Esame Microeconomia per la finanza

Supponete che l'assicurazione garantisca che il cliente riceverà il rendimento atteso di con

certezza indipendentemente dall'esito del progetto. Poiché il cliente è neutrale rispetto al rischio e

poiché il suo rendimento atteso è uguale al rendimento garantito dall'assicurazione, per il cliente

l'assicurazione non ha valore. Il cliente è soddisfatto dai profitti incerti del progetto tanto quanto

lo è dell'esito garantito che avrebbe con la polizza assicurativa. Di conseguenza, non pagherà per

assicurarsi.

c. Supponete di avere scoperto che i giapponesi sono a loro volta sul punto di introdurre un

prodotto sostitutivo della maionese, il mese prossimo. Il vostro cliente non ne è al corrente e

€1000.

ha appena rifiutato la vostra offerta finale, un premio di Supponete che il cliente vi

dica che alla sua azienda bastano sei mesi per perfezionare la formula (nel frattempo voi

siete al corrente dei progressi dei concorrenti giapponesi). Abbassereste o alzereste il

premio della polizza, in una nuova offerta? In base a queste informazioni, il cliente

accetterebbe?

L'ingresso dei giapponesi riduce la probabilità che il cliente ottenga un payoff alto. Assumiamo

per esempio che la probabilità del payoff di un miliardo di euro si riduca della metà. L'esito

atteso è quindi:

RA (0,9995)(−€1.000.000) (0,0005)((€1.000.000.000)

= + = −€499.500.

Occorre quindi aumentare significativamente il premio. Il cliente, però, essendo all'oscuro

dell'ingresso dei giapponesi, continuerà a rifiutare la vostra offerta di assicurare le sue perdite.

u ( RD ) 10 RD

=

6. Supponete che la funzione di utilità di Natasha sia data da , dove RD

rappresenta il reddito annuo in migliaia di euro.

a. Natasha è propensa, avversa o neutrale rispetto al rischio? Motivate la risposta.

€10.000

Natasha è avversa al rischio. Per provarlo, assumiamo che abbia e che le venga proposta

€1.000

una scommessa che comporta una vincita di con il 50% di probabilità oppure una perdita

10(10)

€1.000 €10.000

di con il 50% di probabilità. L'utilità del suo reddito attuale di è u(10) =

10. Con la scommessa, la sua utilità attesa è:

= EU (0,5)( 10(11)) (0,5)( 10(9)) 9,987 10.

= + = <

Natasha non accetterà la scommessa. Se fosse neutrale rispetto al rischio, sarebbe indifferente tra

€10.000

i e la scommessa, e se fosse propensa al rischio, preferirebbe la scommessa.

Possiamo constatare che è avversa al rischio anche notando che la funzione radice quadrata

cresce a un ritmo decrescente (la derivata seconda è negativa), il che implica che l'utilità

marginale sia decrescente. €40.000

b. Supponete che Natasha attualmente disponga di un reddito di (RD = 40) e che per il

prossimo anno questo reddito sia sicuro. Le viene offerto un nuovo lavoro, che renderà

€44.000 €33.000

con probabilità 0,6 oppure con probabilità 0,4. Dovrebbe accettare?

10(40)

L'utilità del suo stipendio attuale è 20. L'utilità attesa del nuovo lavoro è

=

EU (0,6)( 10(44)) (0, 4)( 10(33)) 19,85,

= + =

cioè meno di 20, quindi Natasha non dovrebbe accettare il lavoro. Si può giungere alla

conclusione che Natasha dovrebbe rifiutare il lavoro anche notando che il valore atteso del nuovo

€39.000,

lavoro è solo di meno del suo stipendio attuale. Dato che Natasha è avversa al rischio,

non dovrebbe accettare uno stipendio incerto il cui valore atteso è minore del suo stipendio sicuro

attuale.

c. In (b), Natasha sarebbe disposta ad acquistare una copertura assicurativa per proteggersi

rispetto alla variabilità del reddito del nuovo lavoro? Se così fosse, quanto sarebbe disposta

a pagare per una simile assicurazione? (Suggerimento: che cos’è il premio per il rischio?)

Questa domanda presuppone che Natasha accetti il nuovo lavoro (per motivi non noti). Lo stipendio

€39.600.

atteso è 0,6(44.000) 0,4(33.000) Il premio per il rischio è la somma che Natasha

+ =

sarebbe disposta a pagare per poter ricevere con certezza lo stipendio atteso invece dello stipendio

incerto. In (b) abbiamo determinato che il nuovo lavoro ha un'utilità attesa di 19,85. Dobbiamo

calcolare lo stipendio certo che dà a Natasha la medesima utilità, quindi vogliamo trovare un RD

tale che u(RD) 19,85. Utilizzando la funzione di utilità, risolviamo l'equazione seguente:

=

10 RD 19,85

= . Elevando al quadrato entrambi i membri, 10RD 394,0225, cioè RD 39,402.

= =

€39.402

Quindi Natasha è soddisfatta allo stesso modo da uno stipendio certo di e dallo stipendio

€39.600. €39.600 €198.

incerto avente valore atteso Il suo premio per il rischio è 39.402

− =

€198 €39.600

Natasha sarebbe quindi disposta a pagare per essere certa che il suo reddito sia di e

per eliminare il rischio associato al nuovo lavoro.

