Elaborato finale Matematica applicata

P

condizioni iniziali assegnate sono fissate per il problema di ordine “zero”, quindi per i problemi k

k > 0 y (0) = y′ = 0 ∀k > 0

con le c.i sono omogenee, k K

y′

′ + y = 0

0 0

y (0) = 0

P : 0

0 y′ (0) = 1

0 ′

3

y′

′ + y = − y (t)

1 1 0

P : y (0) = 0

1 1

y′ (0) = 0

1 ′ 2

y′

′ + y = − y (t)y′ (t)

2 2 0 1

P : y (0) = 0

2 2

y′ (0) = 0

2 2

d

ℒ = + 1

P

Tutti i problemi sono lineari e l’operatore differenziale è sempre lo stesso: .

k dt 2

Nel problema differenziale di partenza, l’ODE è non lineare ma la non linearità si trova nel temine

piccolo, i.e il termine non lineare è moltiplicato per il parametro piccolo, quindi utilizzando il

metodo perturbativo automaticamente il problema diventa linearizzato.

P

Si considera il problema :

0 y′

′ + y = 0 (7)

0

0

Si ricava la soluzione del problema passando per l’omogenea associata:

±

2

λ + 1 = 0 → λ = −1

La soluzione è del tipo:

y (t) = c cos(t) + c sin(t) ∀c , c ∈ ℝ (8)

0 1 2 1 2

Per trovare le costanti, si impongono le condizioni iniziali:

y (0) = c = 0

0 1

y′ (0) = − c sin(0) + c cos(0) = c = 1

1 2 2

0 P

Quindi esiste un’unica soluzione di ed è:

0

y (t) = sin(t) (9)

0 Pagina 9 di 22

P

Si analizza il problema :

1 ′

3

y′

′ + y = − y (t) (10)

1

1 0

Dove: 3 1

′

3 3

y (t) = cos (t) = cos(t) + cos(3t)

0 4 4

La soluzione di (10) sarà data dalla somma della soluzione dell’omogenea associata e della

soluzione particolare: y (t) = y (t) + y (t) (11)

1 1h 1p

La soluzione dell’equazione omogenea associata è del tipo:

y (t) = c cos(t) + c sin(t) ∀c , c ∈ ℝ (12)

1h 1 2 1 2

Per la soluzione particolare si ricorre al metodo di somiglianza:

y (t) = Atcos(t) + Btsin(t) + Ccos(3t) + Dsin(3t) (13)

1p

y′ (t) = − Atsin(t) + Acos(t) + Bsin(t) + Btcos(t) − 3Csin(3t) + 3Dcos(3t)

1p

y′

′ (t) = − Atcos(t) − Asin(t) − Asint (t) − Btsin(t) + Bcos(t) + Bcos(t) − 9Ccos(3t) − 9Dsin(3t)

1p 3 1

3

⇒ − 2Asin(t) + 2Bcos(t) − 8Ccos(3t) − 8Dsin(3t) = − cos (t) = − cos(t) − cos(3t)

4 4

Di conseguenza: A =0 3 3

2B = − → B = −

4 8

1 1

−8C = − → C =

4 32

−8D = 0

La soluzione generale si presenta come: 3 1

y (t) = c cos(t) + c sin(t) − tsin(t) + cos(3t) (13)

1 1 2 8 32

Per trovare le costanti, si impongono le condizioni iniziali:

1 1

y (0) = c + = 0 → c = −

1 1 1

32 32

3 3 3

y′ (0) = − c sin(0) + c cos(0) − sin(0) − tcos(0) − sin(0) = c = 0

1 2 2

1 8 8 32

P

La soluzione del problema è:

1 1 3 1

y (t) = − cos(t) − tsin(t) + cos(3t) (14)

1 32 8 32

Pertanto, la soluzione complessiva approssimata al primo ordine risulta:

2

y(t; ε) ≃ y + ε y + o(ε )

0 1 Pagina 10 di 22

[ ]

1 3 1 2

y(t; ε) ≃ sin(t) + ε − cos(t) − tsin(t) + cos(3t) + o(ε ) (15)

