Esercizi Soluzioni Statistica

P(X

b) Calcolare (X).

V

e) Calcolare

Soluzione 1

= = ½, <

O< 3.

a)f(x) F (x) x

= = =

> < ½

2) 2) 2)

P(X F (

b) P(X 1 - 1 - f

~ 3

= =

= =

2 2

E(X

e) Osservato che e 3, si ha che

E(X) ½J:xdx J x dx

) 0 ~

2 j

V(X) E(X [E(X)]2

== == ==

3 -

) -

X

5) Sia una variabile casuale con funzione di densità

2 <

J(x) kx x

== { 1 ::; 1

-

altrove

O

f(x)

Detenninare affinché sia una densità.

k

a) di

Prendendo il valore di individuato al punto determinare la funzione

k a),

b)

ripartizione.

e) Prendendo il valore di individuato al punto a), calcolare il quantile di ordine

k

0.5.

Soluzione f ~ 2 = = ~.

a) Bisogna trovare affiché 1, da cui si ottiene

k kx dx k

1

f~ 3 1

=

2

= -1::; <

b)F(X) !u du x

per 1.

,

x {

1 =

xo.5 F(xo.s)

e) Si deve determinare il valore tale che 0.5. Risolvendo l'equazione

=

4~+l 0.5

il

che quantile di ordine 0.5 è O.

Esercizi su v.c. Zero-Uno e Binomiale

"f.. Considerato un dado truccato in modo che la faccia testa abbia una probabilità ~ la

- rispetto alla faccia

di

c~oce, detenninare l'espressione della funzione probabilità della v.c. X"numero di est ottenute nel lancio

I\

dt una moneta" e detenninarne valore atteso e deviazione standard.

Soluzione è

Sia la probabilità di ottenere la faccia testa, per cui la probabilità di ottenere la faccia croce. Dalla

,r/3

tr

somma =

,r/3 1

,r+

si ottiene

tr=3/4 di X

La funzione di probabilità è

1

= =

f{x) P(X=x) (314f (1/4(

x O, 1

x=

=

E(X) 3/4

,r= =

=

V(X) 3/4xl/4 3/16

=

JZ')

w<(l-

iç,

.[3

a= ~b)(

x 4

'J.. X

Considerato un esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si consideri la v.c. che assume

valore 1 se si ottiene la faccia contrassegnata da 6 punti e valore O

in caso contrario. Determinare l'espressione

X,

di di

della funzione probabilità della v.c. il suo valore atteso e il coefficiente variazione.

Soluzione

Sia 1t=ll6 la probabilità di ottenere la faccia contrassegnata da 6 punti.

è

di X

La funzione di probabilità }..X

X

= = x=O, I

j{x) P(X=x) (1/6) (5/6)

x

=

E(X) 1/6

a=

= = =

l/6x5/6 5/36

JZ')

V(X) w<(l- 6')t

cv= Js/6 Js

=

li 6

'i.. Considerato un esperimento che consiste nel lancio di 1

O

dadi equilibrati si consideri la v.c. X"numero di

facce contrassegnate da 6 punti". Si determini l'espressione della funzione di probabilità della v.c. il suo

X,

di

valore atteso e la sua varianza. Si determini inoltre la probabilità che il numero facce contrassegnate con 6

5

punti si presenti: a) mai, b) almeno una volta, e) volte.

Soluzione

Xha una distribuzione Binomiale di parametri n=lO e 1t=ll6. Quindi la sua funzione di probabilità è

ff (

1 X ¾

)'"-' 0,1, ... , 10

)= = )= (

J(x x X=

P(X ~

= 10/6

E(X) n1r=-

= = =

,mx

V(X) (1-1!) 1Qx l/6x5/6 50/36

Le probabilità richieste sono: I

I

I

0 1

(10X1J (5J

o ~o.1615

6 6

P(X=O)=

a) 0 =0.8385

P(nl)=l•P(X=O)=l-(:nnff

b) 5 5

1

) (5)

(IOX ~

P(X = 5)= 0.0130

c) 6 6

5

20%

(9apendo che degli prodotti macchinario risulta difettoso, determinare la probabilità che

da

il articoli un 4

estraendo in modo casuale 4 articoli se ne ottengano: a) 1 difettoso; b) difettosi; c) al massimo due difettosi.

