Formulario Elettrotecnica e macchine elettriche

IMPORTANTE

Le tensioni scritte nella risoluzione secondo il metodo degli anelli sono tutte le tensioni che non

riguardano le resistenze, così come le correnti espresse per il metodo dei nodi.

Caratterizzazioni

1. Thevenin

- trovare il valore della tensione a vuoto, con la risoluzione secondo i metodi visti sopra

- Si rende inerte il circuito e si chiude la porta dove prima è stata calcolata la tensione a vuoto con un

=

generatore di corrente noto e calcolare la resistenza di Thevenin ( è una grandezza

nota)

Esempio

Cerchiamo il valore della tensione a vuoto

0 − +

1

[ ][ ] = [ ]

Applichiamo il metodo delle maglie 5 incognite in 2 equazioni

0 − −

2

Relazioni costitutive

= = 0 = = 0 =

1) 2) quindi visto che 3)

=

1 0

[ ][ ] = [ ] {

− − = − = −

0 1 0

Ora abbiamo trovato il valore della tensione del generatore di Thevenin quindi procediamo

spegnendo tutti i generatori indipendenti e aggiungiamo il generatore di corrente di Thevenin,

=

cercando di arrivare a calcolare la

Dove è una grandezza nota

Il verso della corrente non è

arbitrario ma viene sempre presa

uscente dal polo positivo

2. Norton

- bisogna trovare la corrente di Norton, quindi si cortocircuita la porta in cui la si vuole trovare e con

uno dei due metodi visti sopra si calcola.

- Si rende inerte il circuito e si chiude la porta in cui è stata trovata la corrente di Norton con un

=

generatore indipendente di tensione noto e si calcola l’induttanza di Norton ( è una

grandezza nota)

Se nella prima fase il circuito è già inerte allora non va calcolata la corrente di Norton in quanto

questa risulterà essere nulla. Rendere inerti i generatori

- Tensione creiamo un corto inserendo un filo al posto del

generatore

- Corrente basta creare un apertura nel circuito

Rappresentazioni con Norton o Thevenin

- Thevenin - Norton

Per Thevenin il generatore di Per Norton il generatore di corrente

tensione ha il segno positivo nella ha il verso della corrente opposto al

stessa direzione in cui è stato messo verso che era stato scelto per

per calcolare la tensione a vuoto calcolarla

Dalla schematizzazione di Norton si può passare alla schematizzazione di Thevenin e viceversa, è

preferibile passare da Norton a Thevenin quando come metodo risolutivo si utilizzano le maglie

mentre è comodo fare il viceversa quando come metodo risolutivo si utilizzano gli anelli.

R

R

R

R

La stessa cosa può essere fatta nei circuiti con memoria quando abbiamo altri componenti come il

condensatore e l’induttore, ma per poter eseguire queste conversioni bisogna assicurarsi che le

condizioni iniziali degli elementi con memoria siano nulle.

Norton e Thevenin per un circuito a 2 porte

- Per Thevenin si calcolano comunque le tensioni a vuote contemporaneamente sulle due

porte, poi si rende inerte il circuito e si aggiungo 2 generatori di corrente per calcolare la

resistenza

- Per Norton si cortocircuitano le due porte contemporaneamente e si calcola la corrente di

Norton, poi si rende inerte il circuito e si aggiungo 2 generatori di tensione per calcolare la

conduttanza di Norton.

Caratterizzazione con la matrice Z ed Y

1. matrice Z

= +

11 12

1 1 1 11 1 12 2

[ ] = [ ] [ ] {

= +

2 21 22 2 2 21 1 22 2

- Prima prova Si lascia una parte del circuito aperta e l’altra si

chiude con un generatore di corrente noto così da

1

calcolare ; per poi risalire a ;

1 2 11 21

- Seconda prova Si lascia una parte del circuito aperta e l’altra si

chiude con un generatore di corrente noto così da

2

calcolare ; per poi risalire a ;

1 2 21 22

=

Se la matrice Z è reciproca ovvero allora la schematizzazione della matrice può anche

12 21

essere vista come = −

1 11 12

= −

2 22 12

=

3 12

2. matrice Y

= +

11 12 1

1 1 11 1 12 2

[ ] = [ ] [ ] {

= +

21 22 2

2 2 21 1 22 2

- Prima prova Si cortocircuita una parte del circuito e l’altra si chiude con un

generatore di tensione noto così da calcolare ; per poi

1 1 2

risalire a ;

11 21

- Seconda prova Si cortocircuita una parte del circuito e l’altra si chiude con un

generatore di corrente noto così da calcolare ; per poi

2 1 2

risalire a ;

