Tecniche e progettazione dei sistemi di controllo

Approssimazioni di sistemi impropri

La seguente funzione di trasferimento G(s)= 1/ (1+s) ^5 ha il modello approssimato〖 〗8 descritto dalla funzione di trasferimento:

Modelli approssimati ricavati dalla risposta al gradino

I paramentri da definire nel caso di modelli approssimati ricavati dalla risposta al gradino:

1. Solo i due parametri principali
2. Solo la costante di tempo equivalente
3. Il ritardo equivalente, la costante di tempo equivalente e il guadagno
4. Solo il ritardo equivalente

Lo sviluppo in serie del ritardo è approssimato dalla serie seguente:

Approssimazione di Padé

Il modello di sistema ad anello chouso semplificato è rappresentato dalla figura seguente:

Introduzione

I requisiti fondamentali dei sistemi retroazionati:

1. Raggiungibilità e osservabilità
2. Prestazioni nominali e perturbate
3. Stabilità e prestazioni
4. Stabilità nominale

1. I sistemi ad anello chiuso godono della stabilità robusta:
   a) Quando i sistemi ad anello chiuso hanno la capacità di tollerare alcune specifiche incertezze.
   b) Quando i sistemi ad anello chiuso hanno la capacità di tollerare tutte le incertezze che possono presentarsi.
   c) Quando i sistemi ad anello chiuso hanno la capacità di tollerare tutte le incertezze generate dal regolatore.
   d) Quando i sistemi ad anello chiuso hanno la capacità di tollerare tutte le incertezze generate da ingressi esogeni.
2. La stabilità di un sistema retroazionato in condizioni nominali dipende dai seguenti 4 parametri:
   a) Diagramma di Nyquist
   b) Valore del parametro di riferimento
   c) Valore della variabile di uscita di riferimento
   d) Valori della variabile di ingresso
   e) Valori della variabile di stato
3. Il percorso di Nyquist è formato da una curva chiusa della funzione di trasferimento costituita dall'asse immaginario e un

circonferenza di raggio finito sul semipianoreale positivo

Per avere una conoscenza qualitativa dell’andamento della funzione di trasferimento in7 frequenza si eseguono cinque passi: Diagramma di Nyquistabcd Lo studio del comportamento asintotico prevede:8 Diagramma di Nyquistabcd La funzione di trasferimento seguente ha il diagramma di Nyquist:9 : Diagramma di Nyquistabcd La funzione di trasferimento seguente ha il diagramma di Nyquist:10 : Diagramma di Nyquistabcd

Nel criterio di stabilità di Nyquist, i simboli N e P indicano:

Criterio di Nyquist in condizioni nominaliP il numero di poli con parte reale minore di zero di L(s). N il numero di giri compiuti dala diagramma di Nyquist di L(s) intorno al punto -1. Contato positivamente se in senso antiorario enegativo in senso orario.N il numero di poli con parte reale maggiore di zero di L(s). P il numero di giri compiuti dalb diagramma di Nyquist di L(s) intorno al punto -1. Contato positivamente se in senso antiorario

enegativo in senso orario.P il numero di poli con parte reale maggiore di zero di L(s). N il numero di giri compiuti dalc diagramma di Nyquist di L(s) intorno al punto -1. Contato positivamente se in senso antiorario enegativo in senso orario.P il numero di poli con parte reale maggiore di zero di L(s). N il numero di giri compiuti dald diagramma di Nyquist di L(s) al punto 0. Contato positivamente se in senso antiorario enegativo in senso orario.Il teorema di stabilità in condizione nominale prevede che i valori di N e P siano:

1. Criterio di Nyquist in condizioni nominali: N= 1, P=2
2. Valori uguali: c N assume valori doppi di P
3. d N = P/2

L'esempio con la funzione d'anello L(s) = μ/(1+T s). Nel caso T > 0 e μ<0. Si ha P =0. Si possono verificarsi i sottocasi:

1. Criterio di Nyquist in condizioni nominali: µ > -1 implica N = 0. Sistema stabile asintoticamente
2. µ = -1, N =1. Sistema instabile
3. µ < -1a implica N = 1. Il sistema è

instabileµ > -1 implica N = 0. Sistema stabile asintoticamenteµ = -1, N non è ben definita.

Sistemab instabileµ < -1 implica N = 0. Il sistema è stabileµ > -1 implica N = 2. Sistema stabile asintoticamenteµ = -1, N non è ben definita.