500

in

Estraendo modo casuale elementi, determinare il valore atteso e la varianza della della distribuzione del

numero di pezzi difettosi.

Soluzione X articoli

Indicata con la v.c. "numero di difettosi", le probabilità richieste sono;

1

i)=C)o.2) (o.8? =

0.4096

=

P(X

a) 4

P(X =4)=(

;)o.2) (0 8}° =

0.0016

b) ~

4 2 2

P(X

P~= P(X =O)+ =

i)+ P(X =

2

)= 0.8 +

0.4096 +

( )0.2) (o.8) =

0.9728

c)

=

Per X

la media e la varianza della v.c. sono uguali a

500

n = =

E(X) 500x0.2 100

= =

V(X) 500x0.2x0.8 80 I O 5

)(considerato un test composto da quesiti con modalità di risposta, di cui solo una corretta, detenninare

la probabilità che, rispondendo in modo casuale, si risponda correttamente ad almeno 4 quesiti.

Soluzione è di

Indicata con v.c. "numero di quesiti corretti", la sua distribuzione una Binomiale parametri e

Xla n=lO

per cui

tt=0.2

~ Considerata una v.c. che si distribuisce come una Binomiale di media 1.25 e varianza 1.21875, si determini

X

valore dei suoi parametri e si calcoli Ja probabilità che risulti: a) uguale a zero; b) minore 3.

di

il X

Soluzione

Dal sistema

nn=l.25

{ nn(l-n)= 1.21875 n=50

si ottengono le soluzioni e JF0.025.

Le probabilità richieste risultano

=O)=(~ 0

( )o.025 ) (0.975 )" "0.2820

P(X

a) =

+

P(X 3)=P(X =0)+ P(X = 1)+ P(X = 2):::: 0.2820 +0.3615 0.2271 0.8706

<

b) l

ESERCIZI SUGLI INTERVALLI DI CONFIDENZA

Sulla base del seguente campione casuale bernoulliano estratto da una popolazione normale di varianza

1. a2= 2.5

nota

2.0 1.6 2.5 2.4 2.0 3.1 1.3 2.2 1.8 1.1 l-a=0.95

diµ

determinare l' intervallo di confidenza al livello di probabilità

=2 n=l0

x- /c? + {25 {1.02

=

L:

+zo.02sv-;;- =2 1.9°'/To 298

~ Sulla base del seguente campione casuale bernoulliano estratto da una popolazione normale

1.8 1.2 0.5 0.3 0.2 -O.I -0.7 -1.2

diµ l-a=0.95

determinare l'intervallo di confidenza al livello di probabilità

.!.Lxt s 2

c5-2 =~x0.8125=0.9285?

X=0.25 =0.875 =0.8125

n . 7

I ={-

0 92857

=025+2364✓ · 5556

0

[si"

X+t (0025\ ·

'>y--;; . 8 1.0556

7 ·

3. Sulla base del seguente campione casuale bernoulliano estratto da una popolazione normale

1.3 2. 7 2.5 4.1 2.4 2.8 3.5 1.2 1.9 2.6

µ l-a=0.99

determinare l' intervallo di confidenza al livello di probabilità

di 10

I:xl 2

.!. c5-2 =0.72

X=25 72=0.8

=-xO.

