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Formulario

Derivate ed Integrali

Funzione differenziabile/liscia

Una funzione che punto per punto può essere approssimata ad una funzione lineare.

Esempio: y = x^2

Esempio di una funzione non differenziabile: y = abs(x). La funzione non è differenziabile nel

punto angoloso

Derivata

L’incremento tra un punto ed un altro di una funzione liscia si può esprimere con l’eguaglianza

  

g ( h ) f ( x h ) f ( x )

o o

in cui “x” è un punto fissato e “h”(variabile) corrisponde a quanto mi sposto verso destra da “x”

Una funzione è lineare affine (differenziabile) se vale

   

f ( x h ) f ( x ) m * h o ( h )

o o

in cui o(h) è la parte trascurabile affinché l’eguaglianza sia effettiva e “m” è la derivata della

funzione nel punto “x” fissato

Esempio:

f(x) = (x^2) + 2

f(x + h) – f(x) = (x +h)^2 +2 – ((x^2) + 2 =

= (x^2) + 2xh + (h^2) + 2 – (x^2) ) – 2 = 2xh + (h^2)

2x rappresenta la derivata della funzione nel punto “x” fissato con a variabile “h” e (h^2) è la parte

trascurabile [o(h)] perché se la divido per h tende a zero.

1

Matematica Finanziaria

 Discounted Cash Flow: Tutti i Flussi di Cassa scontati (Capit. Composta) ad un momento

è

comune nel tempo( abitualmente t = 0 Valore Attuale - presente) al tasso(i) di sconto.

DCF (tasso r) = F0 + F1(1+r)^(-t1) + F2(1+r)^(-t2) + …+ Fn(1+r)^(-tn). Il

Grafico è compreso tra 2 assiomi(quello verticale è sempre -1 quello orizzontale è relativo al

capitale al tempo 0)

 Valore attuale Nominale/ Net Present Value:

n

 

 ( tj )

Cf (

1 r )

=

VAN/NPV j

j 0

Il VAN/NPV è utile per valutare un investimento poiché un investimento conviene SOLO se

il VAN/NPV ≥ 0 (conviene perché c’è aumento/mantenimento valore di mercato)

 Tasso interno di rendimento/Internal rate of return:

Corrisponde al tasso(i) che azzera il VAN/NPV

F0 + F1(1+r)^(-t1) + F2(1+r)^(-t2) + …+ Fn(1+r)^(-tn) = 0

Il TIR/IRR è utile per valutare gli investimenti poiché un investimento PURO(capitale al

tempo 0 negativo poi tutti i flussi di cassa positivi) conviene SOLO se

TIR/IRR ≥ tasso desiderato (conviene perché IRR/TIR darà un rendimento ≥ desiderato)

 Opportunity Cost of Capital(OCC): L’OCC di un progetto è dato dal rendimento che

l'investitore avrebbe potuto ottenere investendo lo stesso ammontare di capitale in un

progetto alternativo, caratterizzato dallo stesso grado di rischio.

L’investimento conviene SOLO se al mio OCC(che è un tasso) il VAN/NPV ≥ 0

 Scegliere tra due investimenti:

Il criterio per vedere quale investimento risulterebbe più conveniente è quello di paragonare

il VAN/NPV dei due investimenti a quello specifico tasso (i) dato. L’investimento con il

VAN/NPV maggiore è l’investimento più conveniente.

 Tasso Annuo Nominale(TAN): è il tasso di interesse puro applicato ad un finanziamento. È

il tasso da utilizzare come termine di paragone con il tasso di rendimento delle attività

finanziarie, con il tasso di sconto, ecc. Non corrisponde tuttavia al tasso d'interesse

realmente applicato al finanziamento. Nel computo del TAN non entrano oneri accessori

 

i k TIR

quali provvigioni, spese e imposte. TAN = k

 Tasso Effettivo Globale(TEG): Comprende gli oneri accessori quali spese di istruttoria,

spese di apertura pratica e spese di incasso delle rate. E' escluso unicamente il costo per le

assicurazioni contro rischio vita e impiego. TEG = TIR

 Tasso Annuo Effettivo Globale (TAEG): è l'indicatore di tasso di interesse di un'operazione

di finanziamento. A differenza del TAN, rientrano a far parte del calcolo di questo tasso

tutte le spese accessorie obbligatorie inerenti all'atto del finanziamento, ovvero:spese di

istruttoria della pratica, commissioni d'incasso, assicurazioni obbligatorie. E' l'unico indice

2

che ci permette di valutare la convenienza di un prestito rispetto ad un altro. TAEG = TIR

L’equazione per il TAEG/TEG si scrivono come DCF a interesse composto

Condizione iniziale di chiusura finanziaria(rate costanti)

FV = [R/(1+i)] + [R/ (1+i)^2)]….

