Geometria – Risposte fuori paniere complete (aperte + chiuse) – A.A. 2025/2026

Domande Aperte e Chiuse Fuori Paniere

Esame di Geometria – eCampus

Autore: D_A

Corso: Geometria

Università: eCampus

Anno Accademico: 2025/2026

Professore: Iacovone Vincenzo

Descrizione del materiale

Questo documento raccoglie una selezione di domande aperte e chiuse fuori paniere

relative all’esame di Geometria (Ingegneria Industriale) di eCampus. È pensato per

supportare gli studenti nello studio e nella preparazione dell’esame, offrendo un’ampia

gamma di quesiti verificati e aggiornati.

✅ Utile per esercitazioni mirate

✅ Domande organizzate per argomento

✅ Formato pratico per lo studio rapido

In quale dei seguenti casi la curva e' differenziabile

In quale dei seguenti casi la curva e' differenziabile 3

quale dei seguenti insiemi ordinati e' una base

quale dei seguenti insiemi ordinati non e' una base

quale dei seguenti insiemi ordinati non e' una base 4

quale dei seguenti insiemi ordinati non e' una base

quale delle seguenti forme implicite rappresenta un piano parallelo al piano 5

6

7

quale delle seguenti forme implicite rappresenta un piano parallelo al piano

quale delle seguenti forme implicite rappresenta un piano parallelo alla retta 8

quale delle seguenti forme implicite rappresenta un piano parallelo al piano

quale delle seguenti forme implicite rappresenta un piano piano parallelo al piano 9

quale di seguenti e' un autovettore della matrice

sapendo che una matrice....e'diagonalizzabile 10

11

12

13

SAPENDO CHE la matrice associata alla conica

QUALI DELLE SEGUENTI FORME IMPLICIT E piano ortogonale alla retta 14

1 - Parlare dei vettori geometrici

Per parlare dei vettori geometrici dobbiamo introdurre due concetti fondamentali vettori fisici,

cioè quei vettori caratterizzati da tre attributi:

direzione, verso, modulo

I vettori fisici APPLICATI sono vettori caratterizzati da un quarto attributo ovvero il punto di

un’applicazione. I vettori geometrici quindi sono dei vettori fisici applicati rappresentati

graficamente da frecce, ovvero segmenti orientati. Una freccia rappresenta quindi un vettore

fisico applicato che ha la stessa direzione della freccia, lo stesso verso, il modulo uguale alla

lunghezza della freccia, il punto di applicazione della freccia. L’insieme di vettori geometrici

rappresentati nel piano sono indicati con Ve^2, mentre i vettoriÐeometrici rappresentati nello

spazio sono indicati con Ve^3.

2 -Parlare delle operazioni, dei gruppi e/o dei campi

Per Campo si intende una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto K e da due

operazioni interne; somma e prodotto. Tale insieme non vuoto e’ una campo se valgono le

seguenti proprieta’:

associativa,commutativa, distributiva ed esistenza elemento neuto (0 per la sommma e 1 per il

prodotto).

Per Gruppo si intende una struttura algebrica formata dalla presenza di nu insieme non vuoto

con un’operazione binaria, somma o prodotto. Un gruppo gode delle seguenti proprieta’:

Proprieta’ associativa, esistenza elemento neutro, esistenza di opposto ed inverso, proprieta’

commutativa.

3 -Dare la definizione di spazio vettoriale

Lo spazio vettoriale e’ un inseieme V dotato di due operazioni, una detta addizione e una detta

prodotto per scalare, le quali godono delle seguenti proprieta’:

Addizione: propr. associativa, commutativa, esistenza elemento neutro ed elemento opposto.

Prodotto: propr. distributiva, esistenza dell’elemento neutro

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K con addizione e moltiplicazione per scalare tale che

1 – qualunque v appartenente a V sia 0*v=0

2 – qualunque v appartenente a V sia -1*v= -v

3 – qualunque lambda appartenente a K sia lambda*0= 0

Qualunque lambda di K \ [0], se v appartiene a v e lambda * v = 0 allora v=0

Parlare delle combinazioni lineari

Le combinazioni lineari sono la più semplice espressione in cui possiamo scrivere uno spazio

vettoriale: sono somme di prodotti per scalare. Esse sono anche le più generali, perché ogni

espressione in uno spazio vettoriale può essere ridotta a una combinazione lineare attraverso

le proprietà degli spazi vettoriali. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Si considerino v1,

v2, . . . , vn V e lambda 1, lambda 2, . . . , lambda n K: La scrittura lambda1*v1 +

∈ ∈

lambda2*v2 + + lambda n*vn è detta combinazione lineare dei vettori vi.

