Risposte e appunti Statistica

∪ B

A B A b

Assiomatica (Kolmogorov 1933): Kolmogorov diede un'impostazione assiomatica alla teoria della

probabilità.

Definì pertanto tre assiomi:

1) Ad ogni evento A corrisponde una probabilità P(A), che soddisfa la seguente disuguaglianza: 0

0 PeA 1 (Positività)

2) La probabilità dell’evento certo e  = 1 (Certezza)



ni=1

3) (⋃ A )=∑ P( A )

P i i

6 Probabilità totale

Più eventi A,B e C si dicono incompatibili (mutuamente escludentesi) quando il verificarsi di uno

esclude il verificarsi degli altri. Dati A e B due eventi incompatibili di probabilità P(A) e P(B), la

probabilità di realizzazione di uno o dell’altro evento è uguale alla somma delle due probabilità dei due

eventi: (principio delle probabilità totali)

PA B  PA PBA B PA B  PA PBA PA B  PA PBB

B   Insieme vuoto

Se gli eventi A e B non sono mutuamente escludentesi (eventi compatibili (A B  , la probabilità

B   , la probabilità  Insieme vuoto

che si verificarsi l’uno o l’altro evento è:

PA B  PA PBA B PA B  PA PBA PA B  PA PBB PA B  PA PBA B

B   Insieme vuoto B

7 Probabilità condizionata

Dato uno spazio campionario Ω e due eventi A e B compatibili fra di loro, si suppone che il secondo

evento (B) sia quello condizionante e si vuole conoscere la probabilità del verificarsi di A.

P(A|B) = A B  PA PBA B / P(B) con P(B) > 0

B

Analogamente, la probabilità condizionata di B dato che si è verificato A è:

P(B|A) = A B  PA PBA B / P(A) con P(A) > 0

B

8 Probabilità composta

Dalla probabilità condizionata si deduce che, dati due eventi A e B, la probabilità del contemporaneo

verificarsi di A e di B, in altri termini la probabilità dell’evento intersezione è pari a:

PA B  PA PBA B PA B  PA PBA PA B  PA PBB| A PA B  PA PBB PA B  PA PBA| B

B   Insieme vuoto   Insieme vuoto

Nel caso in cui esista indipendenza, ossia il verificarsi di un evento non altera la probabilità del

verificarsi dell’altro evento, allora:

PA B  PA PBA| B PA B  PA PBA PA B  PA PBB| A PA B  PA PBB

  Insieme vuoto   Insieme vuoto

Pertanto la seguente espressione, che esprime la probabilità del contemporaneo verificarsi dei due

eventi:

PA B  PA PBA B PA B  PA PBAPA B  PA PBB| A PA B  PA PBBPA B  PA PBA| B

B   Insieme vuoto   Insieme vuoto

diviene:

P(A B) = P(A)P(B)

B

9 Teorema della probabilità assoluta

Siano H1,....,Hn eventi mutalmente incompatibili che costituiscono una partizione di .



E

Per ogni A Ω si ha:

P(A) = P(Hi) P(A|Hi)

(i=1 n) (xi – x)2 Semplice

CAPITOLO 14 “VARIABILI CASUALI”

1 Definizione di variabile casuale

Si consideri un esperimento casuale E con uno spazio campionario e sia Y lo spazio degli eventi.



Sia X una funzione che assegni un numero reale X(A) ad ogni evento, allora X(.) è chiamata variabile

casuale (v.c).

I valori di una v.c. sono incerti e di conseguenza una v.c. X è sempre accompagnata dalla sua funzione

di probabilità P(X) che esprime la probabilità con la quale la v.c. X può assumere i suoi diversi valori.

Le variabili casuali possono essere:

Discrete: se la v.c. assume un numero finito o un’infinità numerabile di valori;

Continue: è una variabile che può assumere tutti i valori appartenenti ad un intervallo (a,b).

Le v.c. sono indicate con lettere maiuscole (X) ed i valori assunti da X con lettere minuscole (x).

2 Variabile casuale discreta

Lo spazio campionario associato ad un esperimento casuale è finito o infinito numerabile.



Una v.c discreta è definita dal seguente prospetto:

Valori di X [x1,...,xi,...,xn]

Probabilità [p1,...,pi,...,pn]

ni=1

P (X = xi) = p ∑ pi = 1

i

L’insieme delle coppie (xi e pi) con i=1,…,n è detta distribuzione di probabilità di X. La funzione pi

definisce la funzione di probabilità della v.c. X.

Essa soddisfa le seguenti condizioni:

1. pi ≥ 0 per ogni i=1,…,n (positività)

ni=1

2. ∑ pi = 1 (certezza)

Esempio: si lancino 2 dadi e si definisca la v.c. X come somma dei punti ottenuti dai 2 dadi.

Eventi v.c. X pi

1 1 2 0.03

1 2 3 0.06

2 1

1 3 4 0.08

2 2

3 1

1 4 5 0.11

2 3

3 2

4 1

Così via fino a 12

Totale 1

௡௡௡

pi = numero di combinazioni che esce la variabile / numero di combinazioni totali

In questo caso il numero di combinazioni totali è 36.

Graficamente sarà rappresentato attraverso un istogramma dove sulle x avremo la v.c. e sulle ordinate la

pi

In alcuni casi può essere utile trovare la probabilità che una v.c. X assuma valori uguali o inferiori a xi e

si utilizza la seguente formula:

P (X ≤ xi)=∑ pi (indicata con F(x))

xi≤X

Ovvero la probabilità che la v.c X assuma valori uguali o inferiori a xi

2 Variabile casuale continua

Lo spazio campionario associato ad un esperimento casuale è infinito o finito non numerabile.



