Formulario metodi quantitativi

Formulario derivate ed integrali

Funzione differenziabile/liscia

Una funzione che punto per punto può essere approssimata ad una funzione lineare.

Esempio: y = x²

Esempio di una funzione non differenziabile: y = abs(x). La funzione non è differenziabile nel punto angoloso.

Derivata

L'incremento tra un punto ed un altro di una funzione liscia si può esprimere con l'eguaglianza:

f(x + h) - f(x) = m * h + o(h)

in cui "x" è un punto fissato e "h" (variabile) corrisponde a quanto mi sposto verso destra da "x".

Una funzione è lineare affine (differenziabile) se vale:

f(x + h) - f(x) = m * h + o(h)

In cui o(h) è la parte trascurabile affinché l'eguaglianza sia effettiva e "m" è la derivata della funzione nel punto "x" fissato.

Esempio:
f(x) = (x²) + 2
f(x + h) – f(x) = (x + h)² + 2 – ((x²) + 2) == (x²) + 2xh + (h²) + 2 – (x²) – 2 = 2xh + (h²)

2x rappresenta la derivata della funzione nel punto "x" fissato con "h" variabile e (h²) è la parte trascurabile [o(h)] perché se la divido per h tende a zero.

Matematica finanziaria

• Discounted Cash Flow: Tutti i Flussi di Cassa scontati (Capit. Composta) ad un momento è comune nel tempo (abitualmente t = 0 Valore Attuale - presente) al tasso (i) di sconto. DCF (tasso r) = F0 + F1(1+r)^(-t1) + F2(1+r)^(-t2) + … + Fn(1+r)^(-tn). Il grafico è compreso tra 2 assiomi (quello verticale è sempre -1 quello orizzontale è relativo al capitale al tempo 0).
• Valore attuale Nominale / Net Present Value:
  ⁿ∑(t_j)Cf/(1+r) = VAN/NPV_j=0
  Il VAN/NPV è utile per valutare un investimento poiché un investimento conviene SOLO se il VAN/NPV ≥ 0 (conviene perché c'è aumento/mantenimento valore di mercato).
• Tasso interno di rendimento / Internal rate of return: Corrisponde al tasso(i) che azzera il VAN/NPV:
  F0 + F1(1+r)^(-t1) + F2(1+r)^(-t2) + … + Fn(1+r)^(-tn) = 0
  Il TIR/IRR è utile per valutare gli investimenti poiché un investimento PURO (capitale al tempo 0 negativo poi tutti i flussi di cassa positivi) conviene SOLO se TIR/IRR ≥ tasso desiderato (conviene perché IRR/TIR darà un rendimento ≥ desiderato).
• Opportunity Cost of Capital (OCC): L'OCC di un progetto è dato dal rendimento che l'investitore avrebbe potuto ottenere investendo lo stesso ammontare di capitale in un progetto alternativo, caratterizzato dallo stesso grado di rischio. L'investimento conviene SOLO se al mio OCC (che è un tasso) il VAN/NPV ≥ 0.
• Scegliere tra due investimenti: Il criterio per vedere quale investimento risulterebbe più conveniente è quello di paragonare il VAN/NPV dei due investimenti a quello specifico tasso (i) dato. L'investimento con il VAN/NPV maggiore è l'investimento più conveniente.
• Tasso Annuo Nominale (TAN): È il tasso di interesse puro applicato ad un finanziamento. È il tasso da utilizzare come termine di paragone con il tasso di rendimento delle attività finanziarie, con il tasso di sconto, ecc. Non corrisponde tuttavia al tasso d'interesse realmente applicato al finanziamento. Nel computo del TAN non entrano oneri accessori.
• Tasso Effettivo Globale (TEG): Comprende gli oneri accessori quali spese di istruttoria, spese di apertura pratica e spese di incasso delle rate. È escluso unicamente il costo per le assicurazioni contro rischio vita e impiego. TEG = TIR.
• Tasso Annuo Effettivo Globale (TAEG): È l'indicatore di tasso di interesse di un'operazione di finanziamento. A differenza del TAN, rientrano a far parte del calcolo di questo tasso tutte le spese accessorie obbligatorie inerenti all'atto del finanziamento, ovvero: spese di istruttoria della pratica, commissioni d'incasso, assicurazioni obbligatorie. È l'unico indice che ci permette di valutare la convenienza di un prestito rispetto ad un altro. TAEG = TIR. L'equazione per il TAEG/TEG si scrivono come DCF a interesse composto.

Condizione iniziale di chiusura finanziaria (rate costanti)

FV = [R/(1+i)] + [R/(1+i)²)]…

Condizione finale di chiusura finanziaria (rate costanti)

R * (1+i) + R = FV

Calcolo se un investimento è dato ad un tasso maggiore o minore di una certa soglia

Fare DCF e risolvere per il tasso dato. Se finanziamento puro e la soluzione è maggiore di zero (x > soglia) il tasso è minore della soglia mentre se prestito e la soluzione è minore di zero il tasso è minore della soglia. In tutti e due i casi fare il grafico.

Titoli con cedola

• Prezzo Tel Quel: Corso Secco + Rateo (il prezzo tel quel si equivale a quello secco nel momento in cui matura la cedola).
• Corso Secco: Prezzo di un titolo al netto del rateo maturato.