Esame svolto di Fondamenti di automatica

1. Si consideri il sistema S con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti equazioni:

_x1(t) = 2x₁(t) - 2x₂²(t)_x2(t) = -3x₂(t) + 3(t)y(t) = x₁(t)

1.1. [3 punti] Verificare che (a) (x̄₁, x̄₂) = (1, 1) è stato di equilibrio associato all’ingresso costante (t) = 1, t ≥ 0, e (b) tale stato di equilibrio è instabile.

Sostituendo (t) = ̄ = 1 e lo stato di eq. si ha: 2x̄₁ - 2x̄₂² = 2 - 2 = 0 ⇒ ok! -3x̄₂ + 3̄ = -3 + 3 = 0 ⇒ ok!

Il sistema è triangolare e l’unica parte N.L. è -2x₂² ⇒ l’autore 2 associato allo dinamica x₁ è autore del sistema LIN. ed è > 0 ⇒ Mov. di eq. instab.

1.2. [2 punti] Determinare l’espressione analitica del movimento dello stato del sistema non lineare S associato all’ingresso (t) = 1, t ≥ 0, e alla condizione iniziale x₁(0) = x̄₁ + ε e x₂(0) = x̄₂, dove (x̄₁, x̄₂) = (1, 1) è lo stato di equilibrio al punto precedente e ε è un parametro a valori reali.

[Suggerimento: l’equazione che governa la dinamica di x₂ è lineare (e indipendente da x₁) mentre quella che governa x₁ lo diventa se si interpreta il termine -2x₂²(t) come un ingresso forzante.]

Il sistema è triangolare, iniziamo risolvendo_x2 = -3x₂ + 3̄ con x₂(0) = 1 e (t) = ̄ ≤ 1 Per def. di Equil. si ha x₂(t) = x̄₂ = 1, t≥ 0

Sostituendo nelle eq. di x₁ si ha x₁ = + 2x₁ - 2x₂² = - 2x₁ - 2x̄₂² essendo x₁(0) = x̄₁ + ε si avrà x₁(t) = x̄₁ + εe^2t, t ≥ 0

Effetto della perturbaz. alleci. di equilibrio.

1.3.

Il sistema S viene retroazionato secondo lo schema in figura, dove il sistema in retroazione è statico con guadagno k.

(a) [1 punto] Scrivere le equazioni del sistema retroazionato con ingresso v e uscita y.

Dallo schema si ha

• u = v + ky

Quindi,

• ẋ₁ = 2x₁ - 2x₂
• ẋ₂ = -3x₂ + 3(v + kx₁)
• y = x₁

(b) [3 punti] Determinare, se possibile, valori di k e v̄ tali che a) (x̄₁, x̄₂) = (1, 1) sia stato di equilibrio associato all’ingresso costante v(t) = v̄, t ≥ 0 e b) tale stato di equilibrio sia asintoticamente stabile.

EQ

L’eq. di x₁ è come prima

Lo secondo dà:

• 3kx̄₁ - 3x̄₂ + 3v̄ = 0

• V̄ = x₁ - kx̄₁ = 1 - k

La matrice A_W del sistema in AN. CHIUSO è

• A_VN = [2 -4kx̄₂]
• [3k -3]
• = [2 -4]
• [2k -3]

( λI - A_VN) = (λ - 2) (λ + 3) + 12k = λ² + λ + 12k - 6

Gli auton. hanno Re_co sse

• 12k - 6 > 0 (⇒) [k > 1/2]

2. In figura è rappresentato il diagramma di Bode del modulo (esatto e approssimato) della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento G(s) di un sistema lineare tempo invariante asintoticamente stabile.

G(s) ha tutti gli zeri a parte reale positiva e guadagno positivo.

2.1. [2 punti] Scrivere l’espressione della funzione di trasferimento G(s).

G(s) = \[\frac{-2s+1}{(s+1)(0.1s+1)}\]

2.2. [3 punti] Determinare l’espressione analitica della risposta di regime y_oo(t) del sistema con funzione di trasferimento G(s) quando u(t) = 3 + cos(200t) + e^0.5t. Specificare in quanto tempo l’uscita si assesta a quella di regime calcolata.

