ed è libera di ruotare attorno al centro C, a sua volta libero di scorrere senza attrito

sull’asse y. Sui punti diametrali A e B agiscono due forze: una molla di costante elastica k > 0,

che collega A con l’origine O, e una forza costante applicata in B, parallela alla direzione

dell’asse y nel verso positivo. Il sistema ha due gradi di libertà; si scelgano come coordinate

lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con s > 0 quando C sta sotto di O. Si chiede

di: y O x

k > 0 s F

B

R R θ

C

A m

• calcolare la matrice d’inerzia della lamina in un sistema di riferimento con l’origine in C

e gli assi paralleli ai lati del quadrato (7 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (5 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (6 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto C agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 14 novembre 2015

Una lamina piana omogenea di massa m è costituita da un quadrato di centro C e lato 2 L nel

quale è praticato un foro circolare concentrico di raggio L/2. La lamina si muove nel piano

verticale O(x, y) ed è libera di ruotare attorno al centro C, a sua volta libero di scorrere senza

attrito sull’asse y. Sui punti diametrali A e B, appartenenti al bordo del foro, agiscono due

forze: una molla di costante elastica k > 0, che collega A con l’origine O, e una forza costante

applicata in B, parallela alla direzione dell’asse y nel verso positivo. Il sistema ha due gradi di

libertà; si scelgano come coordinate lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con s > 0

quando C sta sotto di O. Si chiede di: y O x

k > 0 s F

B θ

C

L/2

A m

2 L

• calcolare la matrice d’inerzia della lamina in un sistema di riferimento con l’origine in C

e gli assi paralleli ai lati del quadrato (7 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (5 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (6 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto C agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

. Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 9 settembre 2015

Un sistema piano è costituito da un’asta omogenea AB di massa M e lunghezza L sul cui

estremo B è saldato un disco omogeneo di massa m, raggio R = L/4 e centro B. Il sistema si

muove nel piano verticale O(x, y) e l’asta è libera di ruotare attorno al punto A, a sua volta

libero di scorrere senza attrito sull’asse y. Sul punto A agisce una molla di costante elastica

k > 0, che collega A con l’origine O; sull’estremo B agisce una forza di modulo costante F e

diretta parallelamente all’asse y. Il sistema ha due gradi di libertà; si scelgano come coordinate

lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede:

y

O x

s k > 0

A L, M F

θ m

B

R=L/4 0 0 0 0

• calcolare la matrice d’inerzia del sistema in un sistema solidale A(x , y , z ) con l’asse x

0 0

lungo l’asta, l’asse y sul piano del moto e l’asse z ortogonale ad esso (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto B agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 9 settembre 2015

Un sistema piano è costituito da un disco omogeneo di massa M e raggio R e da un’asta

omogenea CD di massa m, saldata sul disco, con gli estremi C e D sul bordo del disco e

disposta perpendicolarmente al diametro AB con il punto medio a distanza R/2 dal centro del

disco. Il sistema si muove nel piano verticale O(x, y) ed è libero di ruotare attorno al punto A,

a sua volta libero di scorrere senza attrito sull’asse y. Sul punto A agisce una forza di modulo

costante F e parallela all’asse y, mentre sul punto B, diametralmente opposto ad A, agisce

una molla di costante elastica k > 0, che collega B con il punto K, proiezione di B sull’asse

x. Il sistema ha due gradi di libertà; si scelgano come coordinate lagrangiane i parametri s e θ

indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede di:

y K

O x

s F k > 0

A R, M D

θ R/2

m Q B

C 0 0 0 0

• calcolare la matrice d’inerzia del sistema in un sistema solidale A(x , y , z ) con l’asse x

0 0

lungo il diametro AB, l’asse y sul piano del moto e l’asse z ortogonale ad esso (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto B agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 16 luglio 2015

