Appello febbraio Elaborazione delle immagini e segnali

LTIS.

Possiamo raggruppare l’equazione differenziale che esprime un sistema LTIS in questo

modo: n m

d v(t) dv(t) d u(t) du(t)

a + . . . + a + a v(t) = b + . . . + b + b u(t)

n 1 0 m 1 0

n m

dt dt dt dt

n n−1 1 m m−1 1

(D + a D + . . . + a D + a )v(t) = (b D + b D + . . . + b D + b )u(t)

n−1 1 0 m m−1 1 0

Q(D)v(t) = P (D)u(t)

Le radici caratteristiche del sistema sono i coefficienti ricavati dalla soluzione della ri-

sposta zero-input del sistema, e non essendo dipendenti dall’input definiscono il sistema

stesso. La risposta zero-input è data dalla soluzione dell’equazione:

Q(D)v(t) = 0.

Affinché l’equazione risulti zero, tutte le soluzioni devono essere della stessa forma e ciò

λt

è possibile solo con soluzioni del tipo e .

n n−1 λt

(λ + a λ + . . . + a λ + a )e = 0

n−1 1 0

n n−1

λ + a λ + . . . + a λ + a = 0

n−1 1 0

n

Tutte le λ , . . . , λ sono le radici caratteristiche del sistema.

Descrivere gli stati di stabilità di un sistema LTIS e descrivere le relative condizioni

in relazione alle radici caratteristiche giustificando la risposta.

In generale la stabilità di un sistema è data dal fatto che dopo una perturbazione di

→ ∞

lunghezza e ampiezza finita esso ritorni e converga verso un valore al tendere di t

invece di divergere.

Supponiamo quindi di avere un sistema LTIS, con una certa risposta zero-input. A

questo sistema diamo in input un segnale f (t) per un certo tempo. Se dopo un po’ il

sistema ritorna nello stato iniziale, dando la stessa risposta zero-input precedente, allora

il sistema è stabile. Più precisamente, se le radici caratteristiche tendono a zero per

→ ∞,

t allora possiamo dire che il sistema è asintoticamente stabile. Qualora invece

non tendano a zero, ma tendano ad una costante, il sistema si definisce marginalmente

stabile. u

X λjt

y(t) = e c

j

j=1

(

0 se REλ < 0

j

λjt

lim e = +∞ se REλ > 0

t→+∞ j

Domanda 2

Dati due segnali x(t) e f (t) a tempo continuo, fornire la definizione del coefficiente

di correlazione illustrandone il significato e specificandone gli estremi di variabilità.

Considerati i segnali: ∗

x (t) = rect(T ), x (t) = A rect(T ), x (t) = sin(t)

1 2 3

Tra quali coppie di segnali il coefficiente di correlazione sarà più elevato? Giustificare

la risposta

Dati due vettori x e y si definiscono simili qualora x avesse una “larga componente” su

y. Si può quantificare la somiglianza tra i vettori con un coefficiente di correlazione,

definito come: ·

x y

c = = cos θ

|x| · |y|

Più è stretto l’angolo dato da θ (c = 1) più la somiglianza è grande. Lo stesso ragio-

namento è possibile farlo per due segnali x(t) e f (t) dato che possono essere espressi in

termini di vettori. Il coefficiente di correlazione tra x(t) e f (t) è dato quindi da:

+∞

Z

1 f (t)x(t)dt

c =

n p E E −∞

x

f

Se c = 1 allora i segnali sono molto simili, se non identici. Se c = 0 i segnali sono

n n

−1

di forma differente, mentre se c = i segnali sono opposti. La correlazione cosı̀

n

definita non funziona su segnali uguali disgiunti nel tempo, dato che risulterebbe 0. Per

definire correttamente la correlazione tra due segnali disgiunti è necessario considerare

il possibile ritardo, per questo definiamo la correlazione incrociata:

+∞

Z −

Ψ (t) = f (τ )g(τ t)dτ

f y −∞

Prendendo in considerazione i segnali ∗

x (t) = word or phraserect(T ), x (t) = A rect(T ), x (t) = sin(t)

1 2 3

la correlazione tra x e x avrà un valore alto visto che sono lo stesso segnale, solamente

1 2

che x presenta una costante A. Entrambi x e x rispetto a x hanno correlazione 0,

2 1 2 3

dato che sono completamente differenti.

{x ∞}

Data la base completa (t), n = 1, . . . , e dato il segnale f (t), fornire la rappre-

n {x

sentazione di f (t) nella base (t)} illustrando il procedimento.

n

{x

Data una base completa (t)} il segnale f (t) può essere espresso come una combina-

n

zione lineare: n

X

'

f (t) c x (t) + c x (t) + . . . + c x (t) = c x (t)

1 1 2 2 n n i i

i=1

dove l’errore è dato da n

X

−

e(t) = f (t) c x (t)

i i

i=1

Dato il segnale periodico f (t), esprimere i coefficienti della corrispondente serie di

Fourier e descrivere il significato.