Trasmissione Numerica

Appunti dalle lezioni del corso di Trasmissione Numerica CdL in Ingegneria Informatica, Studenti A-I

Primo blocco

Nell’analisi dei segnali e nella progettazione dei sistemi coinvolti nelle trasmissioni punto-punto dell’informazione è spesso necessario fare riferimento a segnali che presentano caratteristiche di imprevedibilità. Il modello di segnale deterministico si rivela pertanto spesso inadeguato a rappresentare i segnali in gioco; in particolare esso è inadeguato a rappresentare sia i segnali ideali che trasportano l’informazione (da considerarsi ovviamente, almeno in parte, non noti e non prevedibili al ricevitore) sia i segnali generati nel loro funzionamento dai sistemi utilizzati per la trasmissione dell’informazione e il cui funzionamento reale non coincide (differendone in modo imprevedibile) con il modello ideale in accordo al quale essi sono stati realizzati. Risulta pertanto necessario arricchire il modello di segnale già incontrato nel corso di Teoria dei Segnali con la sua variante aleatoria che consente di descrivere almeno le regolarità statistiche del segnale quando esso non possa essere descritto nel dettaglio mediante il modello deterministico.

Lo studio del segnale analitico e dell’inviluppo complesso estende, inoltre, i concetti di vettore rotante e di fasore, introdotti per i segnali sinusoidali, ad un generico segnale passabanda. Tale estensione risulta utile perché:

• semplifica i calcoli nelle analisi dei sistemi di modulazione;
• conduce ad una rappresentazione del rumore molto utile nello studio delle prestazioni dei sistemi di comunicazione;
• consente di studiare segnali e sistemi passabanda in termini dei loro “equivalenti passabbasso”.

§ 1 Il segnale aleatorio

Per iniziare la trattazione si introduce un modello adatto a rappresentare un segnale temporale che presenta caratteristiche di imprevedibilità. Successivamente se ne studia la descrizione in termini di caratteristiche statistiche, considerandone le proprietà fondamentali.

§ 1.1 Definizione

Un segnale aleatorio x(t) a valori reali (detto spesso processo aleatorio) è una applicazione tra uno spazio campione S (la cui definizione e le cui proprietà sono assunte già note) e l’insieme C di tutti i segnali deterministici a valori reali. Gli elementi dell’insieme C sono detto realizzazioni del segnale aleatorio o anche funzioni membro. Quando si osserva un segnale aleatorio bisogna dunque pensare che si tratta solo di una delle sue possibili realizzazioni dipendente dall’elemento di S aleatoriamente selezionato. L’insieme C può essere costituito da segnali a valori reali, complessi, discreti, tempo-continuo, tempo-discreto, eccetera. Nel seguito ci limitiamo a considerare i segnali continui del tempo continuo.

Si osservi che il modello di segnale deterministico è presupposto necessario per poter definire il modello di segnale aleatorio.

§ 1.2 Caratterizzazione del primo ordine

La definizione del segnale aleatorio implica che, fissato un istante di tempo t₀, il valore x(t₀) del segnale in tale istante risulti essere una variabile aleatoria.

Dim. Infatti esso costituisce una corrispondenza tra S ed l'insieme dei numeri (il risultato vale analogamente per il caso di segnali complessi) perchè selezionato un generico elemento s_o di S resta selezionato il corrispondente segnale deterministico x_o(t) il cui valore x_o(t_o) in t_o è un numero. Pertanto il valore del segnale aleatorio nell’istante t_o è un numero dipendente dall’elemento s_o selezionato in S e dunque rappresenta una variabile aleatoria.

Talvolta si denota il segnale aleatorio con x(t,s) per mostrare come il valore di tale segnale dipenda sia dal tempo t che dall’elemento s dello spazio campione. Quando si usa tale notazione, fissati un istante t_o ed un generico elemento s_o dello spazio campione, si denota con

• x(t,s): il segnale aleatorio;
• x(t,s_o): una sua realizzazione cioè il segnale deterministico corrispondente all’elemento s_o di S;
• x(t_o,s): la variabile aleatoria determinata dal campionamento in t_o;
• x(t_o,s_o): il valore assunto in t_o da una sua particolare realizzazione.

Tale notazione non è però quasi mai utilizzata ed, in analogia con la notazione usata per le variabili aleatorie, si preferisce omettere la dipendenza da s. Tuttavia, ogni operazione sui segnali aleatori sarebbe più chiaramente definita se tale dipendenza non fosse omessa. Per esempio, il segnale somma di due segnali aleatori è definito come x(t,s) + y(t,s).

Siccome il campione del segnale aleatorio è valore reali nel generico istante t è una variabile aleatoria, esso viene descritto mediante la sua funzione densità di probabilità (pdf) o, equivalentemente, mediante la sua funzione distribuzione cumulativa (cdf). Siccome è possibile che, quando campionato in due istanti diversi, lo stesso segnale aleatorio produca diverse variabili aleatorie, si preferisce denotare esplicitamente tale dipendenza. La pdf del primo ordine del segnale aleatorio si scrive, pertanto, f_x(x;t) dove il pedice x denota il segnale complessivo, la variabile w rappresenta la variabile indipendente della pdf e la variabile t denota la dipendenza dal tempo. Talvolta si usa la notazione f_x(w;t)₁ per indicare esplicitamente che si tratta della pdf del primo ordine, anche se ciò è esplicitamente denotato dal fatto che essa dipende solo dalla variabile w; talvolta si ricorre all’abuso di notazione f_x(x;t) in cui la x denota sia il segnale aleatorio sia la variabile indipendente della pdf. Della variabile aleatoria considerata se ne possono calcolare tutte le caratterizzazioni sintetiche (come si assume che si sia già visto con riferimento alla singola variabile aleatoria): in particolare se ne può considerare la media, che, per il teorema fondamentale della media, si può scrivere nel modo seguente:

E[x(t)] = ∫_−∞^+∞ wf_x(w;t)dw ,

il valore quadratico medio

E[x²(t)] = ∫_−∞^+∞ w²f_x(w;t)dw ,

la varianza, il momento di ordine generico, ecc.

