Esercitazioni tipo esame di Meccanica dei fluidi (Idrodinamica) a.a. 2023/2024

Esercitazione 1

1. Moto di un fluido in coordinate lagrangiane

   x coordinata lagrangiana

   • x₁ = X₁
   • x₂ = ½(X₁ + X₃) e^at
   • x₃ = ½(X₂ + X₄) e^-at

   1. Velocità e accelerazione nelle coordinate materiali (x₁, x₂, x₃)

      • ż₁ = 0
      • ż₂ = a½(X₁ + X₃) e^at
      • ż₃ = -a½(X₂ + X₄) e^-at
      • A₁ = 0
      • A₂ = a²/2 (X₁ + X₃) e^at
      • A₃ = -a²/2 (X₂ + X₄) e^-at

   2. Velocità e accelerazione nelle coordinate spaziali z

      • x₂ + x₃ = ½(X₁ + X₂) e^at
      • x₃ - x₃ = ½(X₂ - X₃) e^-at

      sostituire nelle espressioni sopra

      • ż₂ = a(x₂ + x₃)
      • ż₃ = -a(x₂ - x₃)
      • A₃ = 0
      • A₁ = a²/2 (x₂ + x₃)
      • A₂ = a²/2 (x₂ - x₃)

      deriva dei ż_i: dż_i/dt = d²z_i/dt² = A

2. Moto di un fluido in coordinate lagrangiane

   • x₁ = X₁ e^at
   • x₂ = X₁ e^at
   • x₃ = X₃ e^-2at

   1. Velocità e accelerazione nelle coordinate x

      • ż₁ = aX₁ e^at
      • ż₂ = -aX₂ e^at
      • ż₃ = -2aX₃ e^-2at
      • A₁ = a²X₁ e^at
      • A₂ = a²X₂ e^-at
      • A₃ = 4a²X₃ e^-2at

   2. Velocità e accelerazione nelle

      eliminando x nel rispetto le precedenti

      • u₁ = a x₂
      • u₂ = -a x₂
      • u₃ = -2a x₃
      • A₁ = a² x₂
      • A₂ = a² x₂
      • A₃ = 4a² x₃

   3. Accelerazione nelle coordinate x alternative derivate materiali

      • A₁ = d/dt (∂z/∂x₂) ∂x₂/∂X₀ + ∂z/∂x₃ ∂x₃/∂X₀ - a x₁

3

Siccome il campo di velocità è dimensionale

μ = ^x/₂₇ = ^y/₂₇ = ^z/₅₄

1. L'unico parametro ad entrare nella descrizione dimensionala del moto é

1. μ è atmosferico? Sì non compare al tempo nella descrizione Euleriana
2. Calcolo banale

Integrale a velocità:

 dx/x = 2/27  dy/y = 2/27  dz/z = 2/54

Implica e non reciproco

dy/dx + y/x = 1/z {£zx+y²} = 0 → z²+y² = costante continuo

3. Calcolo linea di corrente: concatenazione con continuità e non collegamento alla nozione Euleriana:

 V_x/x + V_y/y + V_z/z = 0, x³y²S = costante ciclo &oelg;z

 dy/x+dz/y+dz/Z=x^3{z}dy-z^3dx-2(xy)zdy(xyatax-co/z)

 dx - z(y-z)

x²(y-z) = 0 → m

4. Calcolo l'accelerazione rotante ciclo:

 F_xy = -d/dz (1/x) - 2_9/27 + 2_yz

 ↑V = [3/27] x, [3/27] y, ½ [1/2x] y

 (24) -2^32/x/g(x) +y+zy

 ^{z = 1  [1/9x] (z-y) = 0}

 dv/dz = v =ferenziale di cilindro

  -dx/y = z/2x   [2/(-24⁵⁴) + z/1x_2/x²]

  y²-2x y + 3x

 (2xi²) (1/9²) (x²y)

a) Calcolare tensione tangenziale esercitata dal fluido sui piani di corrente m(o,1). Dipende in funzione di y

b) Calcolare tensione esercitata dal fluido sui piani di corrente m(1,0)

Cilindro di Eulero L, l'equatore ha raggio minore mm. Me ? calcolare cilico centrale.

3) Filato cruscotto nello punto limite:

u(x,y) = A[..._f1]

d) Calcolare resto Tx nel fondo della chietta

e) Calculare sercita chietta

Endone zona calcolante e zona lungo x […] granatore plano pave

Tx =

Importa un gradiente di pressione costante ΔP≥0.

1. Scrivere equazioni e condizioni (contorno)

cc._U=U₁ y=0 μ.U₀ y=d

Dividere l'equazione e calcolo energia di relazione pressione.

a) μì(0)=C₁U₁ U₀(d)=U₂

x=√ΔP

c) Calcolo di pressione

• Calcolo in relazione alle normali
• Calcolo termine

Non dipende da z.

Una sfera con densitá ρ_s < ρ_f poggia in z_i sulla h₀ alla profonditá h sotto

il pelo libero.

a) Calcolare la posizione della sfera in funzione del tempo trovando la costante.

(Inserire le posizioni in funzione di t in una tavola usando mm = 0.5)

ρ_s V g + ρ_f V g - ρ_f V C_h dt =

PESO Archimede Resistenza

d

(z_s(t₀) - R)

dz

dz_s

= g + kρ

Singolo equilibrio

(ρ_s + ρ_f) V dz dt

rozzo -

(π - ρ_f) V g = A zz

dt

A t + c₁

= C

z_s(t₀) = z_i - k

z_s = c_s - k

z_t = A t + c₁

c₁ = 0

b) Calcolare il tempo necessario affinché la sfera facciazz per la superficie libera. Calcolare tempo occorrente quando arriverà.

E_c = A t² V a A

z_s(t) = A²³

E= 1/2

g A + C

= A t A A

z_s(0) = c c

t - l

E_c = a t dt

c

c. 0

+ C

c) Calcolare il tempo necessario affinché per la sfera dall’oscillante rimane orizzontale.

ρ_s V dt

=

c₁ V ρ c - c A t g t

z_s(t) = a A - C + c

- b

z_s(0) = c₃ - k

G

c. u c - l = 0

Osservazioni

A < A

8 A

con l² < G f⁸_O e f

e c. d.c

nel caso g = 0, π = acqua

3.

Piccolo 2018 _Lungo 0,5 m e largo 1 m è in rotazione con X = 0, in equilibrio

nel centro, con U = 5 m/s,

L = 0.5 m

b. ^{Calcolare solamente quando finisce}

a) Calcolo S(y) nel nodo di uscita rotazionale con groteserome

G(x) = 5,18

U = 15 m/s

R = 73

p_s = 10⁴ / m²

b) Calcolo la rotazione

4.

Calcolo orarimentale dello cerano in cui lo stato finisce e in regione del volume per una rota

di limero 200

U = 10 m/s

Calcolo ciangola medelerosa per l’anno

5.

Se cambia la cerano di una rota di cerando con Ué = 10 m/s, γ = 10^{6 manuale}

(Calcolo S(x) stato limite luminare nella nazione in cui si fe luminazione luminare intenso)

a) Utilizando Pressio, _{versione di fatto}

S(0,05) = ^Sعلوم 3,5 x 10^-9 m

b) Utilizando il modo di calcolo lineare

S(0,05) = 2,659 x 10^-6 m

c) Utilizando il modello di corros

S(0,05) = 3,39 x 10^-9 m