32 8 32

La soluzione non è limitata a cause del termine lineare in t, che prende il nome di termine

tsin(t)

secolare. L’ampiezza del termine cresce linearmente causando la divergenza, in

contraddizione con le ipotesi iniziali di convergenza. Si nota che la soluzione non è limitata per

1

t ∈ T P

t < T <

tempi lunghi ma è valida solo per per con . Andando a studiare il problema , si

2

ε

2 2

y (t) t sin(t) t cos(t)

ottiene una soluzione di ordine o perché la forzante è lineare in t:

2 [ ]

1 3 1

′ 2 2

F = − y (t)y′ (t) = − cos (t) sin(t) − tcos(t) − sin(3t)

2 1

0 32 8 32

Quindi, la soluzione complessiva approssimata al secondo ordine sarà del tipo:

2 2 2

y(t; ε) ≃ sin(t) + ε[tsin(t) + . . . ] + ε [t sin(t) t cos(t)]

o

Di conseguenza, non è possibile estendere la regione di validità della soluzione perché i termini

successivi nello sviluppo non modificano la regione di validità: la condizione di validità

1 1

2 2

t < T < t < T <

coincide con la precedente condizione .

ε ε

2 y (t ; ε) ε = 0.01

Grafico di per

y (t ; ε) ε = 0.1

Grafico di per Pagina 11 di 22

Il metodo perturbativo non è idoneo per trovare le soluzione del problema per tempi lunghi; si

procede a studiare il problema applicando il metodo delle scale multiple. t

Si introduce una nuova variabile per mettere in evidenza cosa accade per grandi valori di :

τ := εt 0 < ε ≪ 1

con

Si ipotizza: (t, τ, ε)

a. La soluzione del problema, dipendente tre variabili , si presenta sotto forma di serie di

ε

potenze di ∞

2 k

∑

y(t, τ; ε) = y (t, τ) + ε y (t, τ) + ε y (t, τ) + . . . = y (t, τ)ε (16)

0 1 2 k

k=0

b. La serie converge uniformemente

+

∃M ∈ ℝ y (t, τ) < M ∀t, ∀τ, ∀k

| | | (17)

k

Di conseguenza, è possibile riscrivere le derivate come:

d ∂ ∂

→ + ε

dt ∂t ∂τ

2

y′

(t, τ; ε) = y (t, τ) + ε[y (t, τ) + y (t, τ)] + ε [y (t, τ) + y (t, τ)] + . . . (18)

0t 0τ 1t 1τ 2t

2 2 2 2

d ∂ ∂ ∂

2

→ + 2ε + ε

dt ∂t ∂t∂τ ∂τ

2 2 2

2 2

y′

′

(t, τ; ε) = y (t, τ) + 2ε y (t, τ) + ε y (t, τ) + ε[y (t, τ) + 2ε y (t, τ) + ε y (t, τ)] + . . .

0tt 0tτ 0ττ 1tt 1tτ 1ττ

2 2

ε [y (t, τ) + 2ε y (t, τ) + ε y (t, τ)] + . . . (19)

2tt 2tτ 2ττ

Per quanto riguarda le condizioni iniziali:

3

y′

′ + ε(y′

) + y = 0

y(0) = a → y (0,0) = a, y (0,0) = 0, ∀k ≥ 1 (20)

0 k

y′

(0) = b → y (0,0) = b, y (0,0) = − y (0,0), ∀k ≥ 1

0,t kt k−1,τ ∀t ∈ (0, + ∞)

Sostituendo (16), (18) e (19) nell’ODE, si ottiene un’identità scrivibile come una

ε

serie di potenze in : t τ

(per semplicità di scrittura proseguo omettendo la dipendenza da e )

2 2 2 2

y + 2ε y + ε y + ε[y + 2ε y + ε y ] + ε [y + 2ε y + ε y ] + . . .