· · ·

 Gli scalari lambda i sono detti coefficienti della combinazione lineare.

 Il vettore v = lambda 1*v1 + lambda 2*v2 + + lambda n*vn è detto risultato o

· · ·

valore della combinazione lineare.

 Zero vettori danno una sola combinazione lineare, il cui risultato valore è il vettore

nullo.

Parlare dei sottospazi vettoriali, in particolare eunciando un risultato(teorema,

proposizione o corollario)

Sia V uno spazio vettoriale dotato di addizione + e moltiplicazione per scalare su un campo

·

K. Un sottoinsieme W incluso in V è detto sottospazio vettoriale di V se W è uno spazio

vettoriale su K con l’addizione + e la moltiplicazione per scalare di V . I sottospazi vettoriali

sono sottoinsiemi di spazi vettoriali che ereditano la struttura di spazio vettoriale, sono a loro

volta quindi spazi vettoriali rispetto alle stesse operazioni su V. Sia V uno spazio vettoriale

dotato di addizione + e moltiplicazione per scalare su uncampo K. Un sottoinsieme W di V è un

sottospazio vettoriale di V se e solo se valgono le seguenti proprietà:

 0 appartiene a W;

 per ogni v,w appartenente a W si ha v+w appartenente a W;

 per ogni v appartenente a W e lambda appartenente a K si ha lambda*v appartenente a

W.

Parlare del concetto di insieme di generatori, e dei sottospazi vettoriali finitamente

generati

I generatori sono un insieme di vettori che generano lo spazio V. Ogni vettore di V e’

esprimibile come combinazione lineare dei vettori generati. Un sottospazio vettoriale W di uno

spazio vettoriale V si dice finitamente generato se ammette un insieme di generatori con un

numero finito di vettori Sia X un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V . Il Sottospazio

vettoriale generato sottospazio vettoriale Span(X) di V è detto sottospazio vettoriale generato

da X. L insieme X e i vettori di X sono detti generatori del sottospazio vettoriale Span(X).

’

Un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V è detto finitamente generato se esiste un

sottoinsieme finito (w1,w2,...,wn) di W tale che Span(w1,w2,...,wn) = W. Uno spazio vettoriale

V è detto finitamente generato se V , pensato come sottospazio vettoriale di sé stesso, è

finitamente generato, ossia se esiste un sottoinsieme finito (v1,v2,...,vn)di V tale che

Span(v1,v2,...,vn)= V.

Parlare della dipendenza e dell’indipendenza lineare, in particolare dando la

definizione ed enunciando un risultato ( teorema, proposizione o corollaio)

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. N vettori di V si dicono linearmente indipendenti se

l’unica combinazione lineare che da il vettore nullo e’ quello a coefficienti tutti nulli, altrimenti

si dicono linearmente dipendenti.

 Sia V uno spazio vettoriale e siano v1, v2…..vn vettori di V con n maggiore o uguale a

2, essi sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi e’ il risultato di una

combinazione lineare degli altri.

 Sia V uno spazio vettoriale, e siano v1, v2, . . . , vn vettori di V . Essi son linearmente

indipendenti se e solo se ogni vettore di Span(v ,v ,...,v ) è il risultato di una sola

combinazione lineare dei vettori v1,v2,...,vn.

Parlare dell’algoritmo di estrazione di una base

In presenza di un insieme di vettori l’algoritmo di estrazione ha il seguente procedimento: si

prende il primo vettore e si controlla che non sia nullo, se non lo è si imette nella base che

stiamo cotruendo. Poi si prende il 2° e si verifica che sia lin. ind. dal 1°, se lo e’ lo metto nela

base altrimenti si scarta. Poi si prende il terzo e si verifica se e’ lin.ind. dal 2° e così via, fino al

ragiungimento dela base estratta.

Dato che un generico vettore v delo spazio vettoriale e’ una base, le coordinate del vettore

rispetto alla base data sono i coefficienti della combinazione lineare di vettori della base che ha

come risultato il vettore dato.

Parlare delle basi degli spazi vettoriali, e delle coordinate di un vettore rispetto a

una base.

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme finito ordinato B = (v1,v2,...,vn) i cui vettori

v1,v2,...,vn generano V e sono linearmente indipendenti. Questo vale anche per tutti i

sottospazi vettoriali di un generico spazio vettoriale, infatti ogni sottospazio vettoriale è di per

sé uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ha una base. Se B è un

insieme finito ordinato di vettori di uno spazio vettoriale V allora B è una base di V ed ogni

vettore di V è il risultato di una e una sola combinazione lineare degli elementi di B. Tutte le

basi di uno spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di elementi e questo numero si chiama

dimensione di V.

