M
R |r
= f (r )[P (r > n )] dr
indipendenti con la stessa probabilità e pdf 1 1 2 1 1
−∞ r r
n |r −
|r |r − > ) = 1 Q( )
P (r > n ) = P (n < r ) = 1 P ( 1 1
2 con
Ma 1
1 2 1 2 1 1 σ σ σ
q
q 2
+∞ 2r
N −1
M
R −
σ = P (c|s ) = )] dr f (r )
f (r )[1 Q(
0 1
quindi la ma è la
1 1 1
1
−∞
2 N 0 √
q N
r E
0
densità della variabile , ed è una gaussiana a varianza e media
1 s
2
pertanto: √ )2
− s
Es
(r 1
−
+∞ 2
Z 2r
e N 0 −1
M
1
√ −
[1 Q( )] dr
P (c|s ) = 1
1 N
πN 0
−∞ 0 r 2Es 2
(x− )
N
0
−
+∞
r −1
e M
R 2 −
x = [1 Q(x)] dx
1 √
ottengo che
con un cambio di variabili N −∞
0 2π
2
Da qui abbiamo che la probabilità di errore è la stessa per ogni generico simbolo
e quindi r 2Es 2
(x− )
N 0
+∞ −
Z e 2 −1
M
√ −
− [1 Q(x)] dx
P (e) = 1 2π
−∞
Per questo sistema ssato il rapporto segnale rumore per simbolo all'aumentare
del numero di segnali la probabilità di errore per bit diminuisce. Ricaviamo la
P (e)
relazione tra P(e) per simbolo e la per bit.
b
P (e)
M
La se sbaglio M bit su k bit, ci saranno k su n bit dierenti che codicano
−1
M P (e) k
M
g(n) =
il simbolo su cui ho commesso errore. il numero medio di bit
−1
M n
sbagliati per simbolo si calcola come
k k k
k P (e) k!
P (e)
M M
X X
X ng(n) = n = n
− − −
M 1 n M 1 n!(n k)!
n=1 n=1 n=1
k k−1
− −
P (e) (k 1)! P (e) (k 1)!
M M
X X
k = k
− − − − − −
M 1 (n 1)!(n k)! M 1 p!(k 1 p)!
n=1 p=0
14
con p=n-1. Per la formula di Newton ottengo che
k−1 k−1
− −
k 1 (k 1)!
X X
k−1 k−1
(1 + 1) = = = 2
− −
n p!(k 1 p)!
n=0 p=0
Il numero medio di bit errati per simbolo è:
P (e)
M k−1
k2
P = (17)
−
M 1
P
La si può approssimare al rapporto n bit errati n bit trasmessi: dato N numero
b P (e)
NP 1 k−1
' M
P (e) = k2 =
totale di simboli, k numero di bit per simbolo. b −1
kN k M
k−1 P (e)
2 ⇒ ' M
P (e) P (e)
ma se M 1 vado con la stessa probabilità su uno
M b
k −1 2
2
qualsiasi degli altri poichè la distanza è la stessa se sbaglio.
12 Probabilità di errore per segnalazioni M-PSK
La P(e) è calcolata con il criterio ML, le regioni di decisione sono i due assi
passanti per il punto medio tra le distanze del punto considerato rispetto al
π
π
∈ , )
P (c|s ) = P (θ (− . Valuto la densità
precedente e il successivo. La 0 r M M
r
del vettore e calcolo la probabilità che la fase appartenga all'intervallo. La
1
f (v, θ) = f (v cos(θ), v sin(θ))
densità congiunta di modulo e fase è ma
V,Θ XY
1
| |
v
√ 2 2
1
−1 − E ) +r
[(r ]
1 s
1
e
f (r) = n , n
2 dove due variabili aleatorie gaussiane a
N 0 1 2
πN
0 N 0
media nulla e varianza .
2 √ √
2 2 2
1 1
−1 −1 −2v
E ) +(v sin(θ)) ] E cos(θ)+E ]
[(v cos(θ)− [v
v
v s s s
e = e
f (v, θ) = .
N N
0 0
V,Θ πN πN
0 0 √
2
1
+∞ +∞ −1 −2v
[v E cos(θ)+E ]
v
R R s s
e
f (θ) = dv
f (v, θ)dv =
Poichè voglio la densità della fase ottengo N 0
Θ V Θ πN
0 0 0
√
+∞ λ
−[ −λ
v 1 +ρ cos(θ) 2ρ ]
R
λ = λe dλ
considerando il cambio di variabili ho che s s
2
q 2π 0
N 0
2
ρ
con è il rapporto segnale rumore per simbolo.
s √ √
2
2 1
λ 2
2 2ρ = ρ sin (θ)+ 2ρ cos(θ)) ]
+ρ cos (θ)+ρ sin (θ)−λ cos(θ) [(λ− con
s s s
s s
2 2 √
sin2
−(ρs +∞
(θ)) 2
−[(λ−
e 2ρ cos(θ)) ]
R
f (θ) = λe dλ
queste considerazioni si ha che: s
Θ 2π 0
π
ma la fase è uniforme in (0,2 ).
π
Z M
P (c|s ) = f (θ)dθ
0 Θ
π
− M
−
P (e|s ) = 1 P (c|s )
con 0 0
(−π, π) ρ = 0
-La fase è uniforme tra quando .
s 1
'
ρ 0 s ) =
-Quando in quel caso la P(c| .
s 0 M
→ ∞ →
ρ P (c|s )
-Se la densità della fase tende ad addensarsi nell'origine, quindi
s 0
→
1P (e|s ) 0
.