0tt 0tτ 0ττ 1tt 1tτ 1ττ 2tt 2tτ 2ττ

3 2 2 2 3 3 2 2 2 3

+ε[(y + ε y y + ε y y + ε y ) + ε(y + ε y y + ε y y + ε y ) + . . . ]+

0τ 0t 0τ 1τ 1t 1τ

0t 0τ 1t 1τ

0t 1t

2

y + ε y + ε y + . . . = 0 (21)

0 1 2 ε

n

Si divide (21) in problemi, ognuno rispettivamente avente il proprio ordine rispetto a .

y + y = 0

0tt 0 2

∂

y (0,0) = a

P : ℒ = +1

Operatore differenziale:

0

0 ∂t 2

y (0,0) = b

0t Pagina 12 di 22

3

y + y = − 2y (t, τ) − y (t, τ)

1tt 1 0tτ 0t

P : y (0,0) = 0

1 1

y (0,0) = − y (0,0)

1t 0τ 2 3

y + y = − y (t, τ) − 2y (t, τ) − y y (t, τ) − y (t, τ)

2tt 2 0ττ 1tτ 0t 0τ 1t

P : y (0,0) = 0

2 2

y (0,0) = − y (0,0)

2t 1τ P

Si considera il problema :

0 y + y = 0 (22)

0tt 0

La soluzione è del tipo: y (t, τ) = a(τ)cos(t) + b(τ)sin(t) (23)

0

Da cui si ricavano le funzioni derivate:

y (t, τ) = − a(τ)sin(t) + b(τ)cos(t) (24)

0t

y (t, τ) = a′

(τ)cos(t) + b′

(τ)sin(t) (25)

0τ

y (t, τ) = − a′

(τ)sin(t) + b′

(τ)cos(t) (26)

0tτ

a(τ) b(τ)

con e funzioni arbitrarie tali che le c.i siano verificate.

Quindi si impone:

y (0,0) = a = 0 → a(0) = 0 (27)

0

y (0,0) = b = 1 → b(0) = 1 (28)

0t P

Si riscrive il problema sostituendo (24), (26) e (27):

1 3 3

y + y = − 2y (t, τ) − y (t, τ) = − 2a′

(τ)sin(t) − 2b′

(τ)cos(t) − [−a(τ)sin(t) + b(τ)cos(t)] ]

1tt 1 0tτ 0t

P : y (0,0) = 0

1 1

y (0,0) = − y (0,0) = − a′

(0)

1t 0τ

Sviluppando il termine al cubo e applicando le formule trigonometriche si ottiene:

3

y + y = + 2a′

(τ)(τ)sin(t) − 2b′

(τ)cos(t) − [−a(τ)sin(t) + b(τ)cos(t)] ] =

1tt 1 [ ] [ ]

3 1 3 1

3 3

−2a′

(τ)(τ)sin(t) − 2b′

(τ)cos(t) + a (τ) sin(t) + sin(3t) − b (τ) cos(t) + cos(3t) −

4 4 4 4

[ ] [ ]

1 1 1 1

2 2

3a (τ)b(τ) cos(t) − cos(3t) + 3a(τ)b (τ) sin(t) − sin(3t) (29)

4 4 4 4

F(t, τ)

Si ricava la forzante del sistema:

[ ] [ ]

3 3 3 3

3 2 3 2

F(t, τ) = sin(t) 2a′

(τ) + a (τ) + a(τ)b (τ) − cos(t) 2b′

(τ) + b (τ) + a (τ)b(τ)

4 4 4 4

Pagina 13 di 22

[ ] [ ]

1 3 1 3

3 2 3 2

+cos(3t) −b (τ) + a (τ)b(τ) + sin(3t) a (τ) − a(τ)b (τ) (30)

4 4 4 4

a(τ) b(τ)

Si cercano le funzioni e in modo da evitare la risonanza, quindi si pongono i coefficienti

cos(t) sin(t)

dei termini in risonanza con l’operatore, ossia e , uguali a zero; non si considerano i

cos(nt) sin(nt) n ≠ 1 t

termini e con perché non producono termini lineari in .

3 3

3 2

2a′

(τ) + a (τ) + a(τ)b (τ) = 0 a(0) = 0

con

4 4 (31)

3 3

3 2

2b′

(τ) + b (τ) + a (τ)b(τ) = 0 b(0) = 1

con

4 4 τ

(per semplicità di scrittura si omette la dipendenza )

Risoluzione della prima equazione:

da 3 3 2

= (−a − b a)

dτ 8

da 3

− = dτ

a + b a 8

3 2 1

2

x = a + 1 d x = a