Y₂ = |G(j200)|sin(2ωt - \[\frac{π}{2}\] + φ(G(jω)))

Y_oo(t) = sin(200t - \[\frac{π}{2}\] - 4.7t)

2.3.

Il sistema con funzione di trasferimento G(s) viene inserito nello schema di controllo in figura, dove R(s) = k_P + k_I ¹⁄_s è la funzione di trasferimento in un regolatore ad azione proporzionale e integrale e d(t) è un disturbo additivo sull’uscita che viene prefiltrato dal sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di trasferimento H(s) = ^0.1⁄_1+0.1s.

a) [3 punti]

Posto k_I = 0, determinare per quali valori di k_P > 0 il sistema di controllo è asintoticamente stabile.

L(s) = k_P G(s)

le sost. in AN, CA. è ASST. (=> ) D_L + N_L=0 ho radici tutte con Re < 0

k10(-25 + 7) + 0.1s² + s + 1+10k_P = 0

0.1s² + (1-20k_P)s + (1+10k_P) = 0

• 1-20k_P > 0 (=>) ^k_P⁄_1/⁄20 < 0.055
• 1+10k > 0 => k_P>0

b) [4 punti]

Determinerè k_P e k_I in modo che il sistema di controllo progettato, oltre ad essere asintoticamente stabile, soddisfi le seguenti specifiche: i) l’errore di inseguimento a transitorio esaurito quando y^o(t) = Asca(t), t ≥ 0, e d(t) = 0, t ≥ 0 è nullo, per ogni A ε [-3, 3]; ii) la pulsazione critica è ω_C ≅ 0.1.

Tracciare i diagrammi di Bode asintotici e esatti (seppur approssimati) della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento d’anello L(s) = R(s)G(s) ottenuta.

le condizioni è un PI : R_I = ⁽¹⁺⁸⁄_SI) , _R1cst T_I = k_P ⁄ k_I

usa lo zero per conv, ie gac in bande freq = D_Ti

Con tipo R_r = i ho e_p=0 come richiesto

L(s) = _{kp * ka}(-2s+1) / _s(0,1s+1)

Per avere w_c = 0,1 f_s k_p = 1 / 100

L*(s) = 0,1 / _s (-2s+1 / 0,1s+1) STR.PR.

P = 0 e w ben def -> Bode Aeruc. M_w = 0,1 ->

SIST. in AE, AS. ST. PHI_m ~ 88° ->

c) [3 punti] Si tracci l'andamento qualitativo del movimento forzato dell'uscita y(t) del sistema di controllo progettato quando y⁰(t) = 0, t ≥ 0, e d(t) = sca(t), t ≥ 0. Specificare nel grafico valore iniziale, finale e tempo di assestamento.

3. Si consideri lo schema in figura, dove G₁(s), G₂(s), e G₃(s) sono le funzioni di trasferimento di sistemi lineari tempo invarianti di ordine 1.

3.1. [2 punti] Scrivere l'espressione della funzione di trasferimento H(s) del sistema con ingresso u ed uscita y in termini di G₁(s), G₂(s), e G₃(s).

3.2.

Posto

nell’espressione calcolata al punto precedente:

(a) [1 punto] verificare che

(b) [3 punti] valutare le proprietà di stabilità del sistema con ingresso u ed uscita y.

Re(

sost, as. stab.

4. [3 punti]

Con riferimento ad un sistema dinamico lineare tempo invariante a tempo discreto descritto dalle equazioni

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k)

con funzione di trasferimento G(z), si risponda alle seguenti domande, motivando la risposta.

a) Il movimento forzato dell’uscita associato a u(t) = sca(t) ha un contributo di natura oscillatoria se:

• un autovalore di A è complesso ☐
• un autovalore di A è reale negativo ☐
• un polo di G(z) è reale negativo ☐

b) Se il sistema è asintoticamente stabile, il tempo di assestamento dipende da:

• poli di G(z) ☐
• modulo della parte reale degli autovalori di A ☐
• modulo degli autovalori di A ☐

c) Si può concludere che esiste almeno un equilibrio associato all’ingresso u(t) = 1, t ≥ 0, se:

• A è invertibile ☐
• A è identicamente nulla ☐
• l’ordine del sistema è n = 1 ☐