Esercitazioni propabilità

Lezione 11

Slide 13

Su una prova che consiste nel lancio di un dado a 6 facce, elencare i sottoinsiemi che costituiscono gli eventi:

• A = uscita della faccia 6
• B = uscita di un punteggio pari
• C = uscita di un punteggio maggiore di 2
• D = uscita di un punteggio compreso tra 1 e 6
• E = uscita di un punteggio maggiore di 6

A = {W₆}

B = {W₂, W₄, W₆}

C = {W₃, W₄, W₅, W₆}

D = {W₁, W₂, W₃, W₄, W₅, W₆} → evento certo dello spazio fondamentale Ω

E = ∅ → evento impossibile

Slide 15

A → classe di eventi → possibili sottoinsiemi di Ω Se numero di elementi che compongono A è 2^N

Esempio

Nell’esperimento che consiste nel lancio di una moneta con due facce Testa e croce il numero degli elementi è 2² = 4

Indicando con W_t “Testa” e W_c “croce” gli elementi che costituiscono A sono ∅ {W_t}{W_c}Ω = {W_t,W_c}

All’insieme A appartiene nei diagrammi di Venn l’evento certo Ω e l’evento imposs. ∅

SLIDE 16

Considero un’urna che contiene palline di 3 colori: estrazione con prelievi:

il suo gli eventi d è

2^N = 2³ = 8

GIALLO BLU E ROSSO

• {W_g, W_a}
• {W_g, W_r}
• {W_g, W_z}
• {W_g, W_z}
• {W_r, W_a}
• {W_r, W_z}
• {W_g, W_r}
• {W_a, W_z}

UGUAGLIANZA

Due eventi A e B appartenente d: Ω sono uguali (A=B) se essi sono eventi elementari

degli elementi: - si verificarsi di A implica B, e il non verificarsi d A implica B.

Dete le 3 urne precedenti W_r, W_a, W_g

A = {W_g, W_a}

B = {W_a, W_g} A≡B

Unione:

Dete 2 eventi: A e B, la loro unione è indicata A∪B → che si verifica

quando si verifica A oppure B

se evento A∪B ≡ B∪A → contiene Tutti gl eventi elementari.

A e B possono avere almeno una elemento evento complementare o

A ≡ B → compatibili

oppure no

A ≡ B incompatibili

ESERCIZIO 1

Un urna di 8 palline 1 2 3 4 5 6 7 8

esprimiamo il sistema 3 palline senza ripetizione:

1. Le terne 4 pari che differiscono per l'ordine o l'estratta.
2. Le terne di palline pari che differiscono per la palline estratta.
3. Le terne di palline dispari che differiscono per la palline estratta o per l'ordine di estrazione.

b) Le terne di palline dispari che differiscono per la palline estratta.

c) 246 462 624 642 264 426

Il numero di terne corrispondente a 3! —> 3 x 2 x 1 = 6

c’è solo una terna

d) L'urna contiene 5 palline dispari quindi si può estrarre prima1 pallina delle 5 poi una seconda pallina della 4 e infine una terza della 3. Quindi il numero di terne è 5 x 4 x 3 = 60

d) Il numero di terne che diffese per la palline e non per l'ordine è

60 / 3! = 60 / 3 x 2 x 1 = 60 / 6 = 10

6) Macchinario produce % articoli difettosi su 100. Quanti articoli difettosi

in un lotto di 2000?

P la probabilità che il macch. produce un articolo di feirso = pari

a 1 su 100 = 0,01

Il numero di pezzi di fetiori in un lotto di 2000 pezzi è di

0,01 x 2000 = 20

7) Su una gara la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è

P(A): 3/5

P(B): 1/_μ

Se A e B sparano contemporaneamente il bersaglio, che probabilità c'è che

questo venga colpito?

A = il Tiratore A colpisce il bersaglio

B = il Tiratore B colpisce il bersaglio

si deve calcolare la probabilità A ∪ B

Per eventi sono compatibili in quanto esclusibili possono celebrare il mercato

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 3/_μ + 1/_μ - P(A ∩ B) = 3/5 + 1/_μ - 3/20 = 12 + 5:3 - 16/20 = 0,8

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 3/5 ⋅ 1/_μ = 3/20

5) Dado truccato

P({A}) = ₃⁄₁₂

P({B}) = ₁⁄₁₂ + ₁⁄₁₂ + ₁⁄₃ = ₁⁄₃

P({A|B}) = P({A ∩ B})⁄P({B})

P({A ∩ B}) = ₃⁄₁₂

6)

T = Torre

C = Cavallo

P({E}) = {E(∩T) U (E∩C)}

P({E}) = P({T}) x P({E|T}) + P({C}) - {P(E|C)}

P({E|T}) = ₁⁄₆

P({E|C}) = ₁⁄₁₂

₁⁄₂ x ₁⁄₆ + ₁⁄₂ x ₁⁄₂₄ + ₁⁄₂₄ + ₂⁄₈ = ₁⁄₈

6) Siano 2 eventi A e B

P(A^c) = 0,4

P(A ∩ B^c) = 0,1 verificare se A e B sono compatibili.

P(A) = 1 - 0,4 = 0,6

A^c ≡ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B^c)

P(A ∩ B) = P(A) - P(A ∩ B^c) = 0,6 - 0,1 = 0,5

P(A ∩ B) ≠ 0 A e B sono compatibili

7) 12 nere

8 bianche

estr. 2 palline con e senza rimp.

A palline dello stesso colore

(N₁ ∩ N₂) ∪ (B₁, B₂)

P(A) = 12/20 x 12/20 + 8/20 x 8/20 = 608/400 = 0,52 con rimp.

P(A) = 12/20 x 11/19 + 8/20 x 7/19 = 488/380 = 0,4868

₆

P(b) = 0.82

P(U) = 0.80

P(U|U) = 0.50

P(V|D) = 0.35

P(V) =

0.20 · 0.8 · 0.5

0.23 · 0.77

₃

C: liceo classico

S: scientifico

P(C): 0.4

P(S): 0.6

P(F|C) = 1

P(F|S) = 0.5

P(C|F) =

P(C) · P(F|C) / P(F)