Teoria della relatività, problemi svolti: angoli e sistemi di riferimento

′

’ ’ θ

Una sbarra solidale ad un sistema d riferimento ha lunghezza propria e forma un angolo rispetto

all’asse ’’. v

⃗

Il sistema si muove rispetto ad un riferimento S, solidale con il laboratorio, ad una velocità .

3

=

a. Nel caso in cui il fattore valga , determina la lunghezza L della sbarra rispetto ad S in

5

relazione a L’ e a ′.

l’angolo che la sbarra forma con l’asse Ox nel caso in cui v sia una velocità generica.

b. Determina

Calcola poi l’angolo = 15° 0, = , = 1,50.

quando si ha 2

′

c. Dato un angolo compreso tra 0° e 45°, vogliamo studiare se è possibile che si ottenga la

= 2′.

condizione A questo proposito, dimostra che la relazione tra i due angoli si può riscrivere

come: 2 ′

2 cos =

2 ′

2 cos − 1 = 2′può

d. Basandoti sulla formula precedente, dimostra che la condizione essere soddisfatta solo

se il fattore di dilatazione è maggiore o uguale a 2

Svolgimento l’espressione di

’

Scomponiamo il vettore posizione lungo le direzioni x ed y e scriviamo

ciascuna componente:

′ ′

= cos ′

′ ′

= sin ′

’

Il modulo di è data da:

2

√(

′ 2 ′

)

’ = + ( )

’ v

⃗

si muove di velocità orizzontale, applichiamo le

formule relativistiche per determinare le componenti nel

riferimento S: ΔL 2

L= = √1 − β L’

γ

2

√1

L = − β L′

x x

2

3

√1

L = − ( ) L′

x x

5

9

√1

L = − L′

x x

25

25 − 9

√

L = L′

x x

25

16 4 4

′ ′

√

L = L′ → L = L = L cos θ′

x x x x

25 5 5

′ ′

L = L = L sinθ′

y y

Ed ora la lunghezza L: 2

√(L 2

)

L = + (L )

x y

2

4

√ ′ ′ 2

(L

L = ( L cos θ′) + sinθ′)

5

16 ′ ′ 2 ′ 2

(L ) (L

cos θ + sin θ)

√

L = 25

16 2 2

L = L′√ cos θ′ + sin θ′

25

Svolgimento punto b. :

Scriviamo la relazione goniometrica tra le componenti che esp