Risposte domande aperte Misure meccaniche e termiche aggiornate 2025

ACCELLEROMETRO

Nel caso in cui l’ingresso che si vuole misurare non e` lo spostamento di un oggetto, ma la sua accelerazione, viene

utilizzato l’accelerometro. L’equazione che governa il sistema e`:

(1/w_n^2) x..i = (1/w_n^2) d^2xo/dt^2 + (2zeta/w_n) dxo/dt + x0

Le costanti caratteristiche sono le stesse del sismografo ed utilizzando l’operatore differenziale D=d/dt si avra` la

funzione di trasferimento operazionale:

xo/x..i(d) = (1/w_n^2)/[(D^2/w_n^2) + (2zetaD/w_n) +1] e sostituendo D=iw si avra` la funzione di risposta in

frequenza:

xo/xi..(iw) = (1/w_n^2)/[1 - (w^2/w_n^2) + (2zetaiw/w_n)]

Quindi per w<<w_n xi.. = xow_n^2 = -d^2/dt (xi), cioe` la massa M ha la stessa accelerazione del corpo vibrante ma verso

opposto, quindi l’accelerometro misura l’accelerazione assoluta.

Il campo dello strumento e` pertanto a frequenze molto minori della frequenza naturale (0<w<2/3w_n) dove l’ampiezza

vale uno e la fase tende a zero, pertanto l’uscita segue perfettamente l’ingresso. Per avere una frequenza naturale molto

grande e` necessario avere una massa piccola e una molla molto rigida. L’uscita dell’accelerometro e` uno spostamento

che deve essere misurato con un sensore aggiuntivo.

• Descrivere il principio di funzionamento di un accelerometro piezoelettrico. Ricavare la funzione di risposta in

Un accelerometro piezometrico e` composto

frequenza e disegnarne infine il grafico in termini di ampiezza.

da un elemento elastico sensibile, una lamina di quarzo. La funzione di trasferimento operazionale

del sensore e` una combinazione del sistema massa-molla-smorzatore e dell’elemento piezoelettrico

di trasduzione, che traduce l’accelerazione in tensione. Il quarzo e` un materiale piezoelettrico: se

sollecitato lungo l’asse elettrico si creano delle cariche di segno opposto sulle due facce

proporzionali alla forza applicata (con sensibilita` di circa 2 pC/N): Q=S_f F (Q=carica pC,

S=sensibilita`, F=forza N). La forza agente sul quarzo e` F=mxi.. e andando a sostituire si avra` Q=S_f

F= S_f Mxi.. = S_c xi..Ðel sensore piezoelettrico l’ingresso e` lo spostamento xo e l’uscita la tensione

eo. Essendo il cristallo un generatore di cariche si avra` Q_cr=k_q xo (k_q=sensibilita` del cristallo) e

la corrente generata dal flusso di cariche e` i_cr = dQ_cr/dt = k_q dxo/dtY'etta

R=(RaRcr)/(Ra+Rcr)=Ra e C=Ccr+Cc si ha che i_C = (deo/dt)C e i_R=e0/R ed essendo i_cr=i_C + i_R

si avra`:Ð_q dx0/dt = (deo/dt)C + eo/R equazione differenziale del sistema di I ordine da cui

possiamo ricavare la funzione di trasferimento operazionale osando l’operatore differenzia

D=d/dt:Þo/xo(D) = (Rk_q D)/(RCD+1) inoltre imponendo K=k_q C e tau=RC le costanti

caratteristiche dello strumento:Þo/xo(D) = tauKD/(tauD+1)Ðaccelerometro piezoelettrico e` una

combinazione del sistema inerziale con il sensore piezoelettrico e, pertanto, la sua funzione di

trasferimento operazionale e` data dal prodotto delle funzioni di trasferimento operazionali dei

singoli elementi, e si avra` quindi:Þo/xi..(D) = (KtauD/w_n^2)/[(tauD+1)(D^2/w_n^2 +

2zetaD/w_n^2 +1)]Ða risposta in bassa frequenza e` limitata dalla caratteristica dinamica del

cristallo piezoelettrico (tau) e la risposta in alta frequenza e` limitata dalla caratteristica dinamica

del sistema inerziale (w_n).Ða rigidezza e` data dalla molla di precarico e lo smorzamento dagli attriti

interni al cristallo di quarzo.