=6.97 S

n . 9

I

fs2" - {o.s {1.5808

- f ;,, =

0

X+t \0.005Jv-;; .4

=25+3.249'1to

9 3 192

4. i 2500

Dati seguenti risultati ottenuti su un campione casuale di elementi

Classi Frequenze

assolute

1450

0-40

40-100 750

300

100-200 2500 l-a=0.90

determinare l'intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità

1~ a-

2 2 2

.x=5Q6 =184164 s

=4402 =

- k_l; ~!~~x184164::18423770

n .

l 18423770 ={49.1878

X+zo.os/i;- =506+1.64 520122

2500

i

5. Dati seguenti risultati ottenuti su un campione casuale di 2000 elementi

Classi Frequenze

relative

-2 - 0 0.5

0- 1 0.4

l - 3 O.I

I.O --a=0.90

determinare l' intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità I

2000xo.99:0.9905

a2 s

2

=0.99 = 1999

=--O.m_ ✓o.9905={-0.1366

64

(s2

X+z o.osv-;; 2000 - -0.0634 da è

6. Su un campione casuale bernoulliano di l O elementi estratto una popolazione normale si ottenuta una

µ

media pari a 15 ed una varianza campionaria corretta pari a 3.5. Determinare l 'intervallo di confidenza di

l-a=0.90

al livello di probabilità ={

119155

{si" [TI

X+t (0.05\ =15+1.833 1

\JTo

9 160845

~-;;

.X. Su un campione di 2000 elementi 1650 presentano una certa caratteristica A. Costruire l'intervallo di

1-a=0. 99

- cbnfidenza della quota di individui con tale caratteristica nella popolazione al livello di probabilità

1650=0.825

X= n=2000

2000

-- ~X(1-X) 1-0.825 ={0.8031

X +zo.oo =0.825+257

n 000 0.8469

di

-" Su un campione 25~0 indivi~ui 725_

sono di~~c,cupati. Costruire l' intervallo di confidenza della quota di

l-a=0.99

disoccupati nella popolazione al hvello di probab1hta

725

X= =0.29 n=2soo

2500

- ~X(I-X) 0.2 1-0.29 ~{0.2666

X+zo.oo n =0.29+257 2500 - 0.3134

ESERCIZI SULLA VERIFICA DI IPOTESI

X. Esercizio 1 ·

Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale

3.1 4.2 4.6 5.0 5.2 5.3 6.5 8.4 9.6

1.1 di

verificare l'ipotesi al livello significatività

Ho:µ=4 a=0.01

Soluzione

La statistica test risulta uguale a circa I, il quantile di riferimento vale Non si motivo di rifiutare

ha

1.681 3.2498. Ho.

)( Esercizio 2

Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale

1

O 12 15 16 16 I 7 20 22

verificare l'ipotesi al livello di significatività

Ho:µ=15 a=0.01

Soluzione

La statistica test risulta uguale a circa O. 7268, il quantile di riferimento vale 3.4495. Non si ha motivo di rifiutare Ho.

Ì Esercizio 3

Su un campione casuale di 200 elementi proveniente da una popolazione normale si è ottenuta una media pari a 24 e una

25

varianza corretta pari a Verificare l'ipotesi che la media della popolazione sia pari a al livello di significatività

40. a=0.05

attraverso calcolo del p-valore.

il

Soluzione

La statistica test risulta uguale a circa 2.24, il p-valore corrispondente è pari a per cui si rifiuta

0.0252, Ho.

Esercizio 4 è

Su un campione casuale di 1000 elementi si ottenuta una media pari a e una varianza corretta pari a 8. Verificare

11.2

l'ipotesi che la media della popolazione sia pari a 1

O

al livello di significatività O

attraverso il calcolo del p-valore.

a=0.1

Soluzione il

La statistica test risulta uguale a circa 13.42, p-valore corrispondente è pari a per cui si rifiuta

0.0000 .. . , Ho.

Esercizio5 è

Su un campione casuale di 40 elementi proveniente da una popolazione normale si ottenuta una media pari a 11 .2 e una

varianza corretta pari a 8. Verificare l'ipotesi che la media della popolazione sia pari a 10 al livello di significatività a=0.10

attraverso il calcolo del p-valore.

Soluzione è

La statistica test risulta uguale a circa 2.68, il p-valore corrispondente pari a 0.0074, per cui