V1-22 Meccanica ed V3-17 Meccanica Razionale Elaborati 1 e 3 di fisica sperimentale

Prova intercorso di fisica

V1_22 Meccanica

I valori dei parametri m, M, L che figurano nei testi, vanno fissati nel seguente modo:

• Per gli studenti con anno di immatricolazione fino al 2019
  • m è la somma, espressa in chilogrammi, della 1ª, 2ª e 6ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.
  • M è la somma, espressa in chilogrammi, delle prime cinque cifre, a partire da destra, del numero di matricola.
  • L è la somma, espressa in metri, della 3ª, 4ª e 6ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.

  Per esempio, se il numero di matricola è 070164032, i valori di m, M, L sono:

  • m = 2 + 3 + 1 = 6 kg
  • M = 2 + 3 + 0 + 4 + 6 = 15 kg
  • L = 0 + 4 + 1 = 5 m
• Per gli studenti con anno di immatricolazione dal 2020
  • m è la somma, espressa in chilogrammi, della 1ª, 2ª e 7ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.
  • M è la somma, espressa in chilogrammi, delle prime sei cifre, a partire da destra, del numero di matricola.
  • L è la somma, espressa in metri, della 3ª, 4ª e 7ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.

  Per esempio, se il numero di matricola è 0702036045, i valori di m, M, L sono:

  • m = 5 + 4 + 2 = 11 kg
  • M = 5 + 4 + 0 + 6 + 3 + 0 = 18 kg
  • L = 0 + 6 + 2 = 8 m

Come è stato sopra descritto, in relazione al suo numero di matricola scriva i valori di m, M, L che deve utilizzare nella prova:

m = 14 M = 15 L = 4

PER SUPERARE LA PROVA OCCORRE RISOLVERE CORRETTAMENTE ALMENO DUE DEI TRE ESERCIZI

Prova intercorso di fisica

V1_22 Meccanica

I valori dei parametri m, M, L che figurano nei testi, vanno fissati nel seguente modo:

• Per gli studenti con anno di immatricolazione fino al 2019
• m è la somma, espressa in chilogrammi, della 1ª, 2ª e 6ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.
• M è la somma, espressa in chilogrammi, delle prime cinque cifre, a partire da destra, del numero di matricola.
• L è la somma, espressa in metri, della 3ª, 4ª e 6ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.

Per esempio, se il numero di matricola è 070164032, i valori di m, M, L sono:

• m = 2 + 3 + 1 = 6 kg
• M = 2 + 3 + 0 + 4 + 6 = 15 kg
• L = 0 + 4 + 1 = 5 m
• Per gli studenti con anno di immatricolazione dal 2020
• m è la somma, espressa in chilogrammi, della 1ª, 2ª e 7ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.
• M è la somma, espressa in chilogrammi, delle prime sei cifre, a partire da destra, del numero di matricola.
• L è la somma, espressa in metri, della 3ª, 4ª e 7ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.

Per esempio, se il numero di matricola è 0702036045, i valori di m, M, L sono:

• m = 5 + 4 + 2 = 11 kg
• M = 5 + 4 + 0 + 6 + 3 + 0 = 18 kg
• L = 0 + 6 + 2 = 8 m

Come è stato sopra descritto, in relazione al suo numero di matricola scriva i valori di m, M, L che deve utilizzare nella prova:

• m = ..........
• M = ..........
• L = ..........

PER SUPERARE LA PROVA OCCORRE RISOLVERE CORRETTAMENTE ALMENO DUE DEI TRE ESERCIZI

1.

Si consideri una barra omogenea di massa M e lunghezza L, incernierata in un suo estremo O e disposta verticalmente.

Un proiettile di massa m, viaggiante orizzontalmente alla velocità v_o = 50 m/s, colpisce la barra nell'altro estremo come in figura.

L'urto è elastico monodirezionale (il proiettile dopo l'urto prosegue sulla stessa retta prima dell'urto).

Calcolare la velocità angolare della barra subito dopo l'urto.

Si assuma: g = 9,81 m/s².

