Risposte domande aperte di Statistica aggiornate al 2023

-NUMEROSITA' CAMPIONARIA

num_camp<-round((qnorm(0.995)^2*S^2)/amp_int^2)

 n= (z-deltha/2)^2 sigma^2/ a^2

Definire sinteticamente: a) il livello di confidenza; b) il livello di significatività;

c) dati i valori di sigma=12; n=28; un livello di confidenza pari al 5% per cui la

zeta empirica è pari a 1,96 e una media campionaria =21 calcolare lo stimatore

intervallare per la media con varianza nota.

L'intervallo (50%, 54%), o 52% ± 2% è detto intervallo di confidenza. Il livello di

confidenza (in genere denotato con 1 - a) è la probabilità che il valore vero del

parametro della popolazione cada nell'intervallo. In genere a corrisponde al 10%, 5%

o 1% pertanto i livelli di confidenza usati sono 90%, 95% o 99.

Data un v.c. Normale con n=29, mu=987 e varianza stimata 1,285714 quali linee

di codice di R si implementano per calcolare a) lo stimatore intervallare per il

peso medio μ incognito ad un livello di significatività del 5%; b) la sua

ampiezza; c) la numerosità campionaria per un valore massimo del termine di

errore pari a 1,5

mx_camp<-987

n<-29

var_stim<-1.285714

l.inf<-mx_camp - qt (0.995,29) * sqrt (var_stim/n);l.inf ## a##

a) amp_inter<-2*qt(0.995,29)*sqrt(var_stim/n);amp_inter ## b ##

b)

c)num_camp<-round (qt((qt(0.995,29)^2*6^2)/(1.5^2));num_camp ## c ##

Data una v.c. Normale con n=397, mu=987 e varianza=36 quali linee di codice

di R si implementano per calcolare; a) l'intervallo di confidenza per il peso

medio μ incognito ad un livello di significatività pari a 0,01; b) la sua ampiezza;

c) la numerosità campionaria per un valore massimo del termine di errore pari

a 1,5

n <-397

var<-36

l.inf <- mx_camp - qnorm(0.995) * sqrt(var/n);l.inf ## a ##

l.sup <- mx_camp + qnorm(0.995) * sqrt(var/n);l.sup ## a ##

amp_inter<-2*qnorm(0.995) * sqrt(var/n);amp_inter ## b ## EZIONE 49

num_camp <- round((qnorm(0.995)^2*6^2)/(1.5^2));num_camp

Dati due campioni con n1=40 e n2=60 e mu1=6 e mu2=8,5 var1=2 e var2=3

calcolare: a) lo stimatore intervallare con α=0,01 (z=2,56); b) lo stimatore

intervallare con α=0,05 (z=1,96); c) lo stimatore intervallare con α=0,1 (z=

1,64)

LEZIONE 50

Dati due campioni con n1=35 e n2=45 e mu1=7,2 e mu2=7,9 varianza stimata1

=2 e varianza stimata2=3 calcolare lo stimatore intervallare : a) con α=0,01 (t

critica=2,375); b) con α=0,05(tcritica=1,665); c) con α=0,1 (tcritica=1,2925)

LEZIONE 51

Data un v.c. binomiale con n=120 e p=0,49 che, secondo il teorema del limite

centrale converge e si approssima ad una Normale, quali linee di codice di R si

implementano per calcolare: a) lo stimatore intervallare con α=0,05; b) la sua

ampiezza; c) la numerosità campionaria per un valore massimo del termine di

errore pari a 0,047

p<-0,49

n<-120

l.inf<-p-qnorm(0.05)*(p*(1-p)/n);l.inf ## a##

amp_inter<-2*(0.05)*sqrt(p*(1-p)/n);amp_inter ## b ##

num_camp<-round((qnorm(0.05)*(p*(1-p))/0.047))^2;num_camp

Data la distribuzione di probabilità Binomiale con p=0,49 ed n=50 e stabilito un

livello di significatività dell’5% con quali script si calcolano: a) il limite

superiore dello stimatore intervallare per la proporzione; b) il limite inferiore

dello stimatore intervallare per la proporzione; c) la numerosità campionaria e

l’ampiezza dell’intervallo.