Parlare delle basi degli spazi vettoriali, in particolare dando la definizione ed

enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

La base e’ un insieme di generatori lin. ind., Dato uno spazio V, tutte le basi hanno lo stesso

numero di Vettori e questo numero si chiama dimensione di V.

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme finito ordinato B = {v1,v2,...,vn} i cui vettori

v1,v2,...,vn generano V e sono linearmente indipendenti. Per definizione tutte le basi di uno

spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di elementi.

Parlare dell’algoritmo di completamento a una base

Sia x=(v1,v2…vn) un sottoinsieme ordinato di vettori linearmente indipendenti di uno spazio

vettoriale finitamente generato V. L’algoritmo funziona in questo modo: si sceglie un vettore e

lo si aggiunge a quelli gia’ presenti, dopodiche’ si controlla se lo Span di tutti i vettori e’

uguale a V. Se e’ così allora l’algoritmo termina, altrimenti si ripete scegliendo altri vettori.

L’algoritmo di completamento a una base, termina dopo un numero finito di passi e il suo

risultato è una base di V.

Parlare della dimensione degli spazi vettoriali finitamente generati, in particolare

dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

La dimensione degli spazi vettoriali finitamente generati e’ il numero di vettori che

compongono una qualsiasi base dello spazio vettoriale dato.

Sia w sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale finitamente generato V, si avra’ sempre

che dim(W)<= dim(v)

La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V è il numero degli elementi di

una qualsiasi delle sue basi, ed è indicata con dim(V ). La definizione ha senso, infatti:

• visto che V è uno spazio vettoriale finitamente generato, esso ha almeno una base;

• tutte le basi di V hanno lo stesso numero di elementi.

Uno spazio vettoriale finitamente generato è anche detto di dimensione finita.

Corollario: Sia n la dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V , e siano v1, v2,

. . . , vk vettori di V . Le seguenti proprietà sono soddisfatte:

• se v1, v2, . . . , vk sono linearmente indipendenti, allora k minore/uguale n;

• se v1,v2,...,vk generano V , allora n minore/uguale k.

Parlare delle operazioni elementari sulle matrici, e di uno dei metodi di eliminazione

di Gauss, di Gauss con normalizzazione o di Gauss-Jordan.

Le operazionni elementari sulle matrici si dividono in operazioni elementari su righe ed

operazioni su colonne.

Una operazione elementare sulle righe di una matrice A ,appartenente al campo delle matrici di

K n,m quindi n righe ed m colonne, e’ :

1) scambio di 2 righe di A

2) moltiplicazione di una riga di A per un elemento lambda appartenente a k \ (0)

3) sostituzione di una riga di A con la somma della riga stessa moltiplicata di un multiplo di

un’altra

Un’operazione elementare sulle colonne sulla stessa matrice riguarda :

1) scambio di due colonne di A

2) moltiplicazione di una colonna di A per un elemento lambda appartenente a k\(0)

3) sostituzione di una colonna di A con la somma della riga stessa moltiplicata di un

multiplo di un’altra.

(Metodo di eliminazione di Gauss ) – Sia A una matrice appartenente a Kn,m, si ripetono i

seguenti passi al piu’ n volte, una per ogni riga. Al primo passo si lavora sulla matrice A e poi

ad ogni passo successivo, si fissa la prima riga e si lavora sotto matrice che si ottiene

cancellandola.

Algoritmo: (Metodo di eliminazione di Gauss con normalizzazione):Sia A Kn,m una matrice.

∈

Si applica il metodo di eliminazione di Gauss e si ottiene la matrice a scalini B Kn,m. Per ogni

∈

riga non nulla si applica un’operazione elementare sulle righe di tipo II con fattore 1, dove p è

il pivot della riga considerata. In questo modo il pivot della riga considerata diventaÑ. Il

risultato dell’algoritmo è la matrice C Kn,m ottenuta da B applicando leÐperazioni elementari

∈

di tipo II indicate

Parlare del prodotto righe per colonne tra matrici e dell’inversa di una matrice

Il prodotto righe per colonne di due matrici puo’ essere eseguito solo se il numero di colonne

dela prima matrice e’ uguale al numero di colonne della 2°. Il prodotto, che sara’ dato da A*B,

avra’ le seguenti proprieta’:

esistenza elemento neutro,proprieta’ associativa,proprieta’ distributiva a destra e a sinistra.

