Esercitazioni Geologia

ESERCITAZIONI

TOPOGRAFIA

Santercole Valentina

2088871

a.a. 2024/2025 INDICE

1 Geodesia e cartografia

1.1 Geodesia

1.2 Cartografia

2 Rilievo stazione totale

3 Trattamento osservazioni

3.1 Analisi residui di una variabile monodimensionale

3.2 Propagazione della varianza

4 GNSS Geodesia e cartografia

1.1 Geodesia

- La Topografia definisce un complesso di tecniche di misura, di calcolo e di rappresentazione grafica e

numerica che permette di definire in modo sintetico e metricamente corretto la superficie fisica della

terra.

- La superficie naturale che meglio approssima la forma reale della terra è il geoide, superficie normale in

ogni punto della terra alla verticale

- La superficie di riferimento matematica su cui sviluppare analiticamente il rilievo della reale superficie

fisica viene definita sulla base delle proprietà del campo gravitazionale al quale la terra è sottoposta

- Il campo di forza gravitazionale è conservativo e ammette un potenziale V e un potenziale di gravità W,

tutti i punti in cui il potenziale ha valore costante si trovano su una superficie equipotenziale che è

normale alle linee di forza del campo

- Il geoide è una superficie equipotenziale assunta come superficie matematica di riferimento la quale ogni

punto corrisponde ad ogni punto della superficie fisica e approssima meglio il livello medio del mare

- Un approssimazione del geoide è un ellissoide di rotazione definito da due semiassi equatoriale e polare e

da parametri come lo schiacciamento e l’eccentricità

- Le coordinate geocentriche sono invece: origine(fissata al centro dell’ellissoide), asse z

(coincidente con l’asse di simmetria dell’ellissoide) e assi X e Y (sul piano equatoriale

perpendicolare all’asse Z) mentre le coordinate geoidiche sono invece latitudine, longitudine e

altezza ortometrica.

- La geodetica è il percorso più breve tra due punti e si definisce come la linea sulla superficie

che ha la normale in ogni suo punto coincidente con la normale alla superficie

- Abbiamo a disposizione due differenti superfici: GEOIDE (facilmente individuabile fisicamente

ma non esprimibile in una forma matematica semplice con sup. di riferimento altimetria) e

ELLISSOIDE (superficie geometrica facilmente trattabile dal punto di vista matematico, ma non

possiede alcun significato fisico con sup. di riferimento planimetria) la relazione tra quota

ellissoidica h e quota ortometrica H si esprime definendo l’ondulazione N del geoide che indica

quanto il geoide si discosta dall’ellissoide

- Geoide ed ellissoide sono la base per la definizione di sistemi che permettono di

esprimere in termini matematici la posizione di punti della superficie fisica della

terra o prossimi ad essa con DATUM geodetici.

- I datum possono essere classificati sia in relazione al campo di validità della loro

codifica sia in relazione al numero delle dimensioni: LOCALI (planimetrici e

altimetrici) e GLOBALI (tridimensionali)

- Come riferimento convenzionale terrestre definito in base a convenzioni,

algoritmi e costanti c’è il WGS84 con origine nel centro di massa, asse z passante

per il polo convenzionale terrestre e asse x definito dall’intersezione fra piano

meridiano di riferimento (Greenwich) e piano equatoriale terrestre

Esercizio 1

Considerando i parametri riportati nella seguente tabella:

Calcolare:

1. i raggi di curvatura delle sezioni normali principali a latitudine 90° dell’ellissoide di Hayford;

2. i raggi di curvatura delle sezioni normali a latitudine 0° dell’ellissoide di Hayford.

Dalle formule per il raggio di curvatura del primo verticale R e per il raggio di curvatura

N

del meridiano ρ, rispettivamente:

e ponendo prima φ = 90° = π/2 e poi φ = 0° = 0 si ottiene:

Esercizio 2

Per un punto avente le seguenti coordinate geografiche nel Datum ED50:

φ =44◦ 43′ 48′′ λ =7◦ 20′ 52′′

nell’ipotesi che il punto appartenga all’ellissoide di Hayford e all’ellissoide WGS84 (con

riferimento ai dati nella tabella dell’esercizio 1.

Calcolare:

1. il raggio di curvatura delle sezioni principali R e ρ;

N

2. la differenza relativa tra i due raggi di curvatura (R − ρ) / R ;

N N

3. il raggio di curvatura della sfera locale R = √ρR .

N

Ordinare i risultati in una tabella comparativa.

Utilizzando le formule del primo esercizio con φ = (44 + 43/60 + 48/3600) rad si

ottiene: Esercizio 3

Considerando il datum WGS84:

1. determinare l’arco di parallelo sotteso da un angolo di ∆λ = 1° a una latitudine

di φ =45° 45′ 45′′.444;

2. costruire un grafico (latitudine- arco di parallelo) dei valori di arco di parallelo

nell’intervallo 30° ÷ 50°.