Si vuole calcolare: a) lo stimatore intervallare con α=0,05 (zempirica=1,96) per

la proporzione campionaria pari a 0,47 su un campione di 98 elettori; b) lo

stimatore intervallare con α=0,01 (zempirica=2,67) per la proporzione

campionaria pari a 0,47 su un campione di 320 elettori; c) lo stimatore

intervallare con α=0,05 (zempirica=1,96) per la proporzione campionaria pari

a 0,47 su un campione di 1550 elettori.

LEZIONE 53

Dato un campione n=24 con varianza corretta pari a 15 si imposti la notazione

per il calcolo dello stimatore intervallare: a) con α=0,01; b) con α=0,05; con α=

0,10

Stimata la varianza campionaria pari a 2,8 e stabilito un livello di significatività

dell’1% con quali script di R si calcolano: a) il limite superiore dello stimatore

intervallare per la varianza; b) il limite inferiore dello stimatore intervallare

per la varianza; c) la numerosità campionaria e l’ampiezza dell’intervallo

intervallo

per la varianza 2.8, n=50, alfa= 0.01 DATI varcamp<-2.8 n<-50 alpha<-0.01

chi_sup<-qchisq(alpha/2, n-1) chi_sup chi_inf<-qchisq(1-alpha/2, n-1)

chi_inf ESTREMO INFERIORE inf<-varcamp*(n-1)/chi_inf;

inf ESTREMO SUPERIORE sup<-varcamp*(n-1)/chi_sup; sup

ampiezza<-sup inf; ampiezza

la numerosità campionaria non è calcolabile

-INTERVALLO CONFIDENZA MEDIA CON VARIANZA NOTA

LEZIONE 54

Dato n1=25 e n2=17, con varianza campionaria corretta 1 pari a 15,89 e con

varianza campionaria corretta 2 pari a 29,12 e co

n F1critica pari a 0,312 e F2critica pari a 3,638 si vuole: a) calcolare il limite

superiore dello stimatore intervallare; b) calcolare il limite inferiore; b)

rappresentare la notazione della v.c. continua F di Fisher X che modella il

fenomeno del rapporto fra le varianze di due popolazioni.

LEZIONE 55

Dato un campione n=24 con varianza corretta pari a 15 si calcoli la numerosità

campionaria: a) con α=0,01(Z critica=2,576) ed un errore in valore assoluto

non superiore a 2 ); b) con α=0,05(Z critica=1,96) ed un errore in valore

assoluto non superiore a 1,5; c) con α=0,10(Z critica=1,64) ed un errore in

valore assoluto non superiore a 2,5

Quali linee di codice di R si implementano per il calcolo della numerosità

campionaria: a) per la media con α=0,01, con σ=5 e con un valore del termine di

errore massimo pari a 1,5; b) per la proporzione con α=0,05, con σ=8 e con un

valore del termine di errore massimo pari a 0,5; c) per la varianza con α=0,1,

conσ=9 e con un valore del termine di errore massimo pari a 0,88.

Data una Normale con µ=987 e σ2=36 con quali linee di codice di R si calcolano:

a) lo stimatore intervallare per la media al livello di significatività α=0,01; b) la

sua ampiezza; c) la numerosità campionaria per un valore massimo del termine

di errore pari a 1,5

LEZIONE 56

Data una Normale con µ=987 e σ2 =36 con quali linee di codice di R: a) si

effettua il confronto fra il quantile critico al livello di significatività α=0,01 e

quello empirico ai fini della verifica di ipotesi per un test bilatero; b) si calcola

il p-value; c) si effettua il confronto fra il livello di significatività α e il p-value ai

fini della verifica di ipotesi per un test bilatero

Dato n= 92 e α=0,01, una media campionaria=198 e una varianza=81 quali

linee di codice di R si implementano per calcolare: a) la statistica test

campionaria; b) il quantile critico; c) il p-value della zeta empirica

Dato n=11 e p=0,20 calcolare: a) il valore atteso; b) la varianza; c) la deviazione

standard, l'indice di

asimmetria e di curtosi E(x)=2,2;Var(x)=1,76;Dv.std(x)=1,327; IAS(x)=0,452;

