Esercizi degli esami del corso di Metodi e modelli matematici

Trasformate di L

Lk −traformabileC ([0, +∞)) ed R→y : [0, +∞) (103)

Lk∈y C ([0, +∞)) y -traformabile (104)

Allora anche le sue derivate sono trasformabili e vale

L ′(k) k k−1 k−2 (k−1){y }(z) − − − −= z ŷ(z) z y(0) z y (0) ... y (0)

In particolare L ′{y }(z) −= z ŷ(z) y(0) (105)

L ′′ ′2{y }(z) − −= z ŷ(z) y(0)z y (0) (106)

58 L −trasformabili.

Teorema 4 (della trasformata della convoluzione)

Siano f e g due funzioni L −trasformabile

Allora anche la loro convoluzione è e vale

L L{f ∗ {f }L {g}g} = C

Teorema 5 (della trasformata inversa)

Siano z , z , ..., z m punti di e sia ŷ una funzione

1 2 mcosı̀ definita C C− {z } →ŷ : , z , ..., z (107)

1 2 m C→ ∀z ∈ − {z }ŷ 0, ŷ(z) = ŷ(z) , z , ..., z (108)

1 2 m|z|→+∞

Allora vale mXL −1 zt{ŷ}(t) = Res(ŷe , z )kk=1

Di seguito una tabella delle traformate di...

funzioni notevoli

Funzione Traformata1αte z-ααsin(αt) 2 2z +αzcos(αt) 2 2z +α

Tabella 1

Esempio 37 (scritto del 30 Novembre 2020). Determinare la soluzione del seguente problemautilizzando la trasformata di Laplace √ √( t'' ' R- -y (t) 2y (t) + 4 cos( 2s)y(t s)ds = cos( 2t)0'y(0) = 1, y (0) = 2

Si applichi la traformata di Laplace a ogni membro dell'equazione differenziale√ √t ZL L'' '- - {cos(y 2y + 4 cos( 2s)y(t s)ds = 2t)}0

Per le proprietà di linearità si ottiene √ √tZ L L'' '- -{y } - {y } - {cos(2L + 4L cos( 2s)y(t s)ds = 2t)}0

Per la traformata della derivata (3) e della convoluzione (4) si ha√ √n o n oL2 - - - -z ŷ z 2 2(z ŷ 1) + 4L cos( 2s) ŷ = cos( 2t)

Per le formule di trasformazione delle principali funzioni (1) si haz z2 - - - -z

ŷ z 2 2(z ŷ 1) + 4 ŷ =2 2z +2 z +259
Isolando ŷ si ottiene 2z + 3ŷ(z) = 3 2−z 2z + 2z
Per poter applicare la formula di inversione (5), si individuino i poli di ŷ
3 2 2− − ⇒ −z 2z + 2z = z(z 2z + 2) = 0 z = 0 z = 1 + i z = 1 i
0 1 2
Allora ŷ si può riscrivere come 2z + 3ŷ(z) = − − −(z z )(z z )(z z )
0 1 2
Per la formula di inversione (5) si ha
zt zt zt
y(t) = Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z )
0 1 2
Per calcolare i residui si introducono le funzioni g , g e g le cui espressioni sono
0 1 2
2 zt(z + 3)ezt− (109)
g (z) = ŷ(z)(z z )e =0 0 − −(z z )(z z )
1 2
2 zt(z + 3)ezt− (110)
g (z) = ŷ(z)(z z )e =1 1 − −(z z )(z z )
0 2
2 zt(z + 3)ezt−
g (z) = ŷ(z)(z z )e = (111)
2 2 − −(z z )(z z )
0 1
Siccome z è un polo semplice si ha
0 z t2 + 3)e(z 300zt
Res(ŷe , z ) = g (z ) = =0 0 0 − −(z z )(z z ) 2
0 1 0 2
Siccome z è un polo semplice si ha
1 2 z t(z + 3)e 3 +

2i11zt (1+i)tRes(ŷe , z ) = g (z ) = = e1 1 1 − − −2(z z )(z z ) + 2i1 0 1 2
Siccome z è un polo semplice si ha
0 2 z t −(z + 3)e 3 2i22zt (1−i)t−Res(ŷe , z ) = g (z ) = = e2 2 2 − −(z z )(z z ) 2 + 2i2 0 2 1
Quindi la soluzione del problema è t −e 5 sin(t) 2 cos(t)3zt zt zty(t) = Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z ) = +0 1 2 2 460
Esempio 38 (scritto del 23 Dicembre 2020). Determinare la soluzione del seguente problema
utilizzando la trasformata di Laplace
( t′′ ′ R− −y (t) 4y (t) + 16 cos(2s)y(t s)ds = cos(2t)
0′y(0) = 0, y (0) = 0
Si applichi la traformata di Laplace a ogni membro dell’equazione differenziale
t  Z LL ′′ ′ − {cos(2t)}− cos(2s)y(t s)ds =y 4y + 16 0
Per le proprietà di linearità si ottiene
t  Z LL ′′ ′ − {cos(2t)}{y } − {y } cos(2s)y(t s)ds =4L + 16L 0
Per la traformata della derivata (3) e della

convoluzione (4) si ha L2 - {cos(2s)} {cos(2t)}z ŷ 4z ŷ + 16L ŷ =

Per le formule di trasformazione delle principali funzioni (1) si ha z2 -z ŷ 4z ŷ + 16 ŷ =

