Matematica finanziaria

RISPOSTA: E(x)= X P X P

1∙ 1+ 3∙ 3

Lezione 055

Siano r =0,02, r =0,04, r =0,06 i possibili rendimenti annui di un titolo rischioso con probabilità rispettivamente p =0,5, p =0,3, p =0,2. Calcolare il

01. 1 2 3 1 2 3

rendimento atteso del titolo.

3,4%

4%

3%

2%

02. Spiega perché il rendimento di un titolo rischioso è una variabile aleatoria.

03. Cosa si intende per rendimento atteso di un titolo rischioso?

04. Cosa si intende per rendimento atteso di un titolo rischioso?

05. Spiega perché il rendimento di un titolo rischioso è una variabile aleatoria.

Qual è la formula per il tempo t in funzione di M, C, i ricavabile dalla formula per il montante incapitalizzazione a interesse semplice?

T= m− c /ci

In quanto tempo raddoppia un capitale pari a 120, impiegato in capitalizzazione semplice, se il tasso annuo d’interesse applicato è del 5%? Scrivi

l'equazione che conduce alla soluzione.

T = M− C /Ci = 240 − 120 /120*0,05 = 120/6 = 20 anni

Qual è la formula per il tempo t in funzione di M, C, i ricavabile dalla formula per il montante incapitalizzazione a interesse composto?

T= ln (m/c) /ln (1+i)

Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione composta, produce un montante

M=1700 euro. Determinare il tasso annuo d’interesse composto i.

M= C(1+i)t

1700 = 1600 (1+i)4

17/16 = (1+i)4

√quarta di 17/16 = √quarta di (1+i)4

√quarta di 17/16 =1+i

i = √quarta di 17/16 – 1 se √quarta di 17 è 2,03 e 16 =

24 − − − − − − − − − − − − − − − √quarta di 24 = 2

i = 2,03/2 – 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 1,015 – 1 = 0,015 − − − − − − − − − − − −

– − i = 1,5%

Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione semplice, produce un montante

M=1700 euro. Determinare il tasso semestrale d’interesse semplice i2.

M= C(1+it)

1700 = 1600 (1+i4)

1700/1600 = 1+i4

1700/1600 – 1 = i4 − − − − − − − − − − − − 1700 – 1700 /1600 = i4 − − − − − − − − − − − − − −

– − 100/1600 = i4

1/16 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/16 * 1/4 = i − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/64 = i − −

– − − − − − − − − − − 0,015 (annuo)

I2 = 0,015/2 = 0,0078 − − − − − − − − − − − − 0,78%

Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione semplice, produce un montante

M=1800 euro. Determinare il tasso quadrimestrale d’interesse semplice i3.

M= C(1+it)

1800 = 1600 (1+i4)

1800/1600 = 1+i4

1800/1600 – 1 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 1800 – 1600 /1600 = i4 −

– − − − − − − − − − − − − − − 300/1600 = i4

1/8 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/8 * 1/4 = i − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/32 = i − − −−

– − − − − − − − − 0,031 (annuo)

I3 = 0,031/3 = 0,010 − − − − − − − − − − − − 1%

Calcolare per quanto tempo si deve impiegare la somma C=1000 euro al tasso annuo di interessecomposto i=0,02 per produrre il montante M=2000 euro

=(1 +)

2000 = 1000 (1 + 0,02)

2 = 1,02

ln 2 = ln 1,02

=ln2 /ln1,02 = 35 (anni)

In quanto tempo raddoppia un capitale pari a 120, impiegato in capitalizzazione composta, se il tassoannuo d’interesse applicato è del 5%? Scrivi e risolvi

l'equazione che conduce alla soluzione.

2C=C(1+i)t

2*120=120*(1+0.05)t

t=ln2/ln1.05

t=14 anni 2 mesi e 14 giorni circa

Quando diremo che due tassi periodali sono equivalenti?

Se applicati allo stesso capitale danno lo stesso montante per lo stesso arco temporale

Come si calcola il corso di un titolo a rendimento certo? (Esamina i due casi: con cedola e senza cedola).

SENZA CEDOLE: A=S /(1+i)t

CON CEDOLE: A= R1/(1+i)t1 + R2/(1+i)t2 + Rn + s /(1+i)tn

.............

Quali leggi di attualizzazione conosci?

attualizzazione dello sconto semplice: A = S * 1/1+it

attualizzazione dello sconto composto: A = S* 1/(1+i)t

attualizzazione dello sconto commerciale: A = S (1 – dt)

Quali leggi di capitalizzazione conosci?

capitalizzazione a interesse semplice: f(t) = 1+it

capitalizzazione a interesse composto: f(t) = (1 +)t

capitalizzazione a interesse anticipato: f(t) = 1 /1− dt

Se il tasso nominale è j3 = 3%, qual è il tasso annuale effettivo corrispondente? Indica il risultato e laformula utilizzata.

