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EXERCISES - STATISTICS

EX. 1

Given two random variables X, Y ∼ U[0,1] such that X ⟂ Y.

Recall:

fX(x) = fY(x) =

  • 1 if x ∈ [0,1]
  • 0 otherwise

FX(x) = FY(x) =

  • 0 if x < 0
  • x if x ∈ [0,1]
  • 1 if x > 1

Determine the pdf of:

U = max(X, Y), V = min(X, Y), Z = -log X

  • FU(u) = P(U ≤ u) = P(max(X, Y) ≤ u) = P(X ≤ u, Y ≤ u) = P(X ≤ u) ⋅ P(Y ≤ u) =
    • 0 if u < 0
    • u2 if u ∈ [0, 1]
    • 1 if u > 1

fU(u) = d/du FU(u) = 2u ⋅ 1[0,1](u)

  • FV(v) = P(V ≤ v) = P(min(X,Y) ≤ v) = 1 - P(min(X,Y) > v) = 1 - P(X > v, Y > v) = 1 - P(X > v) ⋅ P(Y > v) =
    • 1 - (1 - v)2 if v ∈ [0,1]
    • 1 if v ≥ 1
    • 0 if v < 0

fV(v) = d/dv FV(v) = 2(1 - v) ⋅ 1[0,1](v)

  • FZ(z) = P(Z ≤ z) = P(-log X ≤ z) = P(log X ≥ -z) = P(X ≥ e-z) =
    • 1 - P(X ≤ e-z) = 1 - FX(e-z) =
      • 1 - e-z if e-z ∈ [0, 1]
      • 1 if e-z ≤ 0
      • 0 if e-z > 1

fZ(z) =

  • e-z if z ≥ 0
  • 0 otherwise

Z ∼ Exp(1)

EX.2

Let X1,X2 be two random variables s.t. Xi∼U(0,1) and X ⫫ X2. Determine the pdf of Y = X1 + X2.

First of all notice that since 0 ≤ X1 ≤ 1 and 0 ≤ X2 ≤ 1, 0 ≤ Y ≤ 2

1st case: 0 < y < 1

FY(y) = P(Y ≤ y) = P(X1 + X2 ≤ y) = P(X2 ≤ y - X1) =

  • ∫0y ∫0y-x1 fX1(x1) fX2(x2) dx2 dx1 =
  • ∫0y ∫0y-x1 dx2 dx1 =
  • ∫0y (y - x1) dx1 =
  • [yx1 - 1/2x12]0y =
  • y2 - 1/2y2 = y2/2

2nd case: 1 < y < 2

FY(y) = P(Y ≤ y) = P(X1 + X2 ≤ y) = P(X1 ≤ y - X2) =

  • 1 - ∫y-11 ∫y-x21 dx1 dx2 =
  • 1 - ∫y-11 1 - (y - x2) dx2 =
  • 1 - ∫y-11 (1 - y + x2) dx2 =
  • 1 - [(x2 - yx2 + 1/2x22)]y-11 =
  • 1 - [(1-y+1/2] - (-2y + y2 + 2 + (y-1)2)]

fY(y) =

  • 0   y < 0 ∧ y > 2
  • y   0 ≤ y ≤ 1
  • 2 - y   1 < y ≤ 2

EX 5

Sia T il triangolo di vertici (0,0), (0,1), (1,1).

Sia (X,Y) un vettore aleatorio con densità congiunta:

fX,Y(x,y) = -4log(y)·T(x,y)

Determinare le densità marginali di X e Y

Soluzione:

fX(x) = ∫01 fX,Y(x,y) dy = ∫x1 -4log(y) dy =

= -4 ∫x1 log(y) dy =

= 4 [ ylog(y) - y ]x1 =

= 4 [ 1·log(1) - x·log(x) - 1 + x ]

= 4 [ -xlog(x) - 1 + x ]

= 4 (1-x - xlog(x)).[0,1](x)

fY(y) = ∫0y fX,Y(x,y) dx = - 4ylog(y)·[0,1](y)

b)

φ(x,y)=√x . y

E[φ(X,Y)]=E[φ(X,Y):Y] = 2∫-2(∫ √x . y . f(x,y)(x,y)) dx) dy =

=2∫-2(1∫0√x . y . 2∫-4dx) dy =

=2∫-2√y . 1∫0√x dx dy =

=2∫-2√y . [ x3/2/3/2 ]10 dy =

=2∫-2√y . [13/2/3/2 - ][-43/2/3/2] dy =

=2∫-2y [0 - (-8)][-(-0)] dy =

=4.4 - 3=3

Metodo alternativo: E[ΣX,Y]=E[X] : E[Y]

indip.

E[ΣX]=1∫0 y . x2/dx = 1∫0 (x8)√ -(-√-4) = 2

E[Y]=2∫-21/2 y dy = [y24]-1/2[√3a]

E[ΣX]:E[Y]= 2 . 3/2 = 3

c)

P{(X,Y) ε Q}

dove Q e il quadrato ai vertici (1,1),(-1,2),(2,-1),(2,2)

P{(X,Y) ε Q}={1≤x≤2, 1≤y≤2}=2∫-11 f(x,y) dx

=2∫1;2∫1 f(x), f(y)) dx dy = 2∫0x1x-xy-1√(dx dy) = [13/2]

=√x2dx dy = √∫4[1 - 0 - (-2)(-1)]√dy

-=√-(-√)

Dettagli
Publisher
__irene__22
A.A. 2022-2023
81 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-S/01 Statistica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher __irene__22 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Numerical and statistical methods for finance e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Torino o del prof Favaro Stefano.