ICUR(x)0,023

Dato n=11 e p=0,20 con quali script di R si calcolano: a) il valore atteso; b) la

varianza; c) la deviazione standard, l'indice di asimmetria e di curtosi

Dato n=120, una proporzione p=9/60 e una proporzione campionaria=0,10 con

quali script di R si calcola:a) la zeta empirica; b) il p- value con α=0,01; c) il p value

con α=0,05; c) il p value con α=0,10

Dato n=92 e una media campionaria=198 con varianza ignota con quali script di R si

calcola: a) la t empirica; b) il p- value con α=0,01; c) il p value con α=0,05; c) il

p value con α=0,10 z<-(m_camp mu)*sqrt(n)/sigma

p_value<-pnorm((m_camp-mu)*sqrt(n)/sigma)

b)

Se p_value>=alfa001 Non rifiuto H0, se p_value<alfa001 rifiuto Ho

c)Se p_value>=alfa005 non rifiuto H0, Se p_value<alfa005 Rifiuto Ho

Se p_value>=alfa010 non rifiuto H0, se p_value<alfa010 rifiuto H0

Commentare brevemente: a) il significato di ipotesi nulla e alternativa; b) il

significato di verifica di ipotesi con test unilatero dx; c) il significato di verifica

di ipotesi con test unilatero sx e bilatero

Il concetto

di test parametrico presuppone di affrontare la verifica di ipotesi sui parametri di una

popolazione normale da cui sono estratti i campioni. L’approccio di Neyman e

Pearson, noto come test di ipotesi, prende in considerazione esplicitamente l’ipotesi

alternativa rispetto a quella di interesse o nulla. Per ipotesi si intende stabilire un

valore a priori riguardante un parametro della popolazione di interesse. Le due

ipotesi in opposizione sono: quella nulla o di interesse, definita H0 e quella

alternativa, definita H1. L’ipotesi H0 è quella considerata vera fino a prova contraria.

L’ipotesi H1 è quella in contrapposizione. Le procedure che permettono di decidere

se accettare o rifiutare una data ipotesi o di stabilire se un dato campione osservato

differisce dai risultati attesi sono definite test statistici o test d’ipotesi o test di

significatività dette anche regole di decisione. Se l’ipotesi nulla H0 è un’affermazione

sul valore assunto da un parametro incognito di una popolazione, l’ipotesi alternativa

H1 risponde ad una delle seguenti affermazioni: il parametro è maggiore o uguale del

valore ipotizzato (test unilatero con coda a destra); il parametro è minore o uguale

del valore ipotizzato (test unilatero con coda a sinistra); il parametro è diverso del

valore ipotizzato (test bilatero o a due code).

LEZIONE 57

Per α=0,05: a) quali sono gli intervalli delle regioni di accettazione e di rifiuto

per un test bilatero; b) quali sono gli intervalli delle regioni di accettazione e di

rifiuto per un test unilatero destro; a) quali sono gli intervalli delle regioni di

accettazione e di rifiuto per un test unilatero sinistro

LEZIONE 58

Commentare brevemente: a) il significato di errore di I tipo; b) il significato di

errore di II tipo; c) il significato di potenza del test e la interrelazione fra teoria

della stima e verifica di ipotesi

Se si rifiuta l’ipotesi di interesse sotto quella alternativa quando si sarebbe dovuta

accettare, si commette un errore del I tipo. Se si accetta l’ipotesi di interesse sotto

quella alternativa quando si sarebbe dovuta rifiutare, si commette un errore del II

tipo.

In entrambi i casi si assume una decisione errata o si commette un errore di

valutazione. In linea generale è più grave commettere un errore del I tipo che uno del

II. Potenza del test Si consideri un’ipotesi alternativa H1:μ=μ0. La potenza del test è il

complemento a 1 dell’errore di II tipo (1-β). Si può affermare che la potenza del test

corrisponde alla probabil