Formalmente una v.c. continua che assume valori in un certo intervallo R esteso anche a tutto l’asse

reale R, è definita se esiste una funzione f(x) tale che per ogni (a,b) R si abbia:

 R si abbia:

௡ ∈ R

b

P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx per ogni (a,b) R

௡

a

La funzione f(x) viene chiamata funzione di densità di probabilità della v.c. X (f.d.p) se e solo se:

1) f ex 0 Positività

 0 Positività

2)  f(x)dx = 1 Certezza



  

3 Indici di sintesi della variabile casuale: valore atteso

μ ni=1

Valore Atteso (Caso discreto): E(X) = = ∑ xipi



Valore Atteso (Caso continuo): E(X) = x * f(x)dx



  

4 Indici di sintesi della variabile casuale: proprietà del valore

atteso

Le proprietà del valore atteso

Se a è una costante reale: E(aX) = aE(X)

Se a è una costante reale: E(a+X) = a + E(X)

Se X e Y sono due v.c. E(X+Y) = E(X)+ E(Y)

Se a e b sono costanti reale E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

2 2 2

Se a è una costante reale E((aX) ) = a E(X )

5 Indici di sintesi della variabile casuale: varianza

2 ni=1 2 2

La varianza del caso discreto: Var(X)=ρ = ∑ xi * pi – [E(X)]

 2

La varianza del caso continuo: Var(X)= [x - E(X)] f(x)dx



  

6 Indici di sintesi della variabile casuale: proprietà della

varianza

Le proprietà della varianza

Se X è una v.c. a e b sono due costanti reali allora:

2

Var (aX + b) = a Var (X)

Se X e Y sono due v.c. ed a e b sono due numeri reali allora:

2 2

Var (aX ± bY) = a Var (X)+ b Var (Y) ± 2ab∙Cov (X, Y)

Dove:

Cov (X, Y) = {[X – E(X)][Y - E(Y)]}

CAPITOLO 15 “PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI

PROBABILITÀ”

1 Distribuzioni di probabilità discrete

La maggior parte dei fenomeni statistici possono essere descritti da un numero di modelli probabilistici

o distribuzioni di probabilità.

1.Distribuzione uniforme discreta

Definizione: Una v.c. X che assume valori in un insieme formato dai primi n numeri interi segue una

distribuzione uniforme discreta se la sua funzione di probabilità è data:

P (X = x ) = 1 / n௡ i=1,....,n

i

X assume un numero finito di valori.Tutti gli eventi hanno uguale probabilità di verificarsi (1/n).

Valgono inoltre le seguenti condizioni:

P (X = x ) = 1 / n ≥ 0

i

ni=1

∑ P(X = x ) = n * (1 / n) = 0

i

La v.c. uniforme non presenta moda ed è simmetrica intorno alla media.

Tenendo conto che:

ni=1

∑ x = n(n+1) / 2

i

E che:

ni=1 i2

∑ x = n(n+1)(2n+1) / 6

Valore atteso:

E(x) = (n+1) / 2

Varianza: 2

Var(X) = (n –1) / 12

2.Distribuzione di Bernoulli

Una v.c. X ha distribuzione di Bernoulli con parametro p (compreso nell’intervallo [0,1] se e soltanto se

la sua distribuzione di probabilità è data:

x 1-x

P (X = x) = p (1-p) x = 0,1 0 ≤ p ≤ 1

La distribuzione di Bernoulli è associata ad un esperimento casuale i cui risultati sono classificati in due

categorie (successo o insuccesso; si o no; vero o falso, ecc.) assegnando valori 1 (successo) e 0

(insuccesso) rispettivamente con probabilità p e q (q=1-p)

Caratteristiche: E(X) = p V(X) = pq

La distribuzione di Bernoulli è un modello matematico che consente di calcolare la probabilità di

successo di eventi, a patto che si verificano le seguenti condizioni:

•Solo due risultati incompatibili sono presenti

•Si conosce la probabilità p di uno di questi risultati.

3.Distribuzione Binomiale

Una v.c. ha una distribuzione binomiale con parametri n (numero intero positivo) e p (compreso

nell’intervallo 0 , 1 ) se e soltanto se la sua distribuzione di probabilità è data da:

nx x n-x

P(X = x) = ( ) p (1-p) x=1,2,...,n X ≈ B(n,p)

Inoltre.

E (X) = np Var (X) = npq la distribuzione binomiale è la somma di n v.c. indipendenti di bernoulli.

Il suo coefficiente binomiale sarà:

nx nx

C = ( ) = n! / (n-x)! x! numero di casi in cui si presentano x successi in n prove

Esempio:

n = 10

x = 6

610

C = 10! / (10-6)! 6! = (10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / 4*3*2*1*6*5*4*3*2*1 = 210

Condizioni di applicazione della distribuzione binomiale:

• Eventi dicotomici E1, E2(si, no; difettoso, no difettoso; ecc.)

• Prob(Ei) di successo in una singola prova è p, ed è costante in tutte le prove

• L’esperimento è ripetuto un numero fissato n (finito) di volte, nelle stesse condizioni ed ogni prova è

indipendente dalle altre.

Esempio

Un ragazzo partecipa ad un concorso la cui prova è un test a risposte multiple. Vengono presentate 10

domande con 3