Esercitazioni 1 e 2 di Statistica

Richiami di Matematica

11/09/2002

Sommatoria

X₁ + X₂ + ... + X_m => ∑_i=1^m X_i

Esempi

• ∑_i=1⁶ X_i = X₁ + X₂ + X₃ + X₄ + X₅ + X₆
• ∑_J=3⁶ Y_i = Y₃ + Y₄ + Y₅ + Y₆
• ∑_i=1⁴ 2 ⋅ X_i = 2 ⋅ X₁ + 2 ⋅ X₂ + 2 ⋅ X₃ + 2 ⋅ X₄
• ∑_i=1³ (X_i + 1) = (X₁ + 1) + (X₂ + 1) + (X₃ + 1)
• ∑_i=1⁵ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Proprietà 1

Dimostrazione

∑_i=1^m a ⋅ X_i = a ⋅ ∑_i=1^m X_i

∑_i=1^m a ⋅ X_i = a ⋅ X₁ + a ⋅ X₂ + ... + a ⋅ X_m

Raccolgo il fattore comune

= a ⋅ (X₁ + X₂ + ... + X_m) =

Rappresentare con l'operatore di somma

= a ⋅ ∑_i=1^m X_i

Proprietà 2

∑ _i=1 a = m · a

Dimostrazione m volte

a + a + … + a = m · a

Proprietà 3

∑ _i=1 (x_i + y_i) = ∑ _i=1 x_i + ∑ _i=1 y_i.

Dimostrazione

(x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) + … + (x_n + y_n) =

Dissociando = X₁ + Y₁ + X₂ + Y₂ + … + X_n + Y_n =

Commutando = X₁ + X₂ + ... + X_n + Y₁ + Y₂ + … + Y_n =

∑ _i=1 X_i + ∑ _i=1 Y_i

Esercizi

Sapendo che ∑ _i=1 X_i = 3,512

X_i = 3,512/10 = 3,51̇2̇

Calcolare, utilizzando le proprietà delle sommatorie, il valore delle seguenti espressioni.

∑ _i=1 (3 · X_i - 500)

3 · 3,51̇2̇ - 500 + 3 · 3,51̇2̇ - 500 + 3 · 3,51̇2̇ - 500 + (3 · 3,51̇2̇ - 500) + (3 · 3,51̇2̇ - 500) + (3 · 3,51̇2̇ - 500) (3 · 3,51̇2̇ - 500) + (3 · 3,51̇2̇ - 500) + (3 · 3,51̇2̇ - 500) + (3 · 3,51̇2̇ - 500) + (3 · 3,51̇2̇ - 500) = 5˙536

Gruppo Istituzionale

• Banca Spa
  • 31/12/2016: 20.533
  • 31/12/2014: 21.333
• Banche Credito Cooperativo
  • 31/12/2016: 4.350
  • 31/12/2014: 4.257
• Banche Popolari
  • 31/12/2016: 3.973
  • 31/12/2014: 1.619
• Filiali di Banche Estere
  • 31/12/2016: 171
  • 31/12/2014: 165

Totale

• 31/12/2016: 29.027
• 31/12/2014: 27.374

Banche Spa 20.533 : 29.027 = 0,71

21.333 : 27.374 = 0,78

Banche Credito Cooperativo 4.350 : 29.027 = 0,15

4.257 : 27.374 = 0,16

Banche Popolari 3.973 : 29.027 = 0,14

1.619 : 27.374 = 0,06

Filiali di Banche Estere 171 : 29.027 = 0,01

165 : 27.374 = 0,01

Rapporti di coesistenza:

Sono rapporti tra fenomeni che coesistono e sono in qualche modo antitetici. Esempi:

• n. nati - n. morti
• importazioni - esportazioni
• n. immigrati - n. emigrati

Esercizio 6:

Un'agenzia turistica organizza un tour delle città spagnole. I turisti iscritti sono complessivamente 510, di cui 302 donne e 208 uomini.

Calcolare il rapporto di coesistenza del n. di donne rispetto al n. di uomini e del n. di uomini rispetto al numero di donne e commentare i risultati ottenuti.

DONNE/UOMINI : 302:208 = 1,45

UOMINI/DONNE : 208:302 = 0,69

La Lombardia è, tra le tre considerate, la regione in cui si registra il più alto numero di incidenti per Km di rete stradale (15,69), seguita da Piemonte (5,99 incidenti/km) e Valle d'Aosta (3,09 incidenti/km).

3) La seguente tabella sono riportate la popolazione (P_i) e il numero di matrimoni (X_i) celebrati nell'anno 2008 in tre comuni lombardi.

X_i/P_i

Calcolare i rapporti e commentare i risultati ottenuti.

• Si tratta di calcolare i c.d. quozienti di nuzialità, che sono rapporti di derivazione. Essi indicano il numero di matrimoni per abitante. Solitamente vengono moltiplicati per 100, in tal caso indicano il numero di matrimoni celebrati ogni 100 abitanti.

Milano (24'500 / 1'295'705) · 100 = 1,89

Brescia (3'902 / 190'844) · 100 = 2,04

Bergamo (2'001 / 116'647) · 100 = 1,71

incremento (decremento) pari a (t_n√ • 100)%.

Prospetto riassuntivo:

CAMBIAMENTO DI BASE (da vb a mb)

n_b I_t = vb I_t

vb I_mb

DA BASE FISSA A BASE MOBILE

I_t = b_t I_t–1

b_t e t–1

DA BASE MOBILE A BASE FISSA

0 I_t 0 I₁ 1 I₂ 2 I₃

t–2 I_t t–1 I_t t

Esercizio 1:

La seguente tabella riporta il numero di conti correnti tradizionali (non online) attivi presso la Banca X in una città italiana per gli anni dal 2010 al 2014.

Calcolare:

• a) i numeri indice base fissa (base 2013=1) e commenta

2014 è pari a 240'500, determinare il numero di matrimoni celebrati nell'anno 2019.

1. Variazione tendenziale percentuale

• 2016 => 0,9386 - 1 = 0,0464 · 100 = -4,64%
• 2017 => 1 - 1 = 0 · 100 = 0%
• 2018 => 0,9508 - 1 = -0,0492 · 100 = -4,92%
• 2019 => 1,0131 - 1 = 0,0131 · 100 = 1,31%

2. Da base fissa a base mobile

• 2016 => 0,9536: m.d.
• 2017 => 1,046: 0,9386 = 1,064
• 2018 => 0,9508: 1 = 0,9508
• 2019 => 1,0431: 0,9508 = 1,0655

3. Variazione congiunturale percentuale

• 2016 => m.d.
• 2017 => 1,0464 - 1 = 0,0164 · 100 = 1,64%
• 2018 => 0,9508 - 1 = -0,0492 · 100 = -4,92%
• 2019 => 1,0655 - 1 = 0,0655 · 100 = 6,55%

b) _It = _Xt / ₁₀₄₃₆ = _Xt / ₂₄₀₅₀₀ -> _Xt = 1,0431 · 240500 = 243'650,55