Formulario metodi quantitativi

SQM VAR

Coefficiente di Variazione: Misura la dispersione relativa dei dati dalla media ed è indispensabile per confrontare unità di misura differenti con ordini di grandezza differenti (es: Euro vs Sterline). È un numero puro.

σ St. Dev. = CV μ

Media Geometrica: Utile per calcolo tassi medi composti crescita.

Media geometrica per frequenze:

Funzione di Densità Normale Standard

Standardizzazione

Esempio

1. Inserire il numero che funge da limite al posto della X e risolvere.
2. Z1 e Z2 rappresentano l'area sotto la curva normale standardizzata entro quei limiti.
3. Consultare le tavole per trovare la probabilità che X cada fra i due limiti.

limiti (P(Z1) e P(Z2))

Nota: Modificando la media (μ) la curva si sposta verso destra/sinistra. Modificando la Deviazione Standard la curva si allarga o si restringe (include più o meno numeri sotto la curva).

7 μ() il

Nota 2: Tutti i valori a sinistra della media sono negativi (es. sopra: poiché 2.9 < risultato della standardizzazione dovrà essere espresso al negativo.

Diversi tipi di concezione

• Concezione classica: P(E) = Num. casi "favorevoli" / Num. casi "possibili". Imperfetta perché tautologica perché i numeri di casi possibili devono essere equo-probabili e la equoprobabilità è una probabilità di per sé poiché non esiste
• Concezione frequentista: f(E) = Numero Freq. osservate / Numero totale tentativi f(E) (tende a "stabilizzarsi" attorno alla prob a se si continua a ripetere l'esperimento è all'infinito) P(E) per n + oo
• P(E) = grado di

“fiducia” attribuito ad E sulla base di un certo “stato di informazione” :Non esiste alcuna “probabilità oggettiva”; diversi soggetti, o lo stesso soggetto in momentidiversi, con diverse informazioni, danno, coerentemente, valutazioni soggettive diverse!!

P(E) = A / S (S: valore vincita se E si verifica A: prezzo “equo” pagabile)

 Concezione assiomatica:

Formulazione puramente matematica basata su alcuni “Assiomi”elementari:

1. P(Ω) = 1 (certezza)
2. P(A) ≥ 0 (non negativa)
3. P(A U B) = P(A) + P(B) (A e B eventi disgiunti/incompatibili)

Da questi tre assiomi derivano tutti gli altri teoremi della concezione assiomatica

Algebra: Contiene tutti gli eventi che a me interessano(che io osservo). Tre proprietà fondamentali per definire l’Algebra (A) (a = evento)

1.   a A a A
2.   ( a , a ) A a a A
3. (se a e a in algebra anche unione in algebra)1 2 1 2  A

8Fondamentali

Definizione di Probabilità: P(A) assegno ad un evento della mia algebra un numero tra 1 e 0

P(0) = 0

P(A') = 1 - P(A) (complementare)

Intersezione: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

Unione: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (si sottrae una volta l'intersezione poiché essendo area in comune con l'addizione viene calcolata 2 volte)

Probabilità Condizionate: (prob. Evento A dato evento B)

Probab.(A condiz. a B): P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (B è il nuovo universo in cui è compresa A)

Probabilità Congiunte: (Probabilità "MARGINALE" * Probabilità CONDIZIONATA)

P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B)

Eventi Indipendenti: Evento A indipendente da evento B se e solo se:

P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) (i due eventi non influiscono l'uno sull'altro)

Probabilità Congiunte Eventi Indipendenti: (Prodotto Probabilità Marginali)

P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(A) * P(B)

Correlazione: (Prob. che A accada dato che B è già accaduto è superiore (corr. positiva) o inferiore (corr. negativa) alla Prob. che A accada da solo. Eventi A e B "CORRELATI" (non indipendenti) se:

• P(A/B) > P(A) oppure P(B/A) > P(B) (correlazione POSITIVA)
• P(A/B) < P(A) oppure P(B/A) < P(B) (correlazione NEGATIVA)

Bayes: Trovare probabilità condizionata di B dato A con le probabilità marginali dei due eventi e la probabilità condizionata di A dato B. Il teorema di Bayes può servire per ricavare una probabilità a posteriori (P( A / B )) di un evento dato una probabilità a priori assegnata da me (P(A)) e il mio esperimento (P(B))

P( A / B ) = P(A) / P(B) * P(B/A)

Dimostrazione Bayes:

P( A / B ) = P(A B ) / P(B) => P(A B) = P(B) * P( A / B ) => P(A B) = P(B A)

