Esercitazione di Analisi matematica 1

k R C I D

k k K k

0 = = = 65:000

1 17:721; 097 10:374; 472 7:346; 625 54:625; 528

2 17:721; 097 11:547; 047 6:174; 05 43:078; 481

3 17:721; 097 12:852; 152 4:868; 945 30:226; 329

4 17:721; 097 14:304; 766 3:416; 331 15:921; 563

5 17:721; 097 15:921; 563 1:799; 535 =

Nel calcolare usufrutto e nuda proprietà possiamo utilizzare il tasso di val-

utazione annuo fornito nel testo, ricordandoci che un biennio è formato da due

anni e due bienni sono quattro anni:

2 4

U = I (1 + j) + I (1 + j) = 4:637; 46 euro

3 4 5

2 4

N P = C (1 + j) + C (1 + j) = 26:450; 5 euro

3 4 5

Col Piano Italiano sappiamo che vale la regola:

D = (n k)C

k

e nel nostro caso k = 33, n = 36 e

65:000 = 1:805; 55 euro

C = 36

e quindi: D = 3C = 5:416; 67 euro

33 2

ESERCIZIO 3

Il BOT acquistato da Tizio viene rivenduto 33 mesi prima del termine, e

conoscendo il tasso di valutazione possiamo calcolarne il prezzo:

33 = 88; 6 euro

P = 100(1; 045) 12

e quindi il tasso implicito è: 12

88; 6 27

i = 1 = 0:0133

86

Per quanto riguarda i BTP di Caio, occorre prima calcolare l’ammontare

delle cedole, che sono semestrali: 0:048

Cedola = 100 = 2:4 euro

2

Primo titolo: dopo 23 mesi mancano ancora 5 scadenze semestrali, di cui

l’ultima con il Valore Nominale. Al corso secco avremmo:

1 3 5

1 2

P = 2; 4(1; 035) +2; 4(1; 035) +2; 4(1; 035) +2; 4(1; 035) +102; 4(1; 035) = 103; 158 euro

2 2 2

cs

a cui va aggiunto il rateo: 5

r = Cedola = 2 euro

6

per avere il prezzo al Corso Te-Quel:

P = P + r = 105; 158 euro

CT q cs

Secondo titolo: dopo 41 mesi restano sono due scadenze, di cui l’ultima col

Valore Nominale, quindi il prezzo al corso secco è:

1 1

P = 2; 4(1; 033) + 102; 4(1; 033) = 101; 49 euro

2

CS

Per determinare il tasso implicito per Caio e superiore o inferiore a quello di

Tizio, calcoliamo il REA per Caio usando il tasso implicito di Tizio:

1 3 23

1

+ 4; 8(1; 0133) + 4; 8(1; 0133) + 105; 158(1; 0133) +

REA(1; 33%) = 199; 2 + 4; 8(1; 0133) 2 2 12

5 41

2 3

+2; 4(1; 0133) + 2; 4(1; 0133) + 2; 4(1; 0133) + 101; 49(1; 0133)

2 12

= +21; 51 euro

ed essendo positivo implica che il tasso implicito dell’operazione di Caio sarà

superiore a quello di Tizio. 3

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI URBINO (Sede di Fano)

COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 9 Gennaio 2019

1)

Si calcoli il valore in t = 10 (anni) dei seguenti flussi finanziari, utilizzando i regimi e i tassi

specificati:

A- Dieci entrate trimestrali costanti di importo pari a 750€ l'una di cui l'ultima in data t = 8 (anni),

in regime RIC con i =4%;

2

B- Due entrate di 450€ seguite da 2 uscite sempre di 450€, alle scadenze t = 4 e t = 5 (anni) per le

entrate e t = 6.5 e t = 9 (anni) per le uscite, in regime RIS con d =1.8%;

3

C- Cinque uscite, una di importo triplo alla precedente, a cadenza semestrale, di cui l'ultima in t = 7

(anni) di importo pari a 2.835€ e un'entrata in t = 3.7 (anni) di importo pari a 5.000€, in regime RIA

con i =3%.