Risultato

Velocità angolare della barra: ...............18,123 rad/s...............

2.

Un punto materiale di massa m transita nel punto P dello spazio con velocità v di componenti cartesiane: v_x, v_y = -20 m/s, v_z = 34 m/s.

Il punto P è individuato dal vettore posizione: r_op = (L, 3L, -2L), uscente da O.

Calcolare v_x, affinché la componente lungo l'asse z del momento angolare del punto materiale rispetto al polo O, valga: -800 J s.

Risultato

Componente v_x della velocità: ...............1,905 m/s................

3.

Una barra di lunghezza L ha una massa M distribuita con densità lineare λ (massa per unità di lunghezza) che segue la legge:

λ = H (1 + \(\frac{x^2}{L^2}\))

dove:

• H è una costante,
• x è l'ascissa, espressa in metri, del punto generico P della barra rispetto alla retta orientata x con origine O distante L/4 dall'estremo sinistro della barra stessa, come in figura.

Calcolare il valore della costante H e il momento d'inerzia della barra rispetto ad un asse perpendicolare alla barra e passante per O.

Risultato

Valore della costante H: ............3,273 kg/m.............

Momento d'inerzia della barra: ....50,428 kg⋅m²

Esercizio 1

Vo = 50 m/s

g = 9,81 m/s²

ω: ?

Calcolare il momento di inerzia dell'asta con asse passante per un estremo.

I = M.L²/3 = 5/3 L² = 80 Kg m²

Urto elastico, si conserva il momento angolare e l’energia.

• mV_oL = mv_lL + Iω
• 1/2 mv_o² = 1/2 mv_l² + 1/2 Iω²

{

• V_o = V_l + Iω/mL
• V_o² - v_l² + Iω²/m²

}

Semplificando:

• V_o - V_l = Iω/mL
• V_o + V_lωL

1{

• V_o - V_l = Iω/m_l
• (V_o - V_l) Iω/m

}

Per trovare ω isola V_o: 2V_o = Iω/mL + ωL = (I/m_L + L)ω

ω 2V_o = 2 . 50 m/s . 1/1

80 Kg m² + 4m²

100

80 + L

100

5,423

18,423 rad/l

Esercizio 2

m = 14 kg

M = 15 kg

L = 4 m

V_y = -20 m/s

V₂ = 34 m/s

V_x = ?

^{(1.3 L; 2L)}

Momento Angolare

P = r x p = r x m v

P =

|^{x   y   z}|

|^{x   y   z}|

|^{mvx   mvy   mvz}|

P =

m (y V_z - z V_y) x +

+ m (z V_x - x V_z) y +

+ m (x V_y - y V_x) z

m (x V_y - V_y x) = -800 J

Sostituendo x e y rispettivamente con L e 3 L ^(v_op) ottengo

m L V_y - m 3 L V_x = -800 J

14 kg * 5 m * (-20 m/s) - 14 kg * 12 m * V_x = -800 J

1120 kg * m + 168 kg * m * V_x + 800 J

V_x = (800 - 1120) J s ≈ -1.905 m/s

168 kg * m

Esercizio 3

m = 1,4 kg

M = 1,5 kg

L = 1 m

l = ?

I = ?

Calcolo H conoscendo la massa

M = ∫_1/2^3/2 λ L dx = ∫_1/2^3/2 H (1 + x²/l²) dx = H ∫_1/2^3/2L + H ∫_1/2^3/2(x²/l²) L dx =

= H [(-3/4)L + L/4] + H [3/2L/L₂] = H [(3/4)L - (L/4)] = H [L + H/3₂ (27/6)L²/3L + L³/6L]

M = H - L + H/3₂ M = H - L + H/3₂

15 = H·1 + H/4 + H/3 - L - L/4 = 15 = H·|·H· (7/12)

H = 15/4 + 7₁₆ = 3,273 kg/m

Calcolo momento d'inerzia

I = ∫ x² dm = ∫ x² λ dx = H ∫_1/2^3/2 (1 + x²/2) x² dx =

= ∫_1/2^3/2 (x³x⁴L⁴) dx = H [x/5₂L³/2_L⁴] + H/5 [x_3/2L⁵/L₄]

