Esercizi fisica

D

θ

dell'angolo per cui l'intensità della forza è minima.

m ◦

θ = 0.38 rad = 22

[ ]

m

Esercizio 8 m =1

Un oggetto di massa kg è posto su un piano scabro la cui inclinazione rispetto

θ

all'orizzontale è pari all'angolo . µ = 0.5

1. Assumendo che il coeciente d'attrito statico tra l'oggetto e il piano sia ,

S

◦ ◦

F θ 0 90

tracciare il graco della forza di attrito in funzione dell'angolo da a .

ATT

θ

2. Si determini inoltre il valore critico oltre il quale il corpo si mette in moto.

c

4.2 Piano inclinato e attrito 25

 ◦ 

 mg sin θ, per 0 < θ < θ c

 ◦

µ mg cos θ = 4.4 N, per θ = θ = 27

F = S c c

ATT 

 ◦

µ mg cos θ, per θ < θ < 90

 D c

Esercizio 9 m = 1

Un corpo di massa kg si mantiene in equilibrio su un piano inclinato purché

◦

30

l'angolo di inclinazione non superi . µ

1. Quanto vale il coeciente di attrito statico ?

S ◦

µ = tan(30 ) = 0.577

[ ]

S

2. Quali sono, come sono dirette e quanto valgono le diverse forze agenti sul grave se

◦

15

l'angolo d'inclinazione è di ? ~ −

P = (2.5 ~u 9.5 ~u )

[ N;

m x y

~ ~

F = (−2.5 ~u ) R = (9.5 ~u )

N e N]

ATT x N y

Esercizio 10

Un corpo scivola senza rotolare lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo di

◦

45 rispetto all'orizzontale, no a raggiungere un piano orizzontale anch'esso scabro. Il

h = 5

corpo parte con velocità nulla da una posizione avente quota m. Sapendo che il

µ = 0.5

coeciente di attrito dinamico per entrambi i piani è , determinare la distanza

D

S percorsa dal corpo sul piano orizzontale prima di fermarsi.

f S =5

[ m]

f

Esercizio 11 m h

Un corpo di massa è posto sulla sommità di un piano inclinato a un'altezza dal

θ

suolo, con il quale il piano inclinato forma un angolo . Il piano è scabro e il coeciente

µ µ

di attrito statico è mentre il coeciente di attrito dinamico è .

S D

θ θ < θ

1. Si calcoli il valore massimo dell'angolo inclinazione tale che per ogni la

M M

m

massa resti in equilibrio; θ = arctan(µ )

[ ]

M S

a t

2. si calcoli inoltre il modulo dell'accelerazione del corpo e il tempo necessario per

f

raggiungere il suolo. r

2h

−

a = g (sin θ µ cos θ) ; t =

D f −

g sin θ (sin θ µ cos θ)

D

Esercizio 12 m θ

Una cassa di massa è appoggiata a un piano liscio inclinato di un angolo . Si determini:

1. l'accelerazione della cassa una volta che sia stata lasciata libera; a = g sin θ

[ ]

26 Dinamica

2. il tempo impiegato a raggiungere il fondo e la sua velocità supponendo che la cassa

venga abbandonata da ferma alla sommità del piano inclinato e la distanza lungo il

d

piano dalla cima al fondo sia . √

p

2d/g sin θ v = 2dg sin θ

t = ; ]

[

Esercizio 13

Si consideri un blocco appoggiato su una supercie scabra inclinata rispetto all'asse oriz-

zontale. L'angolo del piano inclinato viene aumentato no a quando il blocco inizia a

θ

scivolare. Mostriamo che dalla misura dell'angolo critico a partire dal quale ha inizio

C

µ

il moto del blocco possiamo ottenere .

S

Esercizio 14 m =1 µ = 0.2

Un blocco di massa kg viene lanciato su per un piano inclinato scabro ( )

◦

v = 3 α = 30

con velocità m/s. Se l'angolo d'inclinazione è , calcolare:

0

s

1. la distanza percorsa dal blocco lungo il piano; s = 68.1

[ cm]

2. il tempo impiegato a percorrerla, nonché il tempo complessivo di andata e ritorno.

t = 0.455 t = 1.11

[ s; s]

s tot

Esercizio 15 ◦

m =2 α = 30

Un blocco di massa kg sale lungo un piano liscio, inclinato di un angolo

F θ

rispetto all'orizzontale, sotto l'azione di una forza di modulo pari a 20 N con un angolo

θ

rispetto all'orizzontale. Si calcoli il valore di in corrispondenza del quale l'accelerazione

del blocco è massima e si determini tale valore di accelerazione.

Esercizio 16

m m

La massa è posta sopra la massa la quale giace su un piano orizzontale liscio.

A B µ

Sapendo che il coeciente di attrito statico tra le due masse è , calcolare la massima

S

F m m

forza orizzontale che si può imprimere alla massa in modo che non si sposti.

B A

[F = µ (m + m )g]

max S A B

4.3 Funi e carrucole

Esercizio 17 m = 10 m = 20 m = 30

Tre blocchi di massa kg, kg e kg sono collegati da una fune

1 2 3

e poggiano su un tavolo orizzontale senza attrito. Essi sono tirati verso destra con una

~

F = 60 T T a

forza N. Trovare le tensioni e delle funi e il modulo dell'accelerazione del

1 2

sistema.