2 2z +4 z +4

Isolando ŷ si ottiene 1z =ŷ(z) = 4 3 2 3 2- -z 4z + 4z z 4z + 4z

Per poter applicare la formula di inversione (5), si individuino i poli di ŷ3 2 2 2- - - ⇒z 4z + 4z = z(z 4z + 4) = z(z 2) = 0 z = 0 z = 20 1

Allora ŷ si può riscrivere come 1ŷ(z) = 2- -(z z )(z z )0 2

Per la formula di inversione (5) si ha zt zty(t) = Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z )0 1

Per calcolare i residui si introducono le funzioni g e g le cui espressioni sono0 1 ztezt- g (z) = ŷ(z)(z z )e = (112)0 0 2- -(z z )1zte2 zt- g (z) = ŷ(z)(z z ) e = (113)1 1 -z z0

Siccome z è un polo semplice si ha0 z te 10ztRes(ŷe , z ) = g (z ) = =0 0 0 2- -(z z ) 40 161

Siccome z è un polo doppio si ha1 zt 2tzt z t - - -d e e (2t 1)e (tz 1) e

(tz 1)1 1ztRes(ŷe , z ) = == =1 22−dz z z z z 40 1z=z z=z1 1Quindi la soluzione del problema è 2t −e (2t 1)1zt zt +y(t) = Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z ) =0 1 4 4Esempio 39 (scritto del 11 Gennaio 2021). Determinare la soluzione del seguente problemautilizzando la trasformata di Laplace( t′′ ′ −3s −3tR− − −y (t) 3y (t) + 10y(t) 30 e y(t s)ds = e0′y(0) = 1, y (0) = 0Si applichi la traformata di Laplace a ogni membro dell’equazione differenzialet ZL L′′ ′ −3s −3t− − −y 3y + 10y 30 e y(t s)ds = e0Per le proprietà di linearità e le traformate della derivata (3), della convoluzione (4) e delleprincipali funzioni (1), si ottiene 30 12 − − − −z ŷ z 3(z ŷ 1) + 10ŷ ŷ =z +3 z +3Isolando ŷ si ottiene 2 −z 8ŷ(z) = 2z(z + 1)Per poter applicare la formula di inversione (5), si individuino i poli di ŷ2 ⇒ −iz(z + 1) = 0

z = 0 z = i z =0 1 2

Allora ŷ si può riscrivere come 2z + 3ŷ(z) = − − −(z z )(z z )(z z )0 1 2

Per la formula di inversione (5) si hazt zt zty(t) = Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z ) + Res(ŷe , z )0 1 2

Per calcolare i residui si introducono le funzioni g , g e g le cui espressioni sono0 1 22 zt−(z 8)ezt−g (z) = ŷ(z)(z z )e = (114)0 0 − −(z z )(z z )1 22 zt−(z 8)ezt−g (z) = ŷ(z)(z z )e = (115)1 1 − −(z z )(z z )0 22 zt−(z 8)ezt−g (z) = ŷ(z)(z z )e = (116)2 2 − −(z z )(z z )0 162

Siccome z è un polo singolo si ha0 z t2 − 8)e(z 00zt −8Res(ŷe , z ) = g (z ) = =0 0 0 − −(z z )(z z )0 1 0 2

Siccome z è un polo singolo si ha1 2 z t−(z 8)e 910zt Res(ŷe , z ) = g (z ) = = cos(t) + i sin(t)1 1 1 − −(z z )(z z ) 21 0 1 2

Siccome z è un polo singolo si ha2 2 z t−(z 8)e 920zt −Res(ŷe , z ) = g (z ) = = cos(t) i sin(t)2 2 2 −

z )0Per la formula di inversione (5) si ha zty(t) = Res(ŷe , z )063Per calcolare i residui si introduce la funzione g la cui espressione è03 zt zt− −g (z) = ŷ(z)(z z ) e = (z 2)e (117)0 0Siccome z è un polo triplo si ha0 −t21 d 1 tezt zt tz− − −Res(ŷe , z ) = (z 2)e = te (tz 2t + 2) = (2 3t)0 22 dz 2 2z=z z=z0 0Quindi la soluzione del problema è −ttezt −(2 3t)y(t) = Res(ŷe , z ) =0 2Esempio 41 (scritto del 15 Febbraio 2021). Determinare la soluzione del seguente problemautilizzando la trasformata di Laplace( t′′ ′ R 2s− −y (t) y (t) + y(t) + e y(t s)ds = 00′y(0) = 0, y (0) = 1Si applichi la traformata di Laplace a ogni membro dell’equazione differenziale