Sistemac instabileµ < -1 implica N = -1. Il sistema è instabileµ > -1 implica N = 0. Sistema stabile asintoticamenteµ = -1, N non è ben definita.

Sistemad instabileµ < -1 implica N = -1. Il sistema è instabile

L'esempio con la funzione d'anello L(s) = μ/(1+s)^3 . La procedura seguente trova il valore del4 guadagno di anello μ che rende il sistema asintoticamente stabile:

Criterio di Nyquist in condizioni nominali

Trovare l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse reale negativo in modo tale che Na uguale P.

Trovare l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse reale negativo in modo tale che Nb uguale P.

Trovare il valore della pulsazione ω tale che L(ω) =-180. Dalle informazioni rcavatedai due passi si determina il valore della disequazione.

Trovare l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse realepositivo in modo tale che Nc uguale P.

Trovare il valore della pulsazione ω tale che L(ω) =-180. Dalle informazioni rcavatedai due passi si determina il valore della disequazione.

Trovare l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse realepositivo in modo tale che Nd uguale P.

Trovare il valore della pulsazione ω tale che L(ω) =+180. Dalle informazioni rcavatedai due passi si determina il valore della disequazione.

La funzione d'anello L(s) = μ/(1+ s). Nel caso μ = -1. Si ottiene il sistema seguente:

5 Criterio di Nyquist in condizioni nominali

Nel caso con μ = -1 si ottiene un sistema retroazionato positivamente. Applicando il criterio dia Nyquist, si trova che N indica il numero di giri intorno al punto +1.

Nel caso

con μ = -1 si ottiene un sistema retroazionato positivamente. Applicando il criterio dib Nyquist, si trova che N indica il numero di giri intorno al punto -1.

Nel caso con μ = -1 si ottiene un sistema retroazionato negativamente. Applicando il criterio dic Nyquist, si trova che N indica il numero di giri inteorno al punto +1.

Nel caso con μ = -1 si ottiene un sistema retroazionato positivamente. Applicando il criterio did Nyquist, si trova che N indica il numero di giri intorno al punto 0.

La funzione d'anello con ritardo di tempo τ, espressa nella seguente formula, comporta un cambiamento nel comportamento del sistema retroazionato:

Criterio di Nyquist in condizioni nominali

La presenza del ritardo produce uno sfasamento proporzionale al valore di τ, che potrebbe portare il sistema retroazionato alla instabilità.

La presenza del ritardo produce uno sfasamento inversamente proporzionale al valore di τ, che potrebbe portare il sistema retroazionato alla

instabilità.La presenza del ritardo produce uno sfasamento proporzionale al valore di τ, che potrebbec portare il sistema retroazionato alla stabilità.La presenza del ritardo produce uno sfasamento proporzionale al valore di 1/τ^2, che potrebbed portare il sistema retroazionato alla instabilità.Il margine di stabilità vettoriale è rappresentato da:

1. Condizioni perturbate
• Dalla distanza tra il punto +1 e l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse realea negativo.
• Dalla distanza tra il punto -1 e l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse immaginariob negativo.
• Dalla distanza tra il punto -1 e l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse realec positivo.
• Dalla distanza tra il punto -1 e l'intersezione della curva di Nyquist con il semiasse realed negativo.
2. Il margine di guadagno è definita da:
• Dal modulo dell'ascissa del punto A. Punto A indicata l'intersezione

1. Il margine di guadagno si ricava direttamente dai diagrammi di Bode, individuando un valore della pulsazione ω tale che:
2. Il margine di guadagno si ricava direttamente dal diagramma di Nyquist, individuando un valore della pulsazione ω tale che:

pulsazione ω tale che:Il margine di guadadno si ricava direttamente dai diagrammi di Bode, individuanto un valore della pulsazione ω tale che:d Si consideri lo schema seguente, quale valore deve avere K per rendere il sistema10 asintoticamente considerando il margine di guadagno: :Margine di GuadagnoIl sistema retroazionato risulta asintoticamente stabile per valore di k > , per il criterio dia Nyquist. Infatti, la condizione di k > , assicura che la curva passi sempre nell’intervallo tra A e+1.Il sistema retroazionato risulta asintoticamente stabile per valore di k > , per il criterio dib Nyquist. Infatti, la condizione di k > , assicura che la curva pass