Le matrici invertibili possono essere tali solo se matrici quadrate, quindi stesso numero di righe

e di colonne, queste sono dette invertibili se esiste una matrice A elevato a -1 tale che A * A

elevato a -1 = A elevato a -1 * A = In. Quado questa matrice esiste viene detta INVERSA

DI A.

Parlare dello spazio vettoriale delle matrici Kn,m sul campo K.

L’insieme delle matrici con le operazioni di somma tra matrici e prodotto di una matrice per

uno scalare appartenente a K hanno la struttura di spazio vettoriale. Per esempio la proprieta’

commutativa nella somma e’ verificata per come e’ definita la somma tra matrici.

Parlare dell’interpretazione geometrica del determinante delle matrici con entrate

reali.

Nell’interpretazione geometrica il determinante e’ l’area del parallelogramma se la matrice e’

una 2x2, invece e’ il volume di un tetraedro quando la matrice e’ una 3x3

Parlare del determinante.

Il determinante di una matrice e’ un numero associato a ciascuna matrice quadrata che

esprime alcune proprieta’ algebriche e geometriche. Si ottiene mediante un calcolo ed ha le

seguenti caratteristiche: prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto

degli elementi dell’altra diagonale ( matrice 2x2 .

Inoltre possiamo dire che:

 Se il Det e’ diverso da zero allora la matrice e’ invertibile

 Se il Det e’ diverso da zero il suo rango e’ massimo

Per la risoluzione di matrici 3x3 o 4x4 possiamo affidarci allo sviluppo di Laplace che permette,

tramite delle regole precise, di ricondurre il calcolo per matrici di ordine n ad operazioni su

matrici di ordine n-1.

Descrivere lo sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante.

Il teorema di Laplace riduce il calcolo del determinante di una matrice di ordine n al

calcolo di determinante di matrici di ordini n-1. Nello specifico il il determinante di A e’ uguale

alla somma dei prodotti delle entrate di una riga ( o di una colonna) qualsiasi per i rispettivi

complementi algebrici Applicando ripetutamente il teorema di Laplace, possiamo calcolare il

determinante di una matrice di qualsiasi ordine. E’ una formula che permette di calcolare il

determinante di una matrice con un procedimento ricorso. La prima formula e’ detta sviluppo

di Laplace lungo la k-esima riga, la seconda che riguarda le colonne invece si chiama sviluppo

lungo la n-esima colonna, infatti lo sviluppo può essere eseguito sia per righe che per colonne.

Descrivere come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss per il calcolo del

determinante.

L’intento del metodo di eliminazione di Gauss e’ di ridurre la matrice a scalini, e per farlo

possiamo utilizzare quelle che si chiamano mosse di Gauss, ovvero:

 CAMBIARE RIGA

 MOLTIPLICARE UNA RIGA DELLA MATRICE PER UN NUMERO REALE NON NULLO DETTO

SCALARE

 SOSTITUIRE UNA RIGA DELLA MATRICE CON QUELLA OTTENUTA SOMMANDO A ESSA

UN MULTIPLO DI U’ALTRA RIGA

Descrivere alcune proprietà del determinante.

 Se il Det e’ diverso da zero la matrice e’ invertibile

 Se il Det e’ diverso da zero il rango e’ massimo

 Il determiante di una matrice coincide con il determinante della sua trasposta

 Se tutti gli elementi di una rigs o di una colonna sono nulli allora determinante uguale a

zero

 Il valore del det non cambia se sommo o sottraggo ad una riga o una colonna una

qualunque riga o colonna parallela moltiplicata per un numero reale C

 scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando

uguale in valore assoluto.

Descrivere brevemente la relazione tra il determinante di una matrice e la

dipendenza/indipendenza lineare delle colonne e delle righe della matrice

Sia A matrice quadrata nxn, La relazione tra il Det di una matrice nxn e la dipendenza o

indipendemza lineare tra le righe e le colonne e’:

Se il det = 0 le righe e le colonne sono linearmente dipendenti, diversamente sono linearmente

indipendenti. Possiamo anche dire che le righe di A sono linearmente indipendenti se e solo se

le colonne sono linearmente indipendenti.

Parlare del rango di una matrice, in particolare enunciando un risultato (teorema,

proposizione o corollario).

Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di una matrice nxm e’ detto rango di A

e si indica con rank(A). Il rank di una matrice e’ il numero di righe o di colonne non nulle in

una matrice ridotta per righe o colonne. Possiamo anche dare questa definizione : Il rango di

A e’ uguale alla dimensione del sottospazio vettoriale di Kn,1 generato dalle colo