Parto da un tasso nominale j3 = 3% = 0,03

Trovo il periodale i3 = j3/3 = 0,03/3 = 0,01

Trovo il tasso annuo effettivo con: i = (1+i3)3 - 1 = (1+0,01)3 - 1 = 0,030301 = 3,0301%

i>j3

3,0301% > 3%

Se il tasso nominale è j4 = 3%, qual è il tasso trimestrale effettivo corrispondente? Indica il risultato ela formula utilizzata.

i4 = j4/4 = 0,03/4 = 0,0075 = 0,75%

Qual è la relazione tra tasso annuale e tasso periodale

(a) nel regime dell’interesse semplice;

(b) nel regime dell’interesse composto.

a. in = i/n

b. in = (1 + i)1/n

Cosa significa che un regime finanziario è scindibile?

il montante di un’operazione finanziaria dipende solo dalla durata e non da eventuali operazioni

intermedie di disinvestimento e di immediato reinvestimento (a parità di condizioni)

Come si dimostra che il regime di capitalizzazione individuato dal fattore di montante e^(dt) è scindibile?

Che cosa è una struttura dei tassi a termine?

Un insieme di tassi spot che delinea l’andamento dei tassi di mercato, valutati oggi, su un arco di scadenze

future

Come si dimostra che il regime di capitalizzazione individuato dal fattore di montante è scindibile?

Il corso all'emissione di uno ZCB (zero coupon bond) con scadenza a tre anni è 96,8 euro e il suo valorenominale è 100. Qual è il tasso annuo di

rendimento? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

ZCB SCADENZE 0 3

IMPORTI − 96,8 100

A = S/(1+i)t

i = (S/A)1/t – 1 = (100/96,8)1/3 – 1 = 0,01090041 = 1,09 %

Calcola il montante a 3 anni e 6 mesi di 100 euro impiegati in capitalizzazione composta al tassosemestrale del 0,6%. Attenzione: indica la formula (o le

formule) utilizzate e tutti i passaggi.

M = C (1+i)t i = (1 + i2)2 – 1

= 100 (1+i)3,5 = (1 + 0,006)2 – 1

= 100 (1+ 0,012036)3,5 = 0, 012036

M = 104,2763606

Il rendimento annuo al lordo delle imposte, in cc, per un BOT di valore nominale 5000 euro e scadenza a 12 mesi è del 2%. Nell’ipotesi che il tasso

d’interesse di mercato aumenti subito dopo l’acquisto

del titolo del 0,25% e poi rimanga invariato fino alla scadenza, stabilire il prezzo di vendita del BOT dopo

5 mesi. Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

S = 5000

i = 0,02 + aumento dello 0,25 % = 0,0025 tot i = 0,0225

MESI 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 5000

P = S/(1 + i)t = 5000 /(1 + 0,0225)7/12 = 5000/1,0131 = 4935,35

Voglio costituire un capitale pari a 100000 euro mediante il versamento annuale, per 15 anni, di una rata posticipata, di importo R, con decorrenza t=0,

assumendo un tasso di mercato piatto per tutta l'operazione pari al 4% annuo. Qual è l'importo della rata R? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli

eventuali passaggi algebrici.

R * = 100000 R = 100000/ = 100000 /(1+i)n – 1/i =

= 100000 /(1+0,4)15 – 1/0,04 = 100000/20,02 = 4995

Qual è il montante in t=8 di una rendita, con decorrenza t=0, che prevede 8 rate annue anticipate ciascuna di importo 70 nell’ipotesi di un tasso d’interesse

piatto del 4%? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

FLUSSO Scad (anni) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i = 4%

Importi 70 70 70 70 70 70 70 70 70

M = R * * (1 + i) = 70 * (1 + 0,04)8 − 1 /0,04 * (1 + 0,04) = 70 * 9,214 * 1,04 = 670,80

Qual è il valore attuale in t=0 di una rendita, con decorrenza t=0, che prevede 8 rate annue anticipate ciascuna di importo 70 nell’ipotesi di un tasso d’interesse

piatto del 4%? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

A = R * * (1 + i) = 70 * 1 – (1+i)− n /i * (1 + i) = 70 * 1 – (1 + 0,04)− 8 /0,04 * (1 + 0,04)

= 70 * 6,73 * 1,04 = 490,14

Una rendita posticipata prevede 3 rate rispettivamente di 10, 20, 30 a scadenza annuale con decorrenzat=0. Qual è il montante della rendita in t=7, assumendo

per tutto l'arco dell'operazione un tasso annuo i=0,05? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

FL

U S SO

M

t =7 = 10 * ( 1 2 3 4 5 6 7

0

i )t

+ + 20 * (1+i)t + 30 * (1+i) = 10 * (1+0,05)6 + 20 * (1+0,05)5 + 30 * (1+0,05)4 =

anni

= 1 3 ,4 0 + 25,53 + 36,47 = 75,391 8

Im p o rt i 10 2 0 30

Considera la rendita posticipata a rata costante individuata dal seguente flusso di cassa

Calcola l'importo disponibile a un anno e sei mesi dall'inizio dell'operazione al tasso mensile del 0,1% in cc.

M in t = 18 mesi

M = R * = 20 * (1 + 0,001)12 – 1 /0,001 = 241,32441

Considera la seguente operazione finanziaria che inizia in t=0

(a) Si tratta di una rendita?

(b) Se sì, elenca tutte le caratteristiche di questa rendita.

A. si

B. rendita posticipata

rate negative NON costanti

periodo 2 anni con decorrenza in T = 0

Compilare il flusso di cassa per:

(1) una rendita anticipata con 4 pagamenti di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese;

(2) una rendita posticipata con 4 entrate di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese.

1.

2.

Considera la seguente rendita posticipata

(1) Calcola il montante della rendita in t=3 al tasso del 3% in cs

(2)