Una lamina piana omogenea di massa m è costituita da un disco di centro C e raggio R nel

quale è praticato un foro quadrato di lato R/2 ed il cui centro Q è situato a distanza R/2 dal

centro del disco. Sia inoltre AB il diametro passante per C e Q. La lamina si muove nel piano

verticale O(x, y) ed è libera di ruotare attorno al punto A, a sua volta libero di scorrere senza

attrito sull’asse y. Sui punti diametrali A e B agiscono due molle di costante elastica k > 0,

che collegano A e B rispettivamente con l’origine O e con il punto K, proiezione di B sull’asse

x. Il sistema ha due gradi di libertà; si scelgano come coordinate lagrangiane i parametri s e θ

indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede di:

y K

O x

k > 0

s k > 0

A R C

θ Q

m R/2 B

• calcolare la matrice d’inerzia della lamina (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto A agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 16 luglio 2015

Una lamina piana omogenea di massa m è costituita da un quadrato di centro C e lato L nel

quale è praticato un foro circolare di raggio L/8 ed il cui centro Q è situato a distanza L/4

dal centro del quadrato sul segmento AB che unisce i punti medi di due lati opposti e passa

per C. La lamina si muove nel piano verticale O(x, y) ed è libera di ruotare attorno al punto

A, a sua volta libero di scorrere senza attrito sull’asse y. Sui punti A e B agiscono due molle

di costante elastica k > 0, che collegano A e B rispettivamente con l’origine O e con il punto

K, proiezione di B sull’asse x. Il sistema ha due gradi di libertà; si scelgano come coordinate

lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede

y K

O x

k > 0

s k > 0

A m

θ C Q

R=L/8 B

L

di: • calcolare la matrice d’inerzia della lamina (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto A agisca una forza viscosa di

costante λ (4 punti).

.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 17 giugno 2015

1. Un’asta omogenea di lunghezza L e massa m si muove nel piano verticale O(x, y), libera

di ruotare attorno al suo estremo A, a sua volta libero di scorrere sull’asse y. Sugli estremi

A e B agiscono due molle di costante elastica k > 0, che collegano A e B rispettivamente

con l’origine O e con il punto K, proiezione di B sull’asse x. Determinare le configurazioni

y K

O x

k > 0

A L k > 0

m B

di equilibrio e studiarne la stabilità; determinare quindi le reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazio-

ni di Lagrange, supponendo che sull’estremo B agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Calcolare la matrice d’inerzia del sistema rigido rappresentato in figura, rispetto al sistema

di riferimento solidale O(x, y, z) ivi mostrato. Il sistema è costituito da due dischi di massa

m e raggio R, di centri rispettivamente O e C = (3R, 0), e dall’asta omogenea AB di

lunghezza 5 R e massa M , disposta parallelamente all’asse x a distanza 2 R dall’ asse.

Infine, calcolare per quale valore di λ = M/m gli assi principali d’inerzia formano un

y 5 R

H K

A B

M m

m R R R x

O C

angolo di π/8 rispetto a quelli dati.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 17 giugno 2015

1. Una circonferenza omogenea di raggio R e massa m è libera di ruotare attorno al punto

A del bordo nel piano verticale O(x, y). Il punto A è inoltre libero di scorrere sull’asse

y. Due molle di costante elastica k > 0, collegano i punti A e B, diametralmente oppo-

sto ad A, rispettivamente con l’origine O e con il punto K, proiezione di B sull’asse x.

Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità; determinare quindi le

y K

O x

k > 0 k > 0

A R B

m

reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange, supponendo che sul punto B agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Calcolare la matrice d’inerzia del sistema rigido rappresentato in figura, rispetto al sistema

di riferimento solidale O(x, y, z) ivi mostrato. Il sistema è costituito da due dischi di massa

m e raggio R, di centri rispettivamente A = (0, R) e B = (3R, R), e dall’asta omogenea

AB di lunghezza 3 R e massa M , disposta parallelamente all’asse x a distanza R dall’

asse. Infine, calcolare per quale valore di λ = M/m gli assi principali d’inerzia formano

y R R

A B

M m

m R x

O

un angolo di π/8 rispetto a quelli dati.