Per il primo punto si calcola il raggio di curvatura R per la latitudine φ assegnata per poi trovare il

N

raggio di curvatura del parallelo r = R cosφ.

N

Infine si ha che l’arco di parallelo sotteso da ∆λ è l = r∆λ :

R =6389123.867 m r = 4457261.275 m l =77793.88488 m

N ⇒ ⇒

Utilizzando le medesime formule si può costruire un grafico di l al variare di φ:

L’arco diminuisce all’aumentare della

latitudine

Esercizio 4

Siano date le coordinate geografiche di un punto P, riferite all’ellissoide WGS84

( = 0.00669437999, a = 6378137 m) :

2 φ =45° 03′ 53.22′′ λ = 7° 34′ 24.669′′ h = 351.97m

1. Determinare le coordinate cartesiane geocentriche

2. Applicare poi la trasformazione inversa per riottenere le coordinate geografiche

Le coordinate cartesiane geocentriche si ottengono attraverso le trasformazioni:

(Rn + h) cos φ cos λ = 4473379.1 m

= (Rn + h) cos φ sin λ = 594772.033 m

=

൞ [Rn (1 − ) + h] sin φ = 4492685.526 m

2

=

Per la trasformazione inversa si parte dal calcolo di λ = (Y/X) = 7.573519167° e di

−1

tan

r = = 4512745.766 m. Per la determinazione di φ si procede per calcolo iterativo: si trova un

2 2

+

valore iniziale approssimativo

φ = −1

tan

2 2

+

=

h =

da cui: .

φ cos φ

cos /

−1

φ

Il nuovo valore di φ diventa: = tan 2 (+ℎ)

1−

Il procedimento converge in quattro iterazioni:

1.2 Cartografia

- La cartografia può essere definita come l’insieme degli studi e delle operazioni scientifiche, artistiche e

tecniche che, a partire dai risultati di una qualsiasi operazione di rilevamento, preparano e costruiscono una

serie di carte, piante e di altri mezzi di rappresentazione mediante simboli convenzionali.

- Il datum geodetico (ellissoide di rotazione di a e b orientato localmente o globalmente), rappresenta il

modello matematico utilizzato per calcolare le coordinate geografiche mentre il reticolato dei paralleli e dei

meridiani costituisce la base della rappresentazione cartografica ottenibile con procedimenti di tipo:

geometrico-proiettivi e analitici

- La rappresentazione piana dell’ellissoide comporta sempre delle deformazioni definite da 3 moduli:

· Rappresentazioni EQUIDISTANTI con modulo di deformazione lineare

· Rappresentazioni EQUIVALENTI rimangono inalterate misure di aree con modulo di deformazione areale

· Rappresentazioni ISOGONE o CONFORMI che mantengono uguaglianza negli angoli e il modulo di

deformazione angolare è nullo

- Le equazioni di corrispondenza ( funzioni che collegano i punti dell’ellissoide al piano) si possono

ottenere analiticamente o tramite proiezioni geometriche. Tra le rappresentazioni conformi:

· la proiezione pseudo cilindrica di Lambert

· la proiezione cilindrica di Mercatore (utilizzata per le mappe nautiche)

· rappresentazione conforme di Gauss (utilizzata come proiezione standard per la cartografia a grande

scala UTM)

- La proiezione di Gauss è una cilindrica trasversa, cioè con il cilindro con asse perpendicolare all’asse di

rotazione terrestre, secante lungo due meridiani, derivata dalla proiezione di Mercatore trasversa

- Per la rappresentazione di Gauss:

1- le immagini di un meridiano e dell’equatore sono rettilinee e inderformate

2- la rappresentazione è equidistante sul meridiano centrale

- Per il sistema UTM, la terra è divisa in 60 fusi di 6 gradi di longitudine. Ogni fuso è suddiviso in 20

zone di 8 gradi di latitudine ciascuna, individuate da una lettera maiuscola.

- Nella cartografia UTM la coordinata N ha origine dall’equatore mentre alla coordinata E si aggiunge

per ogni fuso sempre la quantità di 500km per renderla positiva

Esercizio 1

Sono note le coordinate cartografiche di Gauss (X, Y ) di tre punti A, B e C:

Disegnare approssimativamente le posizioni dei tre punti sul piano della rappresentazione

cartografica di Gauss e precisare, se possibile, il fuso del sistema cartografico Gauss-Boaga al

quale i tre punti appartengono (motivare la risposta). Determinare:

1. le distanze cartografiche sul piano di Gauss-Boaga AC e BC