Teorema di Ampère e studio di funzione

Esercitazioni per l'esame di stato

Proposta tipo per l'elaborato delle materie d'indirizzo

Problema di matematica e fisica per liceo scientifico

Due fili rettilinei posti perpendicolarmente al piano del foglio sono percorsi da correnti entranti e di uguale intensità. Supponiamo che i due fili si trovino a una distanza tra i loro centri. Il diametro dei fili è trascurabile rispetto a. Scegli un sistema di riferimento con l'asse delle ordinate giacente nel foglio e passante per il centro dei due fili. L'origine degli assi corrisponde al punto medio tra i centri dei due fili che hanno coordinate (0, 0). Il verso positivo dell'asse y è orientato verso l'alto del foglio, mentre il verso positivo dell'asse x è orientato verso destra. Le coordinate sono espresse in metri.

1. Scrivi la funzione che rappresenta il campo magnetico risultante, generato dalle due correnti, in un punto (1, 0).
2. Supponi \( \sqrt{5} \) e (0, 1, 0). Studia la funzione così ottenuta.
3. Considera il cammino chiuso che ha come bordo la funzione e la porzione dell'asse delle ascisse compresa tra i punti 0 e 4. Determina la circuitazione del campo magnetico lungo il cammino.
4. Se la corrente che circola nei fili non fosse costante ma variasse nel tempo in maniera sinusoidale, con \( \sin(314t) \), la risposta alla domanda 3) calcolata per \( I(t) \) cambierebbe?

Alla scoperta dell'elettromagnetismo

Nel 1820 il fisico danese Hans Christian Oersted con i suoi esperimenti scoprì il legame tra fenomeni elettrici e fenomeni magnetici. Egli dispose un filo elettrico collegato ad una pila, nella direzione Nord-Sud sopra un ago magnetico, al passaggio di corrente l'ago ruotava disponendosi perpendicolarmente al filo stesso. Pochi mesi dopo l'osservazione di Oersted, i due fisici francesi Jean Baptiste Biot e Félix Savart dimostrarono sperimentalmente che il campo magnetico generato da un lungo filo rettilineo percorso da una corrente ha le caratteristiche seguenti:

• L'intensità B del campo magnetico a distanza r dal