Esercizi di fisica generale

Successivamente la molla viene tagliata e il blocco inizia a

oscillare sostenuto solamente dalla fune. Calcolare 2) la sua

velocità quando raggiunge il punto più basso. [k = 29.13 N/m;

v = 1.36 m/s]

. . .

M 2.35 kg d 25 cm h 90 cm

θ θ

. .

35 deg 55 deg

m f

Dalla condizione di equilibrio, dette F la forza della molla e T la tensione della fune, risulta:

θ θ

. . .

T sin F sin M g 0

f m

θ θ

. .

T cos F cos 0

f m

Risolvendo il sistema si trova:

.

M g

F θ θ θ

.

cos tan sin 13.218 newton

F =

m f m

θ

cos m

.

T F θ

cos 18.878 newton

T =

f

Per determinare la costante k occorre prima calcolare la lunghezza dei lati del triangolo. Osservando

che si tratta di un triangolo rettangolo, dette lm e lf le lunghezze della molla (tesa) e della fune, risulta:

θ θ

. .

lf h sin lm h sin l = 51.622 cm

f

m f l = 73.724 cm

m

F 1

. .

F k l d k k = 27.129 newton m

m lm d

Quando la molla viene tolta il blocco si mette ad oscillare come un pendolo semplice. Nel punto più

basso ha perso una quota h1 rispetto alla posizione di partenza. Applicando la conservazione

dell'energia: θ

.

h1 lf l sin h = 9.336 cm

f 1

f

1 1

2

. . . . . .

M g h Mv v 2 g h v = 1.353 m sec

1 1

2

L. Giudicotti - Esercizi di Fisica Uno Lavoro e energia pag. 3

Problema 2.27 pag. 47 MNV  

1 1

    

vn 2.5 km hr 0.694 m s

 

1 1

    

vt 4 km hr 1.111 m s

 

1 1

    

vc 1 km hr 0.278 m s

 

d 500 m

Si tratta di un problema che si risolve con le formule del moto relativo (pag. 42). Scegliamo un sistema di

riferimento O fisso con la riva e con l'asse x diretto nella direzione della corrente e l'asse y nella direzione della

riva opposta e un sistema di riferimento mobile O' fisso con l'acqua con gli assi x' e y' paralleli a quelli di O.

Allora dalle formula della velocita' per il moto relativo, detta la velocita' misurata in O (rispetto alla riva), la

v vn

velocita misurata in O' ( rispetto all'acqua) e la velocita di O' rispetto a O (velocita' dell'acqua rispetto alla

vc

riva), abbiamo la relazione:



v vn vc

=

Questa e' una relazione vettoriale che vale sia per il moto di A che di B. Scrivendo la relazione fra le due

componenti si trova:

  (1)

vx vnx vcx vy vny vcy

= =

Consideriamo il moto di A. A nuota rispetto all'acqua con una velocita' di modulo vn inclinata di un angolo θ

rispetto alla perpendicolare alla riva, all'indietro rispetto alla direzione della corrente. Inoltre la velocita vc

dell'acqua rispetto alla riva ha solo componente in direzione x. Allora per A:

  

vnx vn sin

( ) vny vn cos

( )

= =

θ θ



vxc vn cos

( ) vyc 0

= =

θ

Sostituendo queste relazioni in (1) si ottiene:

   

vx vn sin

( ) vc vy vn cos

( )

= =

θ θ

dato che A attraversa il fiume muovendosi perpendicolarmente alla sponda, la sua velocita'

misurata in O avra' componente vx nulla:  

vc vc

       

vn sin

( ) vc 0 sin

( ) asin 0.412 rad 23.578 deg

= =

θ θ θ θ

 

vn vn

Inoltre la velocita' vy sara' tale che nel tempo di traversata ta la distanza percorsa in direzione y

da A sara' d: d

 1

        

vy vn cos

( ) 0.636 m s vy ta d ta 785.584 s ta 13.093 min

=

θ 

vn cos

( )

θ

Consideriamo adesso il moto di B: B nuota rispetto all'acqua con velocita' vn perpendicolare alla direzione

della corrente. Detto t1 il tempo di traversata d

  

vn t1 d t1 720 s

= vn

Durante il tempo ti B e' stato trasportato dalla corrente con velocita' vc e ha percorso la distanza h in

direzione x. Allora:

  

h vc t1 200 m

Per raggiungere la sua destinazione adesso B deve camminare indietro sulla rive per una distanza h.

Detto t2 il tempo della camminata' e tb il tempo totale impiegato da B sara:

h

      

t2 180 s tb t1 t2 900 s tb 15 min

vt

e quindi A arriva prima. (Problema 4-27 p 107)

La massa che schiaccia la molla

Un punto materiale di massa M e' sospeso tramite un filo ideale verticale ed e' collegato al suolo da una

molla do costante elastica k = 70 N/m (vedi figura). Inizialmente la molla e' in condizioni di riposo e la

tensione del filo e' T = 4.9 N. Ad un certom istante si taglia il filo; calcolare: 1) la massima distanza

percorsa dal punto materiale; 2) la posizione in cui la volecita del punto materiale e' massima e c) il valore

massimo della sua velocita'.  2

  

g 9.8 m s  1

  

k 70 N m

 

T 4.9 N

Inizialmente la molla non esercita alcuna forza e quindi la tensione della fune e' uguale e opposta lla

forza peso. Questo permette di trovare la massa M:

T

  

=

M g T M 0.5 kg

g

Quando la fune viene tagliata la massa e' soggetta alla forza peso che la spinge in basso e comprime la molla

che si oppone alla discesa. La massa scende fino a che la molla raggiunge una compressione sufficiente a

fermarla. Per risolvere il problema si puo' procedere con l'approccio dinamico oppure usando la

conservazione dell'energia.

