Terza esercitazione di Statistica

ESERCITAZIONE 28 - 05 - 14

Esercizio 1

[TEST SULL'INDIPENDENZA STATISTICA]

La tabella riporta la distribuzione alla campione casuale di aziende di uno stesso settore secondo il consumo di energia (in HLV) e fatturato mensile (in migliaia di euro).

consumo energia fatturato 10 - 49 50 - 99 100 - 299 Total 0 - 5 38 2 0 40 6 - 20 78 132 0 210 21 - 50 46 84 20 150 Total 162 218 20 400

2) Dopo aver specificato le ipotesi da sottoporre a verifica, si decide al livello di significatività α dell' 1% se l'ipotesi nulla è da rifiutare o meno.

Ho: p _i · P_j

P ^? J ^? = margine di colonne

Pij = margine di colonne

ω FREQUENZE ATTESE

Si ha una situazione di indipendenza quanto tutte le frequenze osservate sono quale alle frequenze attese.

TABELLA DELLE FREQUENZE TEORICHE: frequenze che i centri assumerebbero in caso di totale indipendenza

1. Θ
2. Θ

Θ _IJ : Pi · Pj ^N

• 10 - 49
• 50 - 99
• 100 - 299
• Totale

0 - 5

16.20

21.20

2

40

6 - 20

85.05

114.75

10.5

210

21 - 50

60.75

81.75

7.5

150

Totale

162

218

20

400

LE FREQUENZE TEORICHE DEVONO ESSERE SEMPRE > 5

TABELLA DELLE FREQUENZE TEORICHE (dopo l'accorpamento)

10 - 49 50 - 99 / 100 - 299 Totale 0 - 5 16.20 23.80 40 6 - 20 85.05 124.95 210 21 - 50 60.75 89.25 150 Totale 162 238 400

ESERCITAZIONE 28 - 05 - 14

Esercizio 1

[TEST SULL'INDIPENDENZA STATISTICA]

La tabella riporta la distribuzione di un campione casuale di aziende di uno stesso settore secondo il consumo di energia (in KW) e fatturato mensile (in migliaia di euro).

Consumo energia Fatturato Totale 0 - 5 38 2 0 40 6 - 20 78 132 0 210 21 - 50 46 84 20 150 Totale 162 218 20 400

2) Dopo aver specificato le ipotesi da sottoporre a verifica, si decide al livello di significatività dell'1% se l'ipotesi nulla è da rifiutare o meno.

H₀: p_ij = p_i x p_j frequenze marginali di riga * frequenze marginali di colonna / n

H₁: p_ij ≠ p_i x p_j

FREQUENZE ATTESE

Si ha una situazione di indipendenza quanto tutte le frequenze osservate sono uguali alla frequenze attese

TABELLA DELLE FREQUENZE TEORICHE - frequenze che i caratteri assumerebbero in caso di totale indipendenza

m̂_ij: p_i x p_j / n

10 - 49 50 - 99 100 - 299 Totale 0 - 5 16.20 21.80 40 6 - 20 85.05 114.75 10.5 210 21 - 50 60.75 81.75 7.5 150 Totale 162 218 20 400

LE FREQUENZE TEORICHE DEVONO ESSERE SEMPRE > 5

TABELLA DELLE FREQUENZE TEORICHE (dopo l'accorpamento)

10 - 49 50 - 99/100 - 299 Totale 0 - 5 16.20 23.80 40 6 - 20 85.05 124.95 210 21 - 50 60.75 89.25 150 Totale 162 238 400

Statistica Test

χ² = Σ (O_i-E_i)² / E_i ~ χ² _α (c-1)(x-1)

• 0-5 … 10.49
• 6-20 … 0.58
• 21-50 … 3.58

50-99/100-299

• 29.33 … 19.97
• 0.4 … 2.44

I gradi di libertà vanno calcolati sempre dopo l’accorpamento

(38-16.20)²/16.20-29.33

Dove determinare il chi-quadro teorico → determinare i gradi di libertà

α = 1.2-2 α0,1

χ² _0,17.2 (9.21)

Rifiuto H₀ esiste una relazione tra i due caratteri.

a) Accetto/reject H₀

b) Si calcola il p-value del test.

Se p-value è < inferiore ad α quindi rifiuto H₀

c) Se in un test di ipotesi si decide di rifiutare l'ipotesi nulla, significa che l'ipotesi nulla è falsa?

No, i dati campionari possono non essere adeguati, manca un supporto empirico

Esercizio 2

Nel paese Alfa ci sono 4 internet provider A, B, C, D. Fino all'anno scorso A risultava leader di mercato con una quota pari al 40%, mentre i concorrenti si suddividevano agevolmente le quote rimanenti. Da un campione casuale di 120 consumatori risulta che 43 sono clienti di A, 32 di B, 15 di C, mentre i rimanenti hanno scelto il provider D.