• Descrivere il significato di vibrazione e la differenza nel trattarla in termini di spostamento, velocità o

accelerazione. Un corpo vibra quando descrive un motto oscillatorio intorno ad una posizione di equilibrio con una

frequenza pari a f (Hz). Il moto puo` avvenire ad una singola frequenza o a piu` frequenze se i componenti in moto sono

molteplici. Spesso il moto e` composto da un numero elevato di frequenze, che non si possono evidenziare

nell’andamento della vibrazione nel tempo, ed e` necessario l’utilizzo dello spettrogramma. Nello studio delle vibrazioni

si analizzano lo spostamento, la velocita` e l’accelerazione. Il segnale puo` essere analizzato nel dominio del tempo o della

frequenza utilizzando la trasformata di Fourier che descrive un’onda sinusoidale. Durante lo studio delle vibrazioni, i

parametri fondamentali da tenere in considerazione sono:

• livello picco-picco: indica l’escursione massima dell’onda

• livello di picco: indica il massimo livello di vibrazione, ma non tiene conto della storia temporale dell’onda

• livello medio

• livello rms: rappresenta il valore energetico dell’onda ed e` il parametro piu` rappresentativo

Nell’analisi in frequenza si scegli tipicamente la velocita` perche´ e` un parametro energetico (cinetico) e vibrazioni a

frequenze diverse sono equivalenti se hanno la stessa energia di vibrazione. Il range dinamico in velocita` e` il piu` piatto,

pertanto si utilizza tutta la scala di ampiezza in tutto il range di frequenza.

Si puo` passare da spostamento -> velocita` -> accelerazione grazie all’operazione di derivazione, che comporta l’aggiunta

di 90° alle fasi e si puo` utilizzare l’operazione di integrazione per passare da accelerazione->velocita`->spostamento,

sottraendo 90° alle fasi. I fattori che influenzano la scelta dell’utilizzo di spostamento, velocita` o accelerazione nel

trattamento delle vibrazioni sono la banda passante, l’effetto di carico e la sensibilita`.

• Descrivere il principio di base di un estensimetro per la misura di deformazione monoassiale. Le misure di

deformazione servono a determinare lo stato di deformazione di un corpo o, come misure indirette, noti i coefficienti di

elasticita`, lo stato di sollecitazione di un corpo. Definiamo deformazioni le variazioni di lunghezza rispetto alle

dimensioni iniziali e scorrimenti le variazioni degli angoli rispetto all’angolo iniziale. Se lo stato di sollecitazione e`

monoassiale di trazione N e si considera una barra lunga L e con diametro D si un allungamento della barra DeltaL=L1-

L0 e una strizione negativa DeltaD=D1-D0. Secondo le ipotesi del De Saint Venant, se S e` la sezione della barra e E il

modulo di Young (o modulo elastico) si avra`:

DeltaL=NL/SE con S=pigracoDo^2/4 ed E caratteristica del materiale

La deformazione assiale e trasversale valgono rispettivamente epsilon_a=Delta/L0 e epsilon_t=DeltaD/D0 e sono legate

dal coefficiente di poisson v=|epsilon_t|/|epsilon_a| [micrometro/m]

I trasduttori che misurano la deformazione sono detti estensimetri e possono essere di varie tipologie (meccanici, ottico-

meccanici ed elettrici).

• Descrivere il principio di funzionamento di un estensimetro a resistenza per la misura di deformazione.

Ricavare la prima legge fondamentale che lega la deformazione alla variazione di resistenza. Gli estensimetri

elettrici a resistenza sono costituiti da un supporto sul quale viene incollato il filo che trasmette la deformazione e una

griglia, cioe` la parte sensibile composta da un conduttore che puo` essere a filo o a foglio, fotoinciso.

Il principio di funzionamento e`: R=roL/A dove ro=resistivita` del materiale, L=lunghezza del conduttore, A=sezione del

conduttore

Questo deriva dal fatto che un materiale metallico, sottoposto ad una sollecitazione, varia la propria resistenza elettrica.

