Formulario settimana 10, esame di Metodi quantitativi per le decisioni d'impresa

Metodi Quantitativi per le Decisioni d’Impresa

Formule Settimana 10

Richiami di Statistica

Variabile casuale: variabile che assume valori diversi in relazione ad un fenomeno

aleatorio. Può essere discreta o continua.

Variabile casuale discreta: è caratterizzata da una funzione di probabilità:

p(x) = P (X = x)

8 x x ::: x

< X

n

n

1 2 con

X p = 1

s

: p p ::: p s=1

n

1 2

Variabile casuale continua: è caratterizzata da una funzione di densità di probabilità:

Z

tale che 2 f (x)dx

f (x) P (X A) = A

con: Z f (x)dx = 1

R

Valore atteso

variabile casuale discreta:

– X

n

E(X) = x p

s s

s=1

variabile casuale continua:

– Z

E(X) = xf (x)dx

R

Varianza

variabile casuale discreta:

– X

n

2 2

2

V ar(X) = (X) = E (X E(X)) = (x E(X)) p

s s

s=1

e anche: !

2

X X

n n

2

2 2 2

(X) = E(X ) [E(X)] = x p x p

s s s

s

s=1 s=1

1

variabile casuale continua:

– Z

2 2

2

V ar(X) = (X) = E (X E(X)) = (x E(X)) f (x)dx

R

e anche: Z Z 2

2

2 2 2

(X) = E(X ) [E(X)] = x f (x)dx xf (x)dx

R R

Deviazione standard p

p 2

Varianza

= =

Funzione di ripartizione (x) = P (X x)

Distribuzione normale 1 )2

(x

p funzione di densità

f (x) = e 2

2

2

con: 2

E(X) = V ar(X) =

quindi: 2

X ' ;

Si ha anche: P ( <X< + ) = 0:68

P ( 1:96 <X< + 1:96 ) = 0:95

P ( 2:58 <X< + 2:58 ) = 0:99

Distribuzione normale standardizzata

1 1 2

z

p funzione di densità

e

f (z) = 2

2

con: E(Z) = 0 V ar(Z) = 1

quindi: Z ' (0; 1)

Si ha anche: P ( 1 < Z < 1) = 0:68

P ( 1:96 < Z < 1:96) = 0:95

P ( 2:58 < Z < 2:58) = 0:99

2

2

Data una distribuzione normale de…nendo:

X ' ( ; )

X

Z =

si ottiene una distribuzione normale standardizzata Per quest’ultima le tavole

Z ' (0; 1).

riportano i valori della funzione di ripartizione: Z z 1 1 2

x

p

(z) = P (Z z) = e dx

2

2

1

per z 0:

e i valori di per possono essere ricavati grazie alla formula:

(z) z < 0 (z) = 1 ( z)

Si ha anche: P (a Z b) = (b) (a)

Processi stocastici

Sono sequenze di variabili casuali, possono essere in tempo continuo o in tempo discreto,

con variabili continue o con variabili discrete.

Processo di Markov: solo il valore corrente della variabile è rilevante per prevedere

il suo andamento futuro. Quando una variabile segue un processo di Markov la

z

variazione nel suo valore durante un piccolo intervallo di lunghezza risulta:

t

z ' (0; t)

mentre la variazione nel suo valore in un intervallo di lunghezza risulta:

T

z ' (0; T )

3

Processo di Wiener: è un processo di Markov che descrive l’evoluzione di una variabile

che segue una distribuzione normale con variazione media e tasso di varianza E’

0 1.

detto anche moto Browniano. Una variabile segue un processo di Wiener se:

z

p con

z = " t " ' (0; 1)

e: i valori di relativi a due intervalli

z

diversi sono indipendenti

t

In questo caso: E ( z) = 0

V ar ( z) = t

quindi in un piccolo intervallo di lunghezza risulta:

t

z ' (0; t)

e in un intervallo di lunghezza risulta:

T z ' (0; T )

Quando ! si ottiene il processo di Wiener:

t 0 dx = dz

con: tasso di deriva (variazione media per unità di tempo)

= 0

tasso di varianza (varianza per unità di tempo)

= 1

quindi il valore atteso di ad un tempo futuro è uguale al suo valore corrente e la

z

varianza della variazione di in un intervallo di lunghezza è uguale a . Se il valore

z T T

della variabile al tempo è , al tempo si ha:

X 0 x T

0 X ' (x ; T )

0

Processo di Wiener generalizzato: dx = a dt + b dz

con: tasso di deriva = a

2

tasso di varianza = b

quindi in un piccolo intervallo di lunghezza risulta:

t 2

x ' a t; b t

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e in un intervallo di lunghezza risulta:

T 2

x ' aT; b T

Se il valore della variabile al tempo è , al tempo si ha:

X 0 x T

0 2

X ' x + aT; b T

0

Processo di Ito: è un processo di Wiener generalizzato nel quale i parametri e sono

a b

funzioni del valore della variabile sottostante e del tempo

x t:

dx = a (x; t) dt + b (x; t) dz

e in un piccolo intervallo di tempo t:

x = a (x; t) t + b (x; t) z =

p

= a (x; t) t + b (x; t) " t

Un processo di Ito è un processo di Markov perché la variazione di al tempo dipende

x t

solo dal valore di al tempo (e non da epoche precedenti).

x t

Processo per i prezzi di un titolo azionario. In tempo continuo:

dS = S dt + S dz

detto moto Browniano geometrico, da cui:

dS = dt + dz

S

dove: tasso di rendimento atteso dell’azione

= tasso di varianza del prezzo dell’azione (volatilità)

= processo di Wiener

dz =

In tempo discreto: p t

S = S t + S "

da cui: p

S = t + " t

S

e risulta: S 2

' t; t

S 5