Esercizi di Statistica con soluzioni

Esercizi di Statistica. Argomenti: trasformazioni di variabili aleatorie, stimatori dei momenti, stimatori di massima verosimiglianza, proprietà degli stimatori, efficienza, sufficienza, correttezza, consistenza, fisher information, MSE, problemi regolari ed irregolari, test ipotesi, Neyman Pearson.
81 pagine di esercizi svolti, scritti in inglese su tablet. Ordinati e precisi.
Esito esame: 30 e Lode

Esame Numerical and statistical methods for finance

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Favaro Stefano

Università Università degli studi di Torino

Publisher __irene__22

A.A. 2022-2023

81 pagine

Panieri

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Estratto del documento

EXERCISES - STATISTICS

EX. 1

Given two random variables X, Y ∼ U[0,1] such that X ⟂ Y.

Recall:

f_X(x) = f_Y(x) =

1 if x ∈ [0,1]
0 otherwise

F_X(x) = F_Y(x) =

0 if x < 0
x if x ∈ [0,1]
1 if x > 1

Determine the pdf of:

U = max(X, Y), V = min(X, Y), Z = -log X

F_U(u) = P(U ≤ u) = P(max(X, Y) ≤ u) = P(X ≤ u, Y ≤ u) = P(X ≤ u) ⋅ P(Y ≤ u) =
- 0 if u < 0
- u² if u ∈ [0, 1]
- 1 if u > 1

f_U(u) = ^d/_du F_U(u) = 2u ⋅ 1_[0,1](u)

F_V(v) = P(V ≤ v) = P(min(X,Y) ≤ v) = 1 - P(min(X,Y) > v) = 1 - P(X > v, Y > v) = 1 - P(X > v) ⋅ P(Y > v) =
- 1 - (1 - v)² if v ∈ [0,1]
- 1 if v ≥ 1
- 0 if v < 0

f_V(v) = ^d/_dv F_V(v) = 2(1 - v) ⋅ 1_[0,1](v)

F_Z(z) = P(Z ≤ z) = P(-log X ≤ z) = P(log X ≥ -z) = P(X ≥ e^-z) =
- 1 - P(X ≤ e^-z) = 1 - F_X(e^-z) =
  - 1 - e^-z if e^-z ∈ [0, 1]
  - 1 if e^-z ≤ 0
  - 0 if e^-z > 1

f_Z(z) =

e^-z if z ≥ 0
0 otherwise

Z ∼ Exp(1)

EX.2

Let X₁,X₂ be two random variables s.t. X_i∼U(0,1) and X ⫫ X₂. Determine the pdf of Y = X₁ + X₂.

First of all notice that since 0 ≤ X₁ ≤ 1 and 0 ≤ X₂ ≤ 1, 0 ≤ Y ≤ 2

1^st case: 0 < y < 1

F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(X₁ + X₂ ≤ y) = P(X₂ ≤ y - X₁) =

∫₀^y ∫₀^y-x₁ f_X₁(x₁) f_X₂(x₂) dx₂ dx₁ =
∫₀^y ∫₀^y-x₁ dx₂ dx₁ =
∫₀^y (y - x₁) dx₁ =
[yx₁ - ¹/₂x₁²]₀^y =
y² - ¹/₂y² = ^y²/₂

2^nd case: 1 < y < 2

F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(X₁ + X₂ ≤ y) = P(X₁ ≤ y - X₂) =

1 - ∫_y-1¹ ∫_{y-x₂¹ dx₁ dx₂ =}
1 - ∫_y-1¹ 1 - (y - x₂) dx₂ =
1 - ∫_y-1¹ (1 - y + x₂) dx₂ =
1 - [(x₂ - yx₂ + ¹/₂x₂²)]_y-1¹ =
1 - [(1-y+¹/₂] - (-2y + y² + 2 + (y-1)²)]

f_Y(y) =

0 y < 0 ∧ y > 2
y 0 ≤ y ≤ 1
2 - y 1 < y ≤ 2

EX 5

Sia T il triangolo di vertici (0,0), (0,1), (1,1).

Sia (X,Y) un vettore aleatorio con densità congiunta:

f_X,Y(x,y) = -4log(y)·_T(x,y)

Determinare le densità marginali di X e Y

Soluzione:

f_X(x) = ∫₀¹ f_X,Y(x,y) dy = ∫_x¹ -4log(y) dy =

= -4 ∫_x¹ log(y) dy =

= 4 [ ylog(y) - y ]_x¹ =

= 4 [ 1·log(1) - x·log(x) - 1 + x ]

= 4 [ -xlog(x) - 1 + x ]

= 4 (1-x - xlog(x))._[0,1](x)

f_Y(y) = ∫₀^y f_X,Y(x,y) dx = - 4ylog(y)·_[0,1](y)

φ(x,y)=√x . y

E[φ(X,Y)]=E[φ(X,Y):Y] = ²∫_-2(^{∫ √x . y . f_(x,y)(x,y)) dx) dy =}

=²∫_-2(¹∫₀√x . y . ²∫_-4dx) dy =

=²∫_-2√y . ¹∫₀√x dx dy =

=²∫_-2√y . [ ^{x^3/2}/3/2 ]¹₀ dy =

=²∫_-2√y . [¹^3/2/_3/2 - ][^{-4^3/2/3/2] dy =}

=²∫_-2y [0 - (-8)][-(-0)] dy =

=4.4 - 3=3

Metodo alternativo: E[ΣX,Y]=E[X] : E[Y]

indip.

E[ΣX]=¹∫₀ y . ^x²/dx = ¹∫₀ (x⁸)^√ -(-√-4) = 2

E[Y]=²∫_-2^1/2 y dy = [^y²_⁴]-^1/2[√³^a]

E[ΣX]:E[Y]= 2 . ^3/2 = 3

P{(X,Y) ε Q}

dove Q e il quadrato ai vertici (1,1),(-1,2),(2,-1),(2,2)

P{(X,Y) ε Q}={1≤x≤2, 1≤y≤2}=²∫_-1₁ f_(x,y) dx

=²∫₁;²∫₁ f_(x), f_(y)) dx dy = ²∫₀^{x¹x^{-xy^{-1√(dx dy) = [¹_3/2]}}}

=^{√x²dx dy = ^{√∫₄[1 - 0 - (-2)(-1)]√dy}}

-=^√-(-√)

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