Se consideriamo come elemento sensibile dell’estensimetro un filo conduttore di resistivita` ro, lunghezza L e sezione

S=pigrecoD^2/4 (D=diametro del filo), la resistenza del filo e` R=roL/S

Se il filo viene sottoposto ad una forza di trazione F esso si allunghera` e la sua lunghezza diventera` L’ e il diametro

diminuira` diventando D’. Pertanto il filo subira` sia una deformazione assiale che una deformazione trasversale con:

epsilon_a=DeltaL/L ed epsilon_t=DeltaD/D

Sappiamo che il coefficiente di Poisson e` v = -epsilon_L/epsilon_a

bisogna ora derivare R rispetto ai tre paramentri ro, S ed L, in quanto tutti e tre variano a causa della deformazione e,

per farlo, utilizziamo le derviate parziali.

dopo aver fatto i calcoli e le sostituzioni opportune si avra`:

dR/R = dro/ro -2dD7D +dL/L (dro/ro puo` essere trascurato), passando alle differenze finite si avra`:

DeltaR/R=DeltaL/L-2DeltaD/D

possiamo sostituire i termini di deformazione ed ottenere:

(DeltaR/R)/epsilon_a = 1 -2epsilon_L/epsilon_a = 1 +2v = F =fattore di taratura (costante)

si avra` quindi epsilon = 1/F(DeltaR/R)

prima relazione fondamentale degli estensimetri.

• Descrivere il principio di funzionamento di un estensimetro a resistenza per la misura di deformazione.

Ricavare la seconda legge fondamentale che lega la

deformazione alla tensione in uscita da un ponte di Wheatstone. Considerare il caso di un ponte intero.

Gli estensimetri elettrici a resistenza sono costituiti da un supporto sul quale viene incollato il filo che trasmette la

deformazione e una griglia, cioe` la parte sensibile composta da un conduttore che puo` essere a filo o a foglio, fotoinciso.

Il principio di funzionamento e`: R=roL/A dove ro=resistivita` del materiale, L=lunghezza del conduttore, A=sezione del

conduttore

Questo deriva dal fatto che un materiale metallico, sottoposto ad una sollecitazione, varia la propria resistenza elettrica.

Se consideriamo come elemento sensibile dell’estensimetro un filo conduttore di resistivita` ro, lunghezza L e sezione

S=pigrecoD^2/4 (D=diametro del filo), la resistenza del filo e` R=roL/S

Se il filo viene sottoposto ad una forza di trazione F esso si allunghera` e la sua lunghezza diventera` L’ e il diametro

diminuira` diventando D’. Pertanto il filo subira` sia una deformazione assiale che una deformazione trasversale con:

epsilon_a=DeltaL/L ed epsilon_t=DeltaD/D

La prima relazione fondamentale degli estensimetri ci dice che: epsilon = 1/F(DeltaR/R)

In pratica la variazione di resistenza viene misurata con un ponte di Wheatstone con cui si possono ottenere precisioni

dello 0,1%.

Le condizioni di equilibrio sono:

i1=E/(R1+R4)e e i2=E/(R2+R3)

e=i1R1 - i2R2

e/E=(R1R3)-(R2R4)/(R1+R4)(R2+R3) e si ha e=0 se R1R3=R2R4

Sia DeltaR1 la variazione di R1 con tutte le altre resistenze costanti. Lo squilibrio e=e(DeltaR1):

(e+Deltae)/E = [(R1+DeltaR1)R3 + R2R4]/[R1+DeltaR1+R4)(R2+R3)] e si avra` e=0 per R1R3=R2R4, quindi:

Deltae/E = DeltaR1 R3/[(R1+R4)(R2+R3)+DeltaR1(R2+R3)]

poniamo adesso alfa=R3/(R2+R3) e Rm=R1+R4, andando a sostituire si vedra` che il ponte non e` lineare (la relazione

che lega e` un’iperbole) con DeltaR1/Rm, ma considerando DeltaR1/Rm noteremo che e` trascurabile rispetto ad 1 e,

quindi, infine si otterra`:

Deltae/E = alfaDeltaR1/Rm e a questo punto il ponte risulta lineare

Nell’ipotesi in cui R1=R2=R3=R4 si avra` alfa=1/2 e Rm=2R1 e si otterra`:

Deltae1/E = 1/4(DeltaR1/R1) (per R2 e R4 il segno sara` opposto)

sommando le variazioni di tensioni all’uscita per tutte le quattro resistenze si avra`:

Deltae/E=F/4(epsilon1-epsilon2+epsilon3-epsilon4)

detta seconda relazione fondamentale degli estensimetri valida per R1=R2=R3=R4 e per piccoli DeltaR.

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