3

2)

Si compili il piano di rimborso di un prestito di importo pari a 65.000€, che avviene tramite 5 rate

biannuali, di importo costante al tasso annuo del 5.5%.

Si calcolino Usufrutto e Nuda Proprietà dopo la terza rata, al tasso di valutazione j=4.5%.

Se lo stesso importo venisse rimborsato tramite un piano Italiano formato da 36 rate mensili al tasso

annuo del 5.5%, a quanto ammonterebbe il debito residuo dopo il pagamento della 33esima rata? (si

proceda senza calcolare tutte le rate).

3)

Tizio acquista un BOT a 5 anni (VN=100) al prezzo di 86€ e lo rivende dopo 27 mesi al tasso del

4.5%.

Caio acquista due BTP a 4 anni (VN=100) al prezzo di 99.6€ che corrispondono cedole semestrali al

tasso tecnico del 4.8%. Vende il primo titolo dopo 23 mesi al tasso del 3.5% e corso Tel-Quel, e il

secondo dopo 41 mesi al tasso del 3.3%, al Corso Secco.

Chi dei due ha fatto la migliore operazione in base al criterio del T.I.?

SOLUZIONE

ESERCIZIO 1

A - Poichè le rate sono trimestrali occorre ricavare il tasso trimestrale i , in

4

RIC: 2 4

(1 + i ) = (1 + i )

2 4

da cui: i = 0:0198

4

Per calcolare il valore in t=10 anni si può iniziare calcolando il valore in

corrispondenza dell’ultimo importo (t=8), usando la formula del valore …nale

delle rendite positicipate, per poi capitalizzare il risultato di ulteriori due anni

(cioè 8 trimestri): 8

(1 + i ) = 9598; 44 euro

V = 750s 4

10 10ei 4

B - Per fare capitalizzazioni in RIS occorre avere un tasso di interesse. Ri-

caviamo quello annuo: d 3

i = = 0:01833

3 1 d 3

e: i = 3i = 0:05499

3

A questo punto si possono capitalizzare tutti gli importi singolarmente,

facendo attenzione a rispettare il segno per di¤erenziare entrate e uscite:

V = 450(1 + i 6) + 450(1 + i 5) 450(1 + i 3:5) 450(1 + i 1) = 160; 84 euro

10 C - In RIA occorre invece avere un tasso di sconto. Ricaviamo quello annuo:

i

3

d = = 0:29126

3 1 + i

3

e: d = 3d = 0:08738

3

A questo punto occorre ricavare i cinque importi a partire dal più alto,

dividendolo per cinque e così via.

Gli importi risultano: 2835 euro in t=7, 945 euro in t=6.5, 315 euro in t=6,

105 euro in t=5.5 e in…ne 35 euro in t=5.

Capitalizzando singolarmente le cinque uscite e l’unica entrata abbiamo:

2835 945 315 105 35 5000

V = + = 5256 euro

10 1 d 3 1 d 3:5 1 d 4 1 d 4:5 1 d 5 1 d 6:3

1

ESERCIZIO 2

Si tratta di un Piano Francese. Essendo le rate biennali, occorre ricavare il

tasso biennale: 2

i = (1 + i) 1 = 0:113025

12

con cui, usando la condizione di chiusura iniziale, si può ottenere la rata:

65000

R = = 17:721; 097

a 5ei 1

2

e segue l’intero piano di rimborso:

k R C I D

k k K k

0 = = = 65:000

1 17:721; 097 10:374; 472 7:346; 625 54:625; 528

2 17:721; 097 11:547; 047 6:174; 05 43:078; 481

3 17:721; 097 12:852; 152 4:868; 945 30:226; 329

4 17:721; 097 14:304; 766 3:416; 331 15:921; 563

5 17:721; 097 15:921; 563 1:799; 535 =

Nel calcolare usufrutto e nuda proprietà possiamo utilizzare il tasso di val-

utazione annuo fornito nel testo, ricordandoci che un biennio è formato da due

anni e due bienni sono quattro anni:

2 4

U = I (1 + j) + I (1 + j) = 4:637; 46 euro

3 4 5

2 4

N P = C (1 + j) + C (1 + j) = 26:450; 5 euro

3 4 5

Col Piano Italiano sappiamo che vale la regola:

D = (n k)C

k

e nel nostro caso k = 33, n = 36 e

65:000 = 1:805; 55 euro

C = 36

e quindi: D = 3C = 5:416; 67 euro

33 2

ESERCIZIO 3

Il BOT acquistato da Tizio viene rivenduto 33 mesi prima del termine, e

conoscendo il tasso di valutazione possiamo calcolarne il prezzo:

33 = 88; 6 euro

P = 100(1; 045) 12

e quindi il tasso implicito è: 12

88; 6 27

i = 1 = 0:0133

86

Per quanto riguarda i BTP di Caio, occorre prima calcolare l’ammontare

delle cedole, che sono semestrali: 0:048

Cedola = 100 = 2:4 euro

2

Primo titolo: dopo 23 mesi mancano ancora 5 scadenze semestrali, di cui

l’ultima con il Valore Nominale. Al corso secco avremmo:

1 3 5

1 2

P = 2; 4(1; 035) +2; 4(1; 035) +2; 4(1; 035) +2; 4(1; 035) +102; 4(1; 035) = 103; 158 euro

2 2 2

cs

a cui va aggiunto il rateo: 5

r = Cedola = 2 euro

6

per avere il prezzo al Corso Te-Quel:

P = P + r = 105; 158 euro

CT q cs

Secondo titolo: dopo 41 mesi restano sono due scadenze, di cui l’ultima col

Valore Nominale, quindi il prezzo al corso secco è:

1 1

P = 2; 4(1; 033) + 102; 4(1; 033) = 101; 49 euro

2

CS

Per determinare il tasso implicito per Caio e superiore o inferiore a quello di

Tizio, calcoliamo il REA per Caio usando il tasso implicito di Tizio:

1 3 23

1

+ 4; 8(1; 0133) + 4; 8(1; 0133) + 105; 158(1; 0133) +

REA(1; 33%) = 199; 2 + 4; 8(1; 0133) 2 2 12

5 41

2 3

+2; 4(1; 0133) + 2; 4(1; 0133) + 2; 4(1; 0133) + 101; 49(1; 0133)

2 12

= +21; 51 euro

ed essendo positivo implica che il tasso implicito dell’operazione di Caio sarà

superiore a quello di Tizio. 3

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI URBINO

COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 4 agosto 2017

1) Il signor X chiede un prestito in banca di 40000€, che dovrà rimborsare in 3 anni a rate costanti

semestrali posticipate ad un tasso del 3.7% annuo.

a) Redigere il piano di rimborso.

b) Calcolare usufrutto e nuda proprietà al pagamento della terza rata al tasso di valutazione del 3%

annuo.

c) Volendo estinguere il debito allo scadere della terza rata, valutare quando si deve pagare

sapendo che la banca concede l’estinzione anticipata al tasso del 3% annuo.

2) Devo chiedere un finanziamento dell’importo di 10000€. La Banca A mi chiede un rimborso a rata

costante posticipata di importo R=1100€ per 10 anni. La Banca B chiede il rimborso in 2 rate annue

posticipate di 5400€.

Dire quale finanziamento si sceglie in base al criterio del Tasso Implicito.

3) Un titolo di puro sconto viene pagato oggi 99 su 100 di valore nominale scadente fra 5 mesi.

Calcolare il tasso spot. Volendo disporre di 4500€ a scadenza, dire quando si deve investire.

Si conosce un secondo titolo che richiede di pagare oggi 2500€ a fronte di 2550€ fra 8 mesi. Calcolare

il tasso spot.

In base a tali due titoli, calcolare il tasso forward per una operazione finanziaria che inizia fra 5 mesi

e scade fra 8. •

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