= H/3 [(3/4)L³ - (L/4)³] + H_5L [((L/2)⁵) - (L/4)⁵]

= H₃ ( ²⁸⁄₆₄ L³ ) + H₅₁₂ ( ²⁴⁴⁄₁₀₂₄ L⁵ ) ➔ H₃ ( ⁷⁄₁₆ L³ ) + H₅ ( ⁶¹⁄₂₅₆ L³ )

➔ I = H L³ ( ⁷⁄₄₈ + ⁶¹⁄₁₂₈₀ ) = 0,193 H L³

I = 0,193 3,273 Kg 0,64 m² 40,428 Kg · m²

Prova intercorso di fisica

V3_17 Meccanica Razionale

I valori dei parametri k, L, Δ che figurano nei testi, vanno fissati nel seguente modo:

• Per gli studenti con anno di immatricolazione fino al 2019
• k è la somma delle prime quattro cifre, a partire da destra, del numero di matricola.
• L è la somma, espressa in metri, della 3ª, 4ª e 6ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.
• Δ è la somma, espressa in centimetri, della 1ª, 2ª e 6ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.

Per esempio, se il numero di matricola è 070164032, i valori di k, L, Δ sono:

k = 2+3+0+4 = 9 L = 0+4+1 = 5 m Δ = 2+3+1 = 6 cm

• Per gli studenti con anno di immatricolazione dal 2020
• k è la somma delle prime cinque cifre, a partire da destra, del numero di matricola.
• L è la somma, espressa in metri, della 3ª, 4ª e 7ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.
• Δ è la somma, espressa in centimetri, della 1ª, 2ª e 7ª cifra, a partire da destra, del numero di matricola.

Per esempio, se il numero di matricola è 0702000647, i valori di k, L, Δ sono:

k = 7+4+6+0+0 = 17 L = 6+0+2 = 8 m Δ = 7+4+2 = 13 cm

Come è stato sopra descritto, in relazione al suo numero di matricola scriva i valori di k, L, Δ che deve utilizzare nella prova:

k = ....._U L = ....._L Δ = ....._Δ

PER SUPERARE LA PROVA OCCORRE RISOLVERE CORRETTAMENTE ALMENO DUE DEI TRE ESERCIZI

Elaborato 3V 17

Meccanica Razionale

K = 6 + 6 + 2 + 0 + 0 + 0 = 14

L = 2 + 0 + 2 = 4 m

D = 6 + 6 + 2 = 14 cm

Esercizio 1

K = 14

L = 5 m

D = 14 cm

q = K · λ25 = 14 · λ25 = 1 750 N

∑H = 0

2qL - qL + Ha + Hbc = 0

Ha + Hbc = -qL

∑V = 0

Vb + Vc - qL = 0

Vb + Vc = qL

ΣM_o = 0

q_LL + 2q_L ³⁄₂L - 2H_aL - q_L ³⁄₂ L + 7q_L + V_d ²L = 0

q_L - 3q_L ²L Ha ³⁄₂L + 7q_L + 2V_c = 0

q_L(₁³⁄₂ + 7) - 2H_a + 2V_c = 0

3q_L - 2H_a + 2V_c = 0 -> ³⁄₂ q_L - H_a + V_c = 0

H_a = ³⁄₂q_L V_c

<=M_p = 0

-q_L ³⁄₂L + 2q_L ²⁄₂ VdL = 0

0 1 ³⁄₂q_L V_d = 0

V_d = q_L (1 - ³⁄₂)

V_d = q²⁄₂ L

V_c = q_L - V_d = qL + q ²⁄₂q_L

H_a = ³⁄₂q_L + V_c

H_a = 3q_L + ³⁄₂q_L = 3 . 1750 . L = 21000 N

es. 3

Equilibrio orrizzontale ΔE

Reazione in Rb + F₀ -> Rb = -F

equilibrio

Rot in E Mat FL = 0 -> M_a = FL