P(B A) = P(A) * P( B / A ) => P(B) * P( A / B) = P(A) * P( B / A) =>

P( A / B ) = [P(A)/ P(B)] * P( B /

• A) Bayes 2 (in cui con si sommano le varie prob. condizionate trovate p. 181)( P ( B / A ) * P ( A )) = J JP ( A / B )J Σ ( P ( B / A ) * P ( A )J J
• Numero Aleatorio: Ω  R
• Il numero aleatorio è una funzione tra omega(il mio universo) ed i numeri reali.
• I numeri aleatori si legano con il concetto di probabilità attraverso la funzione di densità.
• Funzione di Densità:
• La Funzione che rappresenta la curva disegnata sul piano cartesiano. Espressa con f(x) =
• Rappresenta le varie frequenze che, se infinite e non numerabili(cioè continue), diventano una funzione
• Funzione di Ripartizione
• Rappresenta l'area sottesa alla curva di densità. L'area sottesa alla curve è sempre uguale ad uno
• F : funzione di ripartizione
• F (x): P(X≤x)
• Variabili Discrete
• Le realizzazioni della variabile aleatoria si possono numerare/contare a differenza delle variabili continue che non sono numerabili. Il grafico delle variabili discrete va fatto con

Le frequenze relative (p.164)

Funzione di Ripartizione: è una funzione fatta a scalini e ha 3 proprietà:

1. F(-oo) = 0; F (+oo) = 1
2. La funzione non decresce: se a < b, F(a) < = F(b)
3. Funzione continua a destra: lim h → 0 (x = punto fissato sulla curva e h l'incremento che tende a zero)

Media (valor atteso): E(x) = ∑ (x * p(x)) (p(x) sono le frequenze relative)

Varianza: VAR(X) = ∑ ((x - μ) * p(x))^2

Oppure: VAR(X) = ∑ ((x^2) * p(x)) - (μ * p(x))^2

Probabilità Cumulativa: La somma della probabilità relativa di un evento più la somma di tutte le probabilità relative degli eventi precedenti.

Prob. Cum.(x2) = P(x1) + P(x2)

Distribuzioni Continue: Variabile Aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo di numeri reali (finito o infinito). Nel continuo i singoli valori hanno (normalmente) probabilità nulla. P(X = x*) = 0

b∫ f(x)

Solo gli intervalli hanno P>0.

P(a < X ≤ b)

Funzione di Ripartizione (Distribuzione Continua)

F ( x ) = ∫ f ( X ) dx

Proprietà

1. Funzione Continua
2. F(-∞) = 0; F(+∞) = 1
3. La Funzione non decresce: se a < b ⇒ F (a) ≤ F(b)
4. P (a < X ≤ b) = F(b) – F(a)

Media/Valor Atteso

Per le distribuzioni continue la media/valor atteso è un integrale:

∫ μ = ∫ x * f ( x ) dx

Varianza

∫ δ = ∫ (x – μ)² * f ( x ) dx

Oppure

∫ ∫ (x – μ)² * f(x) dx - (∫ x f(x) dx)

Value at Risk(VaR)

La stima del valore sotto il quale non dovrebbe scendere il valore aleatorio del mio portafoglio d’investimento con un certo livello di probabilità. (usato per azioni, obbligazioni)

VaR: valore del portafoglio aleatorio pari ad x* (il valore non può scendere sotto questo limite) tale che P(X ≤ x*) = α. La probabilità

che la condizione ≤ x* si avveri deve essere inferiore ouguale alla probabilità α imposta. Livello di confidenza = 1 - α Formula generalizzata x * V.a.R. = valore x* tale che: F(x*) = f(X) dx = 00 Media/Valor Atteso del VaR Il limite è dato dai valori in cui è compreso X00  ( x ) x f ( x ) dx 00 12 Calcolo del VaR usando la Distribuzione Normale V.a.R. = m + Z    Numero reale (da consultare sulle colonne delle tavole della normale standardizzata) tale che = Zcorrisponda alla percentuale desiderata. va sempre messa al negativo Processi Indiziari:0< Prob. (Colpevole/Indizio) < 1 Prob (Colp/Indizio) = 0 (non è un indizio a carico) Prob (Colp/Indizio) = prova certa Prob(colp) = 1 – Pr(Innocente) Prob(Inn/indizio j) = 1 – Pj  (1 - Pj)=Prob(Inn/indizio j1-j2-j3) = (1 – pj1) * (1 – pj2) * (1 – pj3) j  1 (1 - Pj) Prob(Colp/indizio j1-j2-j3) =1 - ((1– pj1) * (1 – pj2) * (1 – pj3) = j_{Processi indiziari con valore probatorio costante} Il contributo marginale degli indizi è decrescente (ogni nuovo indizio aggiunto aumenta la prob. di colpevolezza sempre meno) P1 = P2 = P3 = 3(1 - P) Prob(Colp/indizio j1-j2-j3) = 1 – Raggiunta della soglia di colpevolezza necessaria Dato che devo raggiungere la soglia per raggiungere la soglia di colpevolezza necessaria per 0Pincolpare il teste: ≥n o1 - (1 - P) PN rappresenta il numero di indizi del valore probatorio P necessari per raggiungere la soglia di colpevolezza 13 0ln (1 P )≥n ln (1 P ) Avversione al rischio (Arrow-Pratt, de Finetti) l'avversione al rischio è la proprietà che caratterizza un agente economico che preferisce sempre un ammontare certo rispetto a una quantità aleatoria. Si parla di avversione al rischio se un agente preferisce sempre ottenere con certezza il valore atteso di una data quantità.