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 febbraio 2015

1. Una lamina piana omogenea quadrata ABCD di massa m e lato L si muove nel piano

verticale O(x, y). Il vertice A scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare

attorno ad esso. Una molla di costante k > 0 collega il vertice C (opposto ad A) con l’o-

rigine O. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità; determinare

y A x

O D

L,m

k > 0 B C

quindi le reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange, nell’ipotesi che sul punto C agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia della

figura piana di massa M ivi mostrata, costituita da una semicirconferenza di raggio R e

del suo diametro OA. L’angolo formato dal diametro OA e l’asse x è di π/6.

y x

M,R

O A

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 febbraio 2015

1. Una lamina piana omogenea quadrata ABCD di massa m e lato L si muove nel piano

verticale O(x, y). Il vertice A scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare

attorno ad esso. Una molla di costante k > 0 collega il centro di massa con l’origine O.

Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità; determinare quindi le

y A x

O D

k > 0 L,m

B C

reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange, nell’ipotesi che sul punto C agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia della

lamina piana omogenea ivi mostrata, costituita dal rettangolo OABC di dimensioni a e

b. L’angolo formato dal lato OA e l’asse x è di π/6.

y C B x

b

O A

a

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 febbraio 2015

1. Un disco piano omogeneo di massa m e raggio R si muove nel piano verticale O(x, y). Il

punto A del bordo scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare attor-

no ad esso. Una molla di costante k > 0 collega il centro C del disco con l’origine O.

Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità; determinare quindi le

y A x

O C

k > 0 R,m

reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange, nell’ipotesi che sul punto C agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia

semicerchio piano omogeneo di massa M e raggio R ivi mostrato. L’angolo formato dal

diametro OA e l’asse x è di π/6.

y x

M,R R,M

O A

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 febbraio 2015

1. Un disco piano omogeneo di massa m e raggio R si muove nel piano verticale O(x, y). Il

punto A del bordo scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare attorno ad

esso. Una molla di costante k > 0 collega il punto B del bordo diametralmente opposto

ad A con l’origine O. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità;

y A x

O R,m

C

k > 0 B

determinare quindi le reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange, nell’ipotesi che sul punto C agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia del

quarto di cerchio di raggio R e massa M ivi mostrato. L’angolo formato dal raggio OA

con l’asse y è di π/6. y

B A

M,R x

O

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 febbraio 2015

1. Un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza L si muove nel piano verticale O(x, y).

L’estremo A scorre senza attrito sull’asse x e l’asta è libera di ruotare attorno ad esso.

Una molla di costante k > 0 collega l’estremo B con l’origine O. Determinare le con-

y A x

O L,m

k > 0 B

figurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità; determinare quindi le reazioni vincolari

all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange, nell’ipotesi che sul punto B agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia

della lamina piana triangolare omogenea OAB di massa M ivi mostrata; il triangolo è

rettangolo in O ed i cateti hanno lunghezza a e b. Inoltre, l’angolo formato dal cateto

OB con l’asse x è di π/6. A

y b M x

O a B

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 11 febbraio 2015

1. Un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza L si muove nel piano verticale O(x, y).

L’estremo A scorre senza attrito sull’asse x e l’asta è libera di ruotare attorno ad esso.

Una molla di costante k > 0 collega il punto medio dell’asta con l’origine O. Determinare

y A x

O k > 0 L,m B

le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità; determinare quindi le reazioni vin-

colari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange, nell’ipotesi che sul punto B agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia del

sistema ivi mostrato, costituito da due aste OA ed OB, di ugual massa M ed ugual

lunghezza L. L’angolo fra le due aste è di π/4 mentre l’angolo formato dall’asta OB con

l’asse x è di π/6. y A

M,L x B

M,L

O

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 15 gennaio 2015

1. Una lamina piana omogenea quadrata ABCD di massa m e lato L si muove nel piano

verticale O(x, y). Il vertice A scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare

attorno ad esso. Una molla di costante k > 0 collega il vertice C (opposto ad A) con

la sua proiezione H sull’asse y, mentre sul vertice A agisce una forza costante F diretta

parallelamente all’asse x. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabi-

y k > 0 C

H D L,m B F

x

O A

lità; determinare quindi le reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia

della lamina piana non omogenea ABCD mostrata in figura, costituita da una lamina

rettangolare di dimensioni a a 2 a, avente la metà ad x > 0 di massa 2 m a quella ad

x < 0 di massa m, e privata di un semicerchio, di centro il punto medio del lato AB e