0 π
Considero il caso M=2 la dierenza di fase è segnali antipodali in quel caso
q 2E b
Q( ).
N
0
Caso M=4 coppia di segnali antipodali in due componenti in quadratura in
q 2E
2 2
−
− ))
= (1 Q(
P (c) = (1 P (e)) b Ma P(e)=1-P(c)=1-1-
questo caso b N
0
q q q q q
2E 2E 2E 2E 2E
1
2 − '
Q ( ) + 2Q( ) = 2Q( )[1 Q( )] 2Q( )
b b b b b questo
N N N 2 N N
0 0 0 0 0
15 ·
quando il rapporto segnale rumore è sucientemente grande la Q( ) è picco-
q 2E
b )
2Q(
P (e) N
' '
P (e) 0
la. Con la codica di gray si ottiene che la b k k
Nel caso più generale che abbiamo più segnali si cerca con un calcolo approssi-
mato di trovare un bound per trovare limiti superiori e inferiori per prendere
s s
il generico . In questo caso considerando la P(e| ) sarà l'unione di due eventi
i i s , s
quello di trovarci al di sopra della retta passante per il punto medio tra i i+1
s , s
e al di sotto della retta passante per il punto medio tra quando è tra-
i i−1
s
smesso .
i ∪ ≤
P (e|s ) = P (E E ) P (e|s ) P (E ) +
questo coincide anche con la
i i,i+1 i,i−1 i i,i+1
≤
P (E ) P (E ) P (e|s )
poichè non tocco l'intersezione ottengo che . Ot-
i,i−1 i,i+1 i
≤ ≤
P (E ) P (e|s ) 2P (E )
tengo che . Se aumenta il numero di segnali,
i,i+1 i i,i+1
l'intersezione diminuisce e ci avvicineremo al limite superiore. Vogliamo sapere
d )
P (E ) = Q( Il problema è ricavare la distanza d,
quanto vale tale limite: i,i+1 √ 2σ π
E
ma poichè la distanza dall'origine è e l'angolo è quindi la distanza con
s M
√ √ √
E π
d π π
≤ sin(
= E sin( ) P (e|s ) 2Q( ) = 2Q( 2ρ sin( ))
s
l'asse è quindi
s i s
N
2 M M M
0
2
13 Probabilità di errore per segnalazioni M-QAM
Questo modello di segnalazione è bidimensionale, tipicamente le forme d'onda
k
2
sono di tipo QAM rettangolare M= k pari. Ma il generico punto è visto come
√ √
M M
un -PAM, quindi ogni punto è visto come un 2 -PAM. Bisogna denire
due soglie sulle due componenti, che nel caso rettangolare non c'è dipendenza sul
confronto come nel caso non rettangolare. Decido correttamente se appartengo
alla regione. Ma questo è anche il prodotto delle probabilità essendo indipen-
2 2
√ √
−2P
P (c) = (1−P (e)) = 1+P P
√
denti quindi se è ragionevolmente
M
M M
M
2 √
√ ' −
P P 1 2P
P
√
piccolo si ha che pertanto si ottiene quindi che
c
M M
M √ s
√ −
( M 1) 6E k
b,av
−QAM −P
M M AM √
' ' Q(
P 2P 4 ) (18)
e e −
(M 1)(N )
M 0
Ma l'energia media per bit è legata con l'energia media per simbolo da ta-
E
E = av
le relazione pertanto si ha che la probabilità di errore diventa
b,av 2
√ q
−1)
M
( 3E
Q( )
4 av
√ .
−1)(N
(M )
M 0 −QAM
M ≤
P
Ma si ha che nel caso non rettangolare questo è il limite superiore e
q 3E
4Q( )
av .
−1)(N
(M )
0 P
Il legame che c'è tra per simbolo e per bit si ottiene che la con la codica di
e
Gray si ottiene come rapporto tra numero di bit errati su bit trasmessi:
P
N P (e) M
M =
P (e) =
b Nk k
14 Ecienza spettrale e probabilita di errore per
segnalazioni M-PAM s
Per la probabilità di errore trasmettiamo un segnale ricevuto r= +n. Con il
l
criterio ML denisco delle soglie di minima distanza, per identicare le zone di
16
corretta decisione di scelta di un determinato segnale. In totale dati M segna-
li denisco due soglie fondamentali: quelle dei segnali interni e quelle dei due
estremi. , S , S
S la soglia sarà la somma della
Nel primo caso presi tre segnali M M
M −1 +1
2 2 2 d
distanza media tra i due segnali: d, quindi la soglia sarà posta a . Nel secondo
2
∞
caso è la distanza di decisione è con il punto medio del precedente o del
successivo. d
d ,
s . . . ]
La P(e| ) con i=(2, ,M-1) è la probabilità di trovarsi fuori all'intervallo [
i 2 2
N
d d
P (|n| > ) = 2P (n > ) 0
quindi n è una gaussiana con varianza e media
2 2 2
q N
σ = 0 ottengo una gaussiana standard
nulla pertanto ho che dividendo per 2 q 2E
nσ d d p g
2P ( > ) = 2Q( ) d = 2 E 2Q( )
quindi con si ha che .
g
2σ 2σ N
0
La probabilità di un estremo invece è questa considerando quello sinistro ot-
q 2E
d g
P (e|s ) = P (n > ) = Q( )
tengo che dell'estremo destro si ottiene che
1 2 N 0
q 2E
d d g
−
P (
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