Esercizi e Slab di esami 22/23 risolti con ogni passaggio numerico

ADESIONE (STICKING) NEL CASO DELLA DEFORMAZIONE

ASSIAL - SIMMETRICA σ 2μσ

=−

Per l’equilibrio radiale: ℎ

τ = μ ∙ σ =

2 2 2 2

(σ ) (σ ) (σ )

− σ + − σ + − σ = 2

θ θ

σ = σ

e poiché allora:

θ

2 2 2 2 2

(0) (σ ) (σ ) 2(σ )

+ − σ + − σ = − σ = 2

r r

|σ |

− σ = = σ − σ = σ − σ

r max min z r

σ −σ

max min

= = =

ma poiché 2 2

2

σ 2μσ

2

=− =− =−

Quindi ℎ ℎ ℎ

σ = − +

ℎ

σ = 0 = =

Con: per quindi:

ℎ

( )

σ = ∙ − = σ

quindi

ℎ −

σ = = σ = σ + = ∙ (1 + )

ℎ

[Parte 1] Nella laminazione piana di una lastra DETERMINARE CON LA

TECNICA DELLO SLAB l’andamento delle 3 tensioni principali [23/6/23]

.

è dovuto all’ingresso (a) e all’uscita (b):

±

Equilibrio forze in x, il

(σ )(ℎ

σ ℎ − + σ + ℎ) + 2 σ φ sin φ =

(

2τ φ cos φ )

= (

− 2τ φ cos φ )

Dividendo tutto per b: (−

σ ℎ − σ ℎ − σ ℎ − dσ ℎ = 2 σ φ sin φ ∓ cos φ)

(sin

(σ ℎ) = 2 σ φ φ ∓ cos φ)

σ +σ

1 3

σ = σ σ = σ = σ

Poiché le tensioni principali sono: 1 2 3

2

2 2 2 2

(σ ) (σ ) (σ )

− σ + − σ + − σ = 2

Von Mises: 1 2 2 3 3 1

2 2

1 1 2 2

(σ )) (σ ) (σ )

(σ − + σ + ( + σ − σ ) + − σ = 2

x r x r r r x

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2

(σ )] (σ )] (σ ) (σ )

[ − σ + [ − σ + − σ = − σ ( + + 1)

x r x r r x r x

2 2 4 4

6 2 2

(σ )

− σ = 2

r x

4 2 ′

|σ |

− σ = =

r x √3

′

σ = σ −

x r ′ )ℎ)

((σ − = 2σ (sin ∓ cos ) = 2σ ( ∓ )

r r r

σ σ σ

′ ′ ′

r r r )

[ℎ ( − 1)] = ℎ +( − 1) (ℎ

′ ′ ′

Man mano che h diminuisce tanto più il materiale incrudisce cioè

T ed Y’ aumentano. ′

Quindi h Y’ rimane quasi costante: )

(ℎ = 0

σ σ

′ ′

[ℎ ( − 1)] = ℎ = 2σ φ(φ ∓ μ)

′ ′

σ

( ) 2

′ (φ

= ∓ μ)φ

σ ℎ

( )

′

ℎ = ℎ + 2(1 − φ)

2

→ℎ = ℎ + φ

2

φ = 1 − +⋯

2

σ

( ) 2 2φφ 2μφ

′ (φ

= ∓ μ)φ = ∓

σ 2 2 2

ℎ +φ ℎ +φ ℎ +φ

( )

′

Introduco le nuove variabili:

2

= φ√ = φ = ℎ + φ = ℎ = 2 φφ

√

ℎ ℎ

σ

( )

′

→ = ∓ 2μ√

σ 2

ℎ 1+

( )

′

σ

→

( ) = () ∓ 2μ√ (φ√ ) + ()

′

ℎ ℎ

σ

( ) = () ∓ (2μ√ (φ√ )))

(

′

ℎ ℎ

(φ) = [2√ (φ√ )]