Si noti che ogni caratterizzazione sintetica dipende dal tempo e, dunque, in generale, anche la media E[x(t)] del segnale dipende dal tempo. Si potrebbe adottare per maggiore chiarezza la notazione E[x(t);](t) per esplicitare che anche la media (e non solo il segnale) in generale dipende dal tempo. Tuttavia, questa notazione non è quasi mai utilizzata.

Siccome l'indipendenza da t del primo membro della (4) non implica l'indipendenza da t della funzione integranda al secondo membro, l'implicazione inversa non è valida. Pertanto esistono segnali stazionari in senso lato che non sono stazionari in senso stretto del secondo ordine. Si noti che, in base alla (5), un segnale stazionario in senso lato ha anche una autocovarianza in tempo-ritardo che non dipende dal tempo. In maniera del tutto simile possono essere definite delle proprietà di stazionarietà sui momenti congiunti di ordine superiore che omettiamo per brevità.

Dati due segnali x(t) ed y(t) si definisce la loro mutua correlazione statistica (nella versione tempo-ritardo) come E[x(t)y^*(t − τ)]:

E[x(t)y^*(t − τ)] = E{{x_c(t) + jx_s(t)}{x_c(t − τ) − jy_s(t − τ)}} = E[x_c(t)y_c(t − τ)]

+E[x_s(t)y_s(t − τ)] + j {E[x_s(t)y_c(t − τ)] − E[x_c(t)jy_s(t − τ)]}

Inoltre, si definisce la loro mutua covarianza statistica

E[x(t)y^*(t − τ)] − E[x(t)] {E[y(t − τ)]}^*

I due segnali si dicono congiuntamente stazionari in senso lato se essi sono entrambi stazionari in senso lato e la loro mutua correlazione statistica in tempo-ritardo E[x(t)y^*(t − τ)] non dipende da t.

2 I segnali gaussiani

Il segnale x(t) si dice gaussiano se le variabili aleatorie x(t₁), x(t₂) ed x(t_n) risultano essere congiuntamente gaussiane per ogni terna di istanti t₁, ..., t_n. In tal caso la pdf di ordine n del segnale x(t) ammette una particolare espressione matematica (si dice che essa è una pdf gaussiana di ordine n). La particolare espressione matematica, non esplicitata in questa sede, risulta dipendente dal vettore μ, il cui generico elemento i-esimo contiene la media di x(t_i), e dalla matrice di covarianza, il cui generico elemento (i, j) è dato dalla covarianza tra x(t_i) ed x(t_j).

Una importante proprietà di un segnale gaussiano, che discende direttamente dalla sua stessa definizione, è che la pdf di ordine n generico si può calcolare sulla base della conoscenza della funzione di media statistica e di covarianza statistica. Pertanto, conoscendo queste due caratterizzazioni sintetiche del segnale è possibile conoscere la caratterizzazione completa (cioè di ordine comunque elevato). Da tale proprietà discende direttamente che, per i segnali gaussiani, la stazionarietà in senso lato è equivalente a quella in senso stretto in quanto la pdf del segnale dipende dal tempo per il solo tramite della matrice di covarianza (che è riferita agli istanti considerati) e del vettore μ. Inoltre, se x(t₁), ..., x(t_n) hanno matrice di covarianza diagonale, allora l'espressione matematica (qui non riportata) della loro pdf congiunta è tale che essa si fattorizza nel prodotto delle pdf marginali.

La proprietà più importante di un segnale gaussiano è data dal fatto che due variabili aleatorie ottenute mediante diverse elaborazioni lineari dello stesso segnale gaussiano sono congiuntamente gaussiane. Inoltre, se un segnale gaussiano viene posto in ingresso ad un sistema LTI la sua uscita è ancora un segnale gaussiano. Il teorema centrale del limite ci assicura inoltre che esso risulta adeguato a modellare i casi in cui il segnale considerato risulta la somma di molti contributi indipendenti tra loro e di simile potenza. Il modello gaussiano fornisce un modello talvolta realistico e di agevole manipolazione analitica. Nelle applicazioni è anche utile considerare segnali aleatori congiuntamente gaussiani in cui tutte le pdf miste di qualunque ordine sono gaussiane. Ad esempio, nel caso di due segnali x(t) e y(t) congiuntamente gaussiani, nella ipotesi di congiunta stazionarietà, le medie di x(t) ed y(t), le loro autocorrelazioni statistiche e la loro mutua correlazione caratterizzano completamente qualunque densità congiunta. Pertanto la stazionarietà congiunta in senso lato implica la stazionarietà congiunta in senso stretto (proprietà peculiare dei segnali congiuntamente gaussiani).