Teoria delle decisioni finanziarie in condizioni di incertezza - esercizi

Teoria delle Decisioni

Esercizi svolti di Matematica Attuariale

A.A. 2010-2011

Una testa (assicurato) di eta x = 50 anni stipula un contratto assicurativo che prevede le

1.

seguenti prestazioni, a fronte del pagamento di un premio unico puro U :

pagamento di 150000 C

= dopo 25 anni se a tale epoca l'assicurato e ancora in vita;

pagamento di 150000 C

= agli eredi alla ne dell'anno del decesso dell'assicurato se questo

avviene entro 25 anni.

Calcolare, utilizzando le SIM 1992, 4%:

l'importo del premio U ;

il premio annuo costante P attuarialmente equivalente ad U da pagare per tutta la durata

del contratto.

Una testa di eta x = 45 stipula un'assicurazione che prevede il pagamento di C

=100000 agli

2.

eredi in caso di decesso dell'assicurato entro 10 anni.

Dopo aver speci cato di quale tipo di contratto assicurativo si tratta, calcolare (utilizzando le SIM

1992, 4%):

a) il premio unico puro U ;

b) il premio annuo che la testa dovrebbe pagare in caso di rateizzazione anticipata del premio in

tre anni.

Una testa (assicurato) di eta x = 55 anni stipula un contratto assicurativo di rendita vitalizia

3.

anticipata e di erita che gli consente di riscuotere annualmente e per tutto il resto della sua vita

l'importo R di C

=903; 66. Sapendo che la testa paga un premio unico puro U di C

=6000 determinare:

a) il periodo di di erimento;

b) l'importo del premio periodico P attuarialmente equivalente ad U nel caso di rateizzazione di

U per 6 anni;

c) la probabilita che la testa sia in vita dopo 6 anni.

Una testa (assicurato di eta x = 30 anni stipula un contratto assicurativo che prevede le

4.

seguenti prestazioni, a fronte del pagamento di un premio unico puro U :

pagamento di 100000 euro dopo 35 anni se a tale epoca l'assicurato e ancora in vita;

pagamento di 100000 euro agli eredi alla ne dell'anno del decesso dell'assicurato se questo

avviene entro 35 anni.

Calcolare, utilizzando le SIM 1992, 4%: 1

l'importo del premio U ;

il premio annuo costante P attuarialmente equivalente ad U da pagare per tutta la durata

del contratto;

Una testa di eta x = 55 anni stipula un'assicurazione che prevede il pagamento di 200000 euro

5.

agli eredi in caso di suo decesso entro 10 anni.

Dopo aver speci cato di quale contratto assicurativo si tratta, calcolare (utilizzando le SIM 1992,

4%) il premio annuo P che la testa dovrebbe pagare in caso di rateizzazione del premio unico puro

in quattro anni.

Una testa (assicurato) di eta x = 40 stipula un contratto assicurativo che prevede le seguenti

6.

prestazioni:

pagamento di 50:000 euro dopo 20 anni se l'assicurato e in vita a tale epoca;

pagamento di 50:000 euro agli eredi alla ne dell'anno del decesso dell'assicurato se questo

avviene entro 20 anni.

In cambio di tali prestazioni l'assicurato paga per tutta la durata del contratto premi annui puri

immediati anticipati di importo ciascuno pari a P . Dopo aver speci cato di quale tipo di contratto

assicurativo si tratta, calcolare utilizzando le SIM 92, tasso tecnico 4%:

a) l'importo del premio periodico P ;

b) Se all'epoca 5 l'assicurato e ancora in vita e decide di sostituire il pagamento dei rimanenti

premi annui con il pagamento di un unico premio U , quanto deve pagare?

Una testa (assicurato) di eta x = 35 stipula il seguente contratto assicurativo: a fronte di un

7.

pagamento di C

=100 e ettuato all'inizio di ogni anno per 15 anni egli ricevera, se ancora in vita,

a partire dall'inizio del quindicesimo anno una rendita vitalizia illimitata con rata di importo R.

Calcolare l'importo della rata R, utilizzando le tavole demogra co- nanziarie 1992, 4%. 2

Si tratta di una assicurazione mista semplice:

Soluzione 1. M M + D 4861:6072 2089:6056 + 2970:98

50 75 75

U = 150000 = 150000 = 65817

D 13088:52

50

Il premio annuo costante da pagare per 25 anni e:

U D 13088:52

50

P = = 65817 = 65817 = 4510:6

a

• N N 213899:85 22915:77

50:25 50 75

a) Si tratta di un'assicurazione caso morte temporanea. Il premio unico puro U e:

Soluzione 2. 5106; 7264 4540; 2415

M M

45 55 '

= 100000 3496; 4 :

U = 100000 D 16201; 88

45

b) Il premio annnuo costante e:

U D 16201; 88

45 '

P = = U = 3496; 4 1214; 8 :

a

• N N 288473; 87 241841; 33

45 48

45:3j

a)

Soluzione 3. N 55+m

U = R D 55

cioe N 55+m

6000 = 903; 66 10458; 84

da cui si ricava N = 69443; 13 = N :

55+m 65

Dunque, il periodo di di erimento e m = 10 anni.

b) U = P a

• 55:6j

da cui D 10458; 84

55

P = 6000 = 6000 = 1124; 5

N N 153883; 66 98080; 33

55 61

c) l 84931

61

p = = = 0; 93 :

6 55 l 90431

55

Si tratta di un'assicurazione mista semplice. Il premio unico puro U e quindi:

Soluzione 4. M M + D 5664; 36 3516; 3622 + 6187; 25

30 65 65 '

U = 100000 = 100000 27832 :

D 29946; 68

30

Il premio annuo costante da pagare per 35 anni e:

U D 29946; 68

30 '

P = = 27832 = 27832 1483; 35 :

a

• N N 631346; 15 69443; 13

30:35 30 65 3