1) Soluzione con le leggi della dinamica:

introduciamo un asse x diretto verso l'alto e con l'origine nella posizione iniziale della massa. Mentre la massa

scende e' sottoposta alla forza elastica della molla e alla forza peso:

2 2

d d

        (1)

= = =

k x M g M a a x k x M g M x

2 2

d t d t

L'equazione (1) si puo ricondure a quella di un moto oscillatorio. Osserviamo infatti che la massa, tagliata la fune,

scende aumentando la sua velocita' per poi rallentare perche' ostacolata dalla molla che si comprime, fino a che

non si ferma (istantaneamente) di nuovo, sulla molla compressa per poi ripartire versoi l'atto e cosi' via. Da qui si

deduce che la velocita' prima aumenta e poi diminuisce. C'e quindi una posizione x0 in cui la massa ha

accelerazione nulla. Questo punto e' quello in cui la forza peso e' uguale e opposta alla forza elastica. Cioe'



M g

    

(2)

=

k x0 M g 0 x0 0.07 m

k

Introduciamo adesso una variable z = x - x0. Risultera'

2 2

d d



= =

x z x0 x z

2

2

d t d t

Sostituendo nell'equazione (1), tenendo conto dell'equazione (2) si ottiene

2 2 2

k 2

d d d

         

= = =

ω

k z k x0 M g M z z z 0 z z 0

2 2 2

M

d t d t d t

Questa e' l'equazione di un moto armonico in cui le oscillazioni avvengono attorno al punto z = 0 e hanno un'ampiezza

A = x0. Se prendiamo come istante iniziale quello in cui la fune viene tagliata, allora l'oscillazione parte da una

posizione z che corriponde alla massima ampiezza A e quindi la legge del moto e':



k 1

       

ω ω

A x0 11.83 rad s z ( t ) A cos

( t )

M

Allora la massima distanza percorsa dal punto d e' pari al doppio dell'ampiezza A delle oscillazioni e il valore

massimo della velocita' vmx si raggiunge al centro delle oscillazioni e cioe' nella posizione xmx:

 1

         

ω

d 2 A 0.14 m vmx A 0.828 m s xmx x0 0.07 m

2) Approccio energetico:

Applichiamo la conservazione dell''energia fra l'istante iniziale del moto, in cui la massa e' ferma e la molla ancora in

posizione di riposo e quello finale in cui la massa e' ancora ferma ma e' scesa per una distanza d che e' anche la

massima compressione della molla. Scegliendo lo zero dell'energia potenziale in corrispondenza della massima

compressione d della molla:  

1 2 M g

2

     

=

M g d k d d 0.14 m

2 k

Per calcolare la mssima velocita' raggiunta scriviamo ancora la conservazione dell'energia fra l'istante iniziale e

un istante qualsiasi in cui la massa e' in moto ed e' scesa di una quantita' x che corrisponde quindi anche alla

compressione della molla. Detta Ec l'energia cinetica nella generica posizione x:

1 1

2 2

             

= =

M g d k x Ec M g ( d x ) Ec M g x k x

2 2

la velocita e' massima quando l'energia cinetica e' massima. Allora la posizione xmx in cui Ec e' massima si trova

ponendo a zero la derivata di Ec rispetto a x:

  

1 M g

2

d d             

= = =

Ec M g x k x M g k x M g k xmx 0 xmx 0.07 m

 

2 k

d x d x

e la velocita' massima raggiunta si ricava dal valore corrispondente di Ec:  

1 1 2 Ec

2 2 1

            

=

Ec M g xmx k xmx 0.172 J Ec M vmx vmx 0.828 m s

2 2 M

Pendolo conico e molla

Un pendolo conico è costituito da una massa m = 350 g collegata ad un punto fisso P da una molla di costante

elastica k e lunghezza a riposo d = 30 cm. La massa è in rotazione in un’ orbita circolare di raggio R = 15 cm con

una frequenza di rotazione f = 42 giri/min. Calcolare 1) l’angolo di inclinazione θ della molla rispetto alla verticale

e 2) la costante elastica k della molla.  

M 350 gm

 

R 15 cm

 

d 30 cm  

1 1

  

f 42 min 0.7 s

 2

  

g 9.8 m s

Detta h la distanza del piano dell'orbita rispetto al punto P, L la lunghezza della molla, T la forza di



tensione esercitata dalla molla, il periodo, dalle formule del pendolo conico si ricava h: 2 

1 h g

τ

     

1.429 s 2 h 0.507 m

=

τ τ π

f g 2



4 π

L'angolo θ e la lunghezza della molla si trovano dalle:

 

R R 2 2



     

tg

( ) atan 16.493 deg L R h 0.528 m

=

θ θ  

h h

La tensione T e' fornita dalla forza elastica della molla che e' estesa fino alla lunghezza L. Allora,

ric