Chiamo ℎ ℎ

σ

( ) = () ∓ ((μK)) = ( exp(∓μ))

′

σ

2

( ) = (ℎ + φ ) ⋅ (∓2μ√ (φ√ ))

′

ℎ ℎ

′

σ = 0, ℎ = ℎ , φ = , σ =

Ingresso - Zona a: 0

1

σ ℎ

2 →

= 2 ( ) (√ ) = ⋅ [μ( − )]

′

ℎ ℎ ℎ

0

→

Uscita Zona b: σ ℎ

′ → [μ()]

σ = 0, ℎ = ℎ , φ = 0, = 0, σ = =

′

ℎ

Nella trafilatura di una barra cilindrica DETERMINARE con

la tecnica dello slab le leggi delle 3 (TRE) tensioni

principali [14/6/22]

2

π

2

(σ ) ( )

+ σ + − σ π + π sin +

4 4 cos

cos

+ μπ = 0

cos 2

1

2 2

(σ ) ( )

+ σ + 2 + − σ +

4 4

+ tan + μ = 0 μ

σ + 2σ + 2 (1 + ) = 0

tan

Essendo in condizioni di assialsimmetria avremo con

buona approssimazione (cioè trascurando l’effetto

dell’attrito sulle tensioni principali) σ = σ = −

θ

Quindi applicando Von Mises:

2 2 2 2

(σ ) (σ ) (σ )

− σ + − σ + − σ = 2

1 2 2 3 3 1

2 2 2 2

(σ ) (− ) (− )

− + + + − σ = 2

Ottengo: 1

2 2

2(σ )

+ = 2

(σ )

+ =

= − σ μ

( )

σ + 2σ + 2 − σ (1 + )=0

tan

μ μ

σ + 2σ + 2 (1 + ) − 2σ (1 + ) = 0

tan tan

2μσ μ

σ + (2σ − 2σ − ) + 2 (1 + ) = 0

tan tan

2μσ μ

σ = ( − 2 (1 + ))

tan tan

σ

=

2μσ μ

)

−2(1+

tan tan

σ

=

−2(1+B)

2σ

μ

=

Dove tan (1 )

= 2σ − 2 +

= 2σ

1

=

2

1 () () ( ) ()

= + =

2 2

= 2

(1 )

2σ − 2 + =

= , σ = 0 = , σ = σ

Per 0

02

→ −2(1 )

+ =

2(1+)

=− 02

2(1+) 2

(1 )

2σ − 2 + = −

02

2

1+

σ = ( ) [1 − ( ) ]

0 2

1+

σ = ( ) [1 − ( ) ] =

0

μ cot

1+

= ( ) [1 − ( ) ]

0

Nella estrusione diretta di una barra cilindrica DETERMINARE

CON LA TECNICA DI STIMA DELLA ENERGIA-POTENZA DI

ESTRUSIONE RICAVARE la pressione da esercitare sulla billetta

necessaria per effettuare la estrusione.

0

=

Rapporto di estrusione =

E in condizioni ideale la billetta passa da a

0 0

0

= = ln = ln = ln

Ma siccome

0

=

Il lavoro ideale per unità di volume è dato da: ∫

= =

E se il materiale è perfettamente plastico

= ∙ = ln

quindi:

Quindi il lavoro totale ideale è dato da:

= ∙ = ∙ ln = ln

0 0

Invece il lavoro esterno

= ∙ ∙ = ln

quindi

0 0 0 0

= ln

Ovvero

Ne consegue che la potenza esterna data da:

02

= ∙ = ∙

0 0

4

Mentre la potenza per deformazione plastica:

= à =

2

02 02 02

0

= ∙ = ∙ ln = ∙ ln ( )

0 0 0

4 4 4

Infine la potenza per attrito sulla matrice (ipotesi di una zona morta

= =

a 45°) con una tensione di flusso tangenziale 2

= = ∙

∫ ∫

− −

2

∙ =