7. Supponete che due investimenti abbiano gli stessi tre payoff, ma che le probabilità associate a

ciascun payoff differiscano, come indicato nella tabella sottostante:

Probabilità (Investimento Probabilità (Investimento

Payoff A) B)

€300 0,10 0,30

€250 0,80 0,40

€200 0,10 0,30

a. Determinate il rendimento atteso e la deviazione standard di ciascun investimento

Il valore atteso del rendimento dell'investimento A è €250.

E (0,1)(300) (0,8)(250) (0,1)(200)

= + + =

La varianza dell'investimento A è

2 2 2 2

(0,1)(300 250) (0,8)(250 250) (0,1)(200 250) 500,

σ = − + − + − =

€22,36.

500

e la deviazione standard dell'investimento A è σ = =

Il valore atteso del rendimento dell'investimento B è €250.

E (0,3)(300) (0,4)(250) (0,3)(200)

= + + =

La varianza dell'investimento B è

2 2 2 2

(0,3)(300 250) (0,4)(250 250) (0,3)(200 250) 1500,

σ = − + − + − =

€38,73.

1500

e la deviazione standard dell'investimento B è σ = =

b. Marta ha la funzione di utilità U = 5R, dove R indica il payoff. Quale investimento

sceglierà?

L'utilità attesa di Marta per l'investimento A è

EU (0,1)(5 300) (0,8)(5 250) (0,1)(5 200) 1.250.

= × + × + × =

L'utilità attesa di Marta per l'investimento B è

EU (0,3)(5 300) (0,4)(5 250) (0,3)(5 200) 1.250.

= × + × + × =

Poiché i due investimenti le procurano la stessa utilità attesa, Marta sarà indifferente tra i due.

Notate che Marta è neutrale rispetto al rischio e che di conseguenza è interessata solamente ai

valori attesi. Dato che gli investimenti A e B hanno gli stessi valori attesi, Marta è indifferente tra

i due. U 5 R

=

c. Enrico ha la funzione di utilità . Quale investimento sceglierà?

L'utilità attesa di Enrico per l'investimento A è

300 250 200

EU (0,1)(5) (0,8)(5) (0,1)(5) 78,98.

= + + =

L'utilità attesa di Enrico per l'investimento B è

300 250 200

EU (0,3)(5) (0,4)(5) (0,3)(5) 78,82.

= + + =

Enrico sceglierà l'investimento A perché ha un'utilità attesa leggermente maggiore. Notate che

Enrico è avverso al rischio e, dato che i due investimenti hanno lo stesso rendimento atteso,

preferisce quello con una minore variabilità.

2

d. Laura ha la funzione di utilità U = 5R . Quale investimento sceglierà?

L'utilità attesa di Laura per l'investimento A è

2 2 2

EU (0,1)(5 300 ) (0,8)(5 250 ) (0,1)(5 200 ) 315.000.

= × + × + × =

L'utilità attesa di Laura per l'investimento B è

2 2 2

EU (0,3)(5 300 ) (0,4)(5 250 ) (0,3)(5 200 ) 320.000.

= × + × + × =

Laura sceglierà l'investimento B perché ha un'utilità attesa più alta. Notate che Laura è propensa

al rischio e che, dal momento che i due investimenti hanno lo stesso rendimento atteso, preferisce

quello caratterizzato da una maggiore variabilità. €250.000,

8. Come proprietario di un’azienda agricola familiare il cui patrimonio ammonta a

dovete scegliere tra due alternative: rinunciare per questa stagione al raccolto e investire gli

utili dello scorso anno (€200.000) in un fondo monetario sicuro che frutta il 5 per cento, oppure

€200.000

coltivare del mais. Il costo della coltivazione è e il tempo necessario per produrre un

raccolto è di sei mesi. In presenza di piogge, al momento del raccolto la coltivazione di mais

€500.000. €50.000.

frutterebbe ricavi per In caso di siccità, il raccolto renderebbe ricavi per

Come terza alternativa, potreste acquistare il mais resistente alla siccità prodotto da AgriCorp

€250.000, €500.000 €350.000

al costo di che renderebbe in presenza di piogge e in caso di siccità.

Non siete propensi al rischio, e le vostre preferenze circa il benessere della vostra famiglia (B)

U(B)= B

sono specificate dalla relazione . La probabilità che l’estate sia secca è 0,30, quella

che vi siano piogge è 0,70.

Quale delle tre opzioni scegliete? Motivate la risposta.

Calcolate l'utilità attesa del benessere nelle tre alternative. Il benessere è uguale al patrimonio iniziale

€250.000

di più tutto ciò che viene guadagnato con la coltivazione del mais o grazie all'investimento

finanziario sicuro. L'utilità attesa dell'opzione sicura, tenuto conto del fatto che il patrimonio iniziale

€250.000,

è è: 0,5

E(U) (250.000 200.000(1 0,05)) 678,23.

= + + =

L'utilità attesa con il mais normale, anche in questo caso tenendo conto del patrimonio iniziale, è:

0,5 0,5

E(U) 0,7(250.000 (500.000 200.000)) 0,3(250.000 (50.000 200.000))

= + − + + −

519,13 94,87 614.

= + =

84   Pindyck/Rubinfeld, Microeconomics,   Eighth Edition

L'utilità attesa con il mais resistente alla siccità è:

0,5 0,5

E(U) 0,7(250.000 (500.000 250.000)) 0,3(250.000 (350.000 250.000))

= + − + + −

494,975 177,482 672,46.

= + =

Dovreste scegliere l'opzione cui è associata l'utilità attesa più alta, ovvero la scelta sicura di non

coltivare mais.

Nota: si pone un sottile problema di tempi: il rendimento della coltivazione del mais viene realizzato in

sei mesi, mentre il fondo monetario re