Condizione Finale di chiusura finanziaria(rate costanti)(p 156)

R * (1+i) + R = FV

Calcolo se un investimento è dato ad un tasso maggiore o minore di una certa soglia

Fare DCF e risolvere per il tasso dato. Se finanziamento puro e la soluzione è maggiore di zero (x >

soglia) il tasso è minore della soglia mentre se prestito e la soluzione è minore di zero il tasso è

minore della soglia. In tutti e due i casi fare il grafico.

Titoli con cedola

Prezzo Tel Quel

Corso Secco + Rateo (il prezzo tel quel si equivale a quello secco nel momento in cui matura la

cedola)

Corso Secco

Prezzo di un titolo al netto del rateo maturato

Rateo

Valore Nominale * tasso * tempo

Ricavo

prezzo(x) * x

Profitto

Prezzo(x) * x – costi(x)

Costo/Ricavo Marginale

Derivata della funzione di costo/ricavo

Formula Quadratica 3

Piani di Ammortamento

 Rimborso unico a scadenza ( nessun pagamento intermedio) : (es: Zero Coupon Bonds)

Valore Finale = Importo prestito * (1 + i )^t oppure

Valore Attuale (a sconto) = Valore Finale (rimborso) * (1 + i )^(–t)

 Capitale a Scadenza Interessi Periodici : (es: Titoli standard con cedola, CCT)

L’interesse rimane costante poiché si viene calcolato sempre sullo stesso debito residuo

 Quota Capitale COSTANTE + INTERESSI Periodici (all’italiana) :

Ogni periodo rimborso quota parte costante del capitale e interessi periodici su debito

residuo. La quota capitale costante di debito(Cj) da pagare si calcola dividendo la Somma

Iniziale (S) per il numero di anni Cj = S / n. L’interesse si calcola sul debito residuo at

tempo presente (t)

 Rate Costanti (alla francese) :

La rata costante (Rj) si calcola dividendo la Somma Iniziale (S) per l’annuity

Rj= S / annuity.

La formula dell’annuity è la seguente : 1 – (1+i)^(-t) (t è il numero di anni in cui sono pagate le rate )

i i

L’annuity si può utilizzare anche all’inverso cioè, date le rate (Rj) si deve ricavare il

capitale(S): S = Rj *annuity

 Calcolare M dopo x anni di versamenti costanti :

L’annuity può anche essere utilizzata al contrario per calcolare un valore futuro a rate

costanti S = (1+i)^(n) – 1

i i 4

Statistica

Concetti Basilari

Media/valor atteso

Molto influenzata da valori estremi

Semplice: n

 x

i

 i 1

 n

Ponderata: n

  

( x p )

i i

i 1

Mediana: Valore centrale di una serie ordinata

 ð

serie dispari elemento n° (N+1)/2

 ð

serie pari media tra n° N/2 e successivo

Moda: Valore o classe più frequente(che ricorre più volte)

Varianza:

Media dei quadrati degli scarti dalla media.

N N

1  

  

    

2 2 2

Var ( X ) ( X ) p

i i i

N  

i 1 i 1

Oppure

Var = Media dei Quadrati – Quadrato della Media

5

  

2

x x

  



  

2 2

Var N N

Deviazione Standard:

Misura la dispersione dei dati dalla media.(stessa unità di misura della media)

 

SQM VAR

Coefficiente di Variazione:

Misura la dispersione relativa dei dati dalla media ed è indispensabile per confrontare unità di

misura differenti con ordini di grandezza differenti (es: Euro vs Sterline). È un numero puro

 St .

Dev

.

 

CV 

| | | media |

Media Geometrica:

Utile per calcolo tassi medi composti crescita.

  1/N

M (X )

g i i

Media geometrica per frequenze:

  pi

M ((X * i) )

g i 6


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Moses

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DESCRIZIONE APPUNTO

Formulario utile per il ripasso dell’esame di Metodi quantitativi, in cui sono contenute varie nozioni, tra le quali: derivate ed integrali, la funzione differenziale, la matematica finanziaria, il tasso interno di rendimento, il valore nominale, le operazioni per la scelta tra due diversi investimenti, l’equazione per il calcolo del TAEG.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi quantitativi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Ca' Foscari Venezia - Unive o del prof Basso Antonella.

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