F 2

= 1 m/s

T = 10 N; T = 30 N; a =

1 2 m + m + m

1 2 3

4.3 Funi e carrucole 27

Esercizio 18 M

Un corpo di massa poggia su un piano orizzontale ed è collegato, attraverso una fune

m

inestensibile di massa trascurabile e una carrucola, a un corpo di massa che cade verso

il basso per eetto della forza peso con attrito trascurabile. T

1. Calcolare l'accelerazione a con cui si muovono le due masse e la tensione della fune,

quando l'attrito è trascurabile.

mM g

mg ,T =

a = m + M m + M

M

2. Ripetere lo stesso calcolo del punto 1 quando l'attrito tra e il piano orizzontale non

µ

è più trascurabile (coeciente di attrito dinamico ).

D

−

m µ M mM g

D

a = g; T = (µ + 1)

D

m + M m + M

3. Nel caso di attrito trascurabile, come varia l'accelerazione con cui si muovono i due

M

corpi se parte della massa m viene trasferita sul corpo di massa lasciando in tal

modo invariata la massa totale del sistema?

Esercizio 19 m = 10 m = 5

Si considerino due blocchi di massa kg e kg collegati da una fune di cui

A B

uno è collocato su un piano mentre l'altro è sospeso oltre il bordo tramite una carrucola.

1. Determinare il minimo valore della massa di un blocco C che deve essere collocato su

A per impedire che A scivoli se il coeciente di attrito statico tra A e il tavolo vale

µ = 0.2

.

S m = 15

[ kg]

C

a

2. Il blocco C viene improvvisamente rimosso. Qual è l'accelerazione del blocco A se il

µ = 0.15

coeciente di attrito dinamico tra A e il tavolo vale ?

D 2

a = 2.3

[ m/s ]

Esercizio 20 m m

Due corpi di massa ed sono sospese verticalmente su una

1 2

puleggia leggera e priva di attrito come indicato in gura (macchina

di Atwood). Si determini l'accelerazione dei due corpi e la tensione

della fune.

−

m m 2m m

2 1 1 2

a = g; T = g

m + m m + m

2 1 2 1

Esercizio 21

m = 10

Una massa kg deve essere calata dal secondo piano di una casa con una fune

T = 70

il cui carico di rottura è N. Può essere calata con velocità costante? In caso

R

28 Dinamica

contrario, con quale accelerazione costante può essere calata? 2

a = 2.8

[ m/s ]

Esercizio 22 m m

Due corpi di massa e sono collegati agli estremi di una fune che appoggia su una

1 2

carrucola ssa. Calcolare l'accelerazione delle masse e la tensione della fune (macchina di

m = m = m

Atwood). Nel caso in cui i due corpi abbiano massa uguale , aggiungendo

1 2

m = m/9

una massa a uno dei due corpi e facendo in modo che, dopo che questi

3 h = 1

abbia percorso una distanza m, la massa aggiuntiva venga eliminata, i due corpi

v = 1

procedono con velocità costante m/s. Ricavare la stima dell'accelerazione di gravità

g ottenuta in questo modo.

Esercizio 23 m = 5 m = 15

Due corpi di massa kg e kg sono ssati alle

1 2

estremità di una fune inestensibile che appoggia su una carrucola

di massa trascurabile, come mostrato in gura. Alla carrucola

~

F

è applicata una forza diretta verso l'alto. Trascurando gli

attriti e ipotizzando che la fune sia tesa, calcolare la massima

F m

intensità della forza per cui rimane a contatto col suolo,

M 2

m

e l'accelerazione di in corrispondenza di tale forza.

1 −2

F = 294 a = 19.6

[ N; ms ]

max 1

Esercizio 24

Due masse sono collegate a una fune con un estremo ssato

al sotto, e a due carrucole come in gura. Calcolare le

accelerazioni delle due masse trascurando l'attrito e consi-

C C

derando la carrucola ssa e quella mobile di massa

1 2

trascurabile.

m

2m 2 2

g; a = g

a = 2

1 4m + m 4m + m

1 2 1 2

Esercizio 25 m m

Una sfera di massa e un blocco di massa sono collegati tramite un lo di massa

1 2

trascurabile che passa per una puleggia, anch'essa di massa trascurabile e priva di attrito.

α

Il blocco giace su di un piano liscio inclinato di un angolo . Si determini il modulo

dell'accelerazione dei due corpi e la tensione del lo.

4.4 Dinamica dei moti circolari

Esercizio 26 m

Si consideri una pallina di massa sospesa, tramite una fune inestensibile di massa

L θ

trascurabile e di lunghezza , a un punto sso e sia l'angolo formato dal lo con la

v θ

verticale. Determinare la velocità (in funzione dell'angolo ) che deve essere impressa

p

4.4 Dinamica dei moti circolari 29

alla pallina anché si muova di moto circolare uniforme in un piano orizzontale.

" #

r gL

v = sin θ

p cos θ

Esercizio 27 m = 200 L = 40

Un punto materiale di massa g legato a un lo di lunghezza cm e di cui

l'altro estremo è sso, viene fatto ruotare in un piano verticale. Supponendo che il moto

f = 100

sia circolare uniforme con frequenza giri/min, si calcoli quanto vale la tensione

T del lo quando il punto si trova: ◦

T (θ = 180 ) = 6.81

1. lungo la verticale nel punto più alto; [ N]

◦

T (θ = 0 ) = 10.7

2. lungo la verticale nel punto più basso; [ N]

◦

T (θ = 90 ) = 8.77

3. quando il punto è orizzontale. [ N]

ω

4. C'è un limite inferiore alla velocità angolare perché il punto materiale percorra la

traiettoria circolare? [ω = 4.95 rad/s]

min

Esercizio 28