raggio R = a/2. y C

D 2 m

m

a O x

A B

a a

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 15 gennaio 2015

1. Un disco piano omogeneo di centro C, massa m e raggio R si muove nel piano verticale

O(x, y). Il punto A del bordo scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare

attorno ad esso. Una molla di costante k > 0 collega il punto B del bordo, diametralmen-

te opposto ad A, con la sua proiezione H sull’asse y, mentre sul punto A agisce una forza

costante F diretta parallelamente all’asse x. Determinare le configurazioni di equilibrio e

y k > 0 B

H R,m C F x

O A

studiarne la stabilità; determinare quindi le reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia della

lamina piana non omogenea mostrata in figura, costituita da una lamina semicircolare di

centro O e raggio R, avente la metà ad x > 0 di massa 2 m a quella ad x < 0 di massa m,

e privata di un rettangolo, disposto simmetricamente rispetto all’asse y e di dimensioni

2 R ed R. y

m 2 m x

O

A B

D

C

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 15 gennaio 2015

1. Una lamina piana omogenea quadrata ABCD di massa m e lato L si muove nel piano

verticale O(x, y). Il vertice A scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare

attorno ad esso. Una molla di costante k > 0 collega il vertice C (opposto ad A) con

la sua proiezione H sull’asse y, mentre sul vertice B agisce una forza costante F diretta

parallelamente all’asse x. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabi-

y k > 0 C

H D B

L,m F

x

O A

lità; determinare quindi le reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia

della lamina piana non omogenea ABCD mostrata in figura, costituita da una lamina

rettangolare di dimensioni a a 2 a, avente la metà ad x > 0 di massa 2 m a quella ad

x < 0 di massa m, e privata di un semicerchio, di centro il centro O del rettangolo, con

il diametro parallelo all’asse x e raggio R = a/2.

y C

D

a O x

m 2 m

A B

a a

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 15 gennaio 2015

1. Un disco piano omogeneo di massa m e raggio R si muove nel piano verticale O(x, y). Il

punto A del bordo scorre senza attrito sull’asse x e la lamina è libera di ruotare attorno

ad esso. Una molla di costante k > 0 collega il centro C del disco con la sua proiezione H

sull’asse y, mentre sul punto B, diametralmente opposto ad A, agisce una forza costante

F diretta parallelamente all’asse x. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne

y k > 0 B

R,m

H C F x

O A

la stabilità; determinare quindi le reazioni vincolari all’equilibrio.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: determinare le configurazioni di equilibrio usando

le equazioni cardinali della statica.

2. Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente usando le equazioni

di Lagrange.

Per gli studenti di Fisica-Matematica: scrivere il momento angolare del sistema ed il

momento risultante delle forze esterne rispetto al punto A.

3. Nel sistema di riferimento O(x, y, z) mostrato in figura, calcolare la matrice d’inerzia della

lamina piana non omogenea mostrata in figura, costituita da una lamina semicircolare di

centro O e raggio R, avente la metà ad x > 0 di massa 2 m a quella ad x < 0 di massa

m, e privata di un rettangolo di centro il punto C situato sull’asse y a distanza R da O,

disposto simmetricamente rispetto all’asse y e di dimensioni 2 R ed R.

y

M L

C

m 2 m

H K x

O

A B

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2013/2014

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...................................................

N. Matricola ................................................... Ancona, 5 novembre 2014

1. Un sistema materiale è costituito da una lamina piana omogenea di massa M e lato 2 L

e da un’asta AB di lunghezza l e massa m. La lamina scorre con un lato sull’asse x ed

−F

è soggetta ad una forza costante F = i che agisce sul centro di massa P . L’estremo

0

b

A dell’asta, che sta sull’asse x e coincide con l’origine del sistema di coordinate, è fisso e

l’asta può ruotare attorno ad esso. Infine, una molla collega l’estremo B dell’asta con il

vertice C della lamina. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità.

y

k > 0

2 L C B

F P

0 m, l

M x

O=A

2. Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema dell’esercizio precedente, nell’ipotesi che

sull’estremo B dell’asta agisca una forza viscosa di costante λ > 0.


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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher d.plevano di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica razionale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico delle Marche - Univpm o del prof Demeio Lucio.

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