1. Sulla base del campione possiamo intendere che le quote di mercato siano le stesse dell'anno scorso? (α = 0.05).

Ho: quote di mercato ugualiH1: diverse

KO_iP_iFrequenza attesa(O_i - E_i)²/E_iA430.4480.52B320.2242.67C150.2243.375D300.2241.5Tot.12011208.065

χ²_c = chi quadro campioneo

χ²_{0.05; 3} = 7.815

Rifiuto H₀: le quote di mercato sono diverse rispetto all'anno precedente.

2. Si calcoli il p-value del test. Se α fosse stato pari a 0.1 la decisione sarebbe cambiata?

Gradi di libertà = 3p-value = statistica test = 8.065

Si mostra 7.815 < 9.348 = fissando un'area media tra i due valori, ie p-value minore di α

P-VALUE ≤ α = Rifiuto H₀

Esercizio 3

[Test sulla bontà di adattamento]

Il cuoco dell'Hotel Panorama inventa quasi ogni giorno nuove ricette. Secondo lo chef X, il numero di nuove ricette in un giorno può assumere valore zero, uno o due con probabilità di 1/2, 1/4, 1/4 rispettivamente. Per verificare queste affermazionialcuni ospiti hanno contato il numero di nuove ricette in un campionamento casuale di giorni, ottenendo i seguenti risultati 0, 0, 1, 2, 3, 2, 2, 0, 0, 0.

1. Specificare le ipotesi da sottoporre a verifica.
2. Le probabilità sono uguali a quelle specificate
3. H₁: "non sono uguali"

XO_iP_iE_i = n · P_i060.55.5110.252.75240.252.7530001111111

• Accorpamento per regole

XO_iP_iE_i(O_i-E_i)²/E_i050.55.50.045>160.55.50.04511111110.090 - x² di quadro campione

Valore critico - X_0,05² = 3.841

• (^r-1⁄_c-1)
• ((r-1)(c-1))
• 2 - 1 · 2 - 1
• 1 · 1 = 1

Non rifiuto H₀ le probabilità sono quelle specificate

ESERCIZIO 1

Un dispositivo di sicurezza utilizzato nelle catene di produzione di una certa fabbrica, scatta in media 0,18 volte al giorno arrestando la catena. Dalle rilevazioni effettuate settimanalmente (5 giorni lavorativi), per 32 settimane, sono stati raccolti i seguenti dati:

• Numero arresti settimanali: 0 1 2 3 >3
• Frequenza: 10 12 6 3 1

Si verifichi in base ai dati rilevati, se si possa affermare che la distribuzione del numero di arresti settimanali segue una distribuzione di Poisson.

H₀: f(x) = P₀(λ)

H₁: f(x) ≠ P₀(λ)

x O_i P_i E_i = n·P_i 0 10 0.407 13.024 1 12 0.366 11.712 2 6 0.163 5.28 3 3 0.051 1.568 >3 1 0.013 0.413

P(x = x) = (λ^x e^-λ)/x!

P(x = 0) = (0.9⁰ e^-0.9)/0! = 0.407

P(x > 3) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x ≤ 2) + P(x > 3)] = 0.013

x O_i P_i E_i (O_i - E_i)²/E_i 0 10 0.407 13.024 0.702 1 12 0.366 11.712 0.0071 >2 10 0.227 7.264 1.0305

1.7397 < X² - chi-quadro campione

chi-quadro critico: X²_0.05,2 = 5.991

Non rifiuto H₀: nella popolazione i dati seguono una distribuzione di Poisson.

ESERCIZIO 6

[TEST SULLA BONTA DI ADATTAMENTO]

La lunghezza di 150 barrette di metallo simile sono state raggruppate nella seguente tabella:

• x_i:
• n_i: 3
• 4
• 23
• 53
• 39
• 30
• 21

In base a questi dati si può affermare che la loro distribuzione è una normale ad un livello di significatività del 5%?

x_in_iVALORE CENTRALIx_i . n_i(x_i - x̄)² . n_i27-28327.582.517.569228-29428.565.546.377229-305329.51563.59.349230-313930.5152516.8231-322131.5661.552.2244

x̄ = 29.42

S = 1.42

S = 0.978

H_o: g(x) = N(μ,δ²)

H₁: g(x) ≠ N(μ,δ²)

TABELLA DELLE FREQUENZE TEORICHE

• classi:
• Z_i
• F_i
• P(x<z)
• F_i-1)
• (F_i-F_i-1)
• Ei

valore di z corrispondente dell'estremo superiore delle classi.