Esercitazioni ed esami svolti di Introduzione all'econometria

Si consideri un modello di regressione lineare per spiegare il prezzo di un appartamento di 2 locali a Zurigo:

yt = a + bxt + t, dove yi é il prezzo dell’appartamento i (in centinaia di migliaia di Franchi) e xi è la distanza dell’appartamento i

dal centro della citta (in centinaia di metri). Le costanti a e b sono dei parametri ignoti. Gli errori soddisfano le ipotesi classiche,

in particolare E( i) = 0 e V ( i) =

Le prime quattro domande si riferiscono al seguente campione:

Una matrice è definita positiva se per ogni vettore non nullo x vale x′Vx>0. Qui abbiamo trovato un vettore non nullo a tale

che a′V(Y)a = 0. Quindi V(Y) non è definita positiva. Una matrice é semi-definita positiva sé X'AX>=0 ed esiste almeno un

X≠0 tale che X'AX=0.

Un autovettore v di una matrice M è un vettore non nullo che soddisfa: Mv=λv dove è l’autovalore associato.

λ

Nel nostro caso: M=V(Y) (la matrice di covarianza di Y), Quindi stiamo cercando un vettore v≠0 tale che V(Y)v=0.

λ=0.

Proprietà generale: Se Var(a′Y)=0, allora V(Y)a=0. Quindi quel vettore a è automaticamente un autovettore di V(Y) con

autovalore 0.

Si é interessati a studiare l’effetto della produzione industriale di un paese sulla sua crescita economica. quindi si considera il

seguente modello di regressione: yi = a + bxi + cdi + i con i = 1, ..., dove:

• yi, é la crescita percentuale del Prodotto Interno Lordo (PIL) del paese i-esimo

• xi, é la crescita percentuale della produzione industriale del paese i-esimo

• di, é una variabile dummy assume il valore 1 se il paese i-esimo si trova in Europa e zero altrimenti

• a, b e c sono parametri ioi da stimare.

• gli errori i sono indipendenti tra loro, con valore atteso nullo ed omoschedastici (ponendo la varianza pari a 2).

I dati disponibili sono riportati nella seguente tabella:

L'ipotesi c=0 significa che non c'è un effetto specifico dell'essere un paese europeo sulla crescita del PIL, dopo aver controllato

per la crescita della produzione industriale. In altre parole, l'ipotesi afferma che la localizzazione in Europa non influisce sulla

crescita economica.

Sì, sono indipendenti. Questo è un risultato fondamentale della regressione lineare sotto l'ipotesi di normalità degli errori. La

dimostrazione teorica si basa sul teorema di Cochran, che afferma che: è una funzione delle proiezioni nello spazio delle

β

colonne di X, SS è una funzione delle proiezioni nello spazio ortogonale. Queste due proiezioni sono indipendenti per

distribuzioni normali.