21 22

=

Se la matrice Y è reciproca ovvero allora la schematizzazione della matrice può anche

12 21

essere vista come 1

=

1 +

11 12

1

=

2 −

22 12

1

= −

3

12

IMPORTANTE

- Per le matrici y è preferibile utilizzare come metodo risolutivo quello dei nodi

- Per le matrici z è preferibile utilizzare come metodo risolutivo quello degli anelli

Trasformazioni notevoli Funzioni di rete

1. Come prima cosa si convertono tutti i generatori dipendenti, passando dal dominio del

tempo al dominio di Laplace

Quando si vuole studiare una funzione di rete si è interessati ad un solo ingresso in relazione con una

sola uscita quindi tutti i generatori indipendenti che non sono richiesti per il calcolo della funzione di

rete devono essere disattivati.

2. Tutti i componenti senza memoria non subiscono alcuna trasformazione

3. Tutti i componenti con memoria si trasformano, trascurando le condizioni iniziali in quanto

in una funzione di rete queste non sono necessarie, quindi;

1

4. Applicare i metodi risolutivi al nuovo circuito, tenendo conto di tutte le nuove impedenze

5. Verificare la stabilità della funzione di rete

Una volta ottenuta la funzione di rete bisogna verificarne la stabilità studiando i poli di quest’ultima.

< 0

1,2

È possibile dire che una funzione è asintoticamente stabile se tutti i poli della funzione di rete hanno

parte reale negativa > 0

1,2

= 0

1,2

Una funzione di rete con poli nulli è definibile come stabile condizionatamente se la parte reale è

nulla e la funzione ha poli semplici, ovvero di primo grado

Esempio di esercizio Dato questo circuito vogliamo conoscere la

funzione di rete data dal rapporto di

=1 = 1 = 2 =

- Vogliamo usare il metodo degli anelli in quanto vengono meno equazioni e per semplificarci

la vita eseguiamo prima una conversione passando da Norton a Thevenin

- Quando si vuole calcolare la funzione di rete tutti gli ingressi (generatori dipendenti) devono

essere scollegati ad eccezione dell’eccitazione di cui si tiene in considerazione per il calcolo

della funzione di rete; non essendoci altri generatori in questo circuito non adoperiamo

nessuna trasformazione altrimenti avremmo dovuto spegnerli tutti ad eccezione di

- Per il calcolo della funzione di rete le condizioni inziali dei componenti con memoria non

vengono tenute in considerazione, sempre per quanto scritto sopra, quindi possiamo

sostituire i componenti con memoria con i correspettivi valori in funzione di Laplace

Una volta trovate tutte le equazioni e risolto il sistema arriveremo ad avere

=

(2 + 1)

Verifichiamo i poli

- Prendiamo la funzione di rete e vediamo per quali valori si annulla

1

= − notiamo che si annulla per un valore del polo <0 quindi possiamo dire che la funzione è

2

asintoticamente stabile

Fatto questo se conosciamo l’andamento nel tempo dell’eccitazione possiamo risalire anche

all’andamento nel tempo dell’uscita.

() = 2 ()

Poniamo che −1

- In questo caso specifico non ci sono altre eccitazioni quindi possiamo semplicemente

utilizzare la funzione di rete per risalire all’andamento nel tempo dell’uscita

- Trasformiamo l’eccitazione da una funzione tempo in una funzione di Laplace

2

()]

[ =

2 1

() = = =

1

(2 + 1) (2 + 1) + ⁄

2

- Ora antitrasformiamo l’uscita da un dominio di Laplace ad un dominio nel tempo

1

− ⁄

−1

() [ ()]

= = 2

Regime transitorio

1. Come prima cosa tutti i generatori devono essere convertiti nel dominio dei fasori

È necessario controllare che tutti i generatori presenti nel circuito lavorino alla stessa frequenza,

altrimenti non è possibile effettuare un solo studio. Infatti se i generatori indipendenti dovessero

lavorare a frequenze diverse tra loro bisogna prima eseguire lo studio del circuito dove è presente

solo un generatore spegnendo l’altro e successivamente bisogna eseguire l’operazione inversa. In

fine il risultato sarà la somma delle potenze ottenute nei due studi

= cos( ) = cos( ) ≠

1 1 2 2 1 2

( ) ( )

1 2

= +

Allora la soluzione sarà

Trasformazione nel dominio dei fasori

La formula generale dei generatori è espressa come:

= ( + )

Nella trasformazione in fasore diventerà

= = +

Se il generatore dovesse essere espresso in funzione del seno, è necessario prima riscriverlo in

funzione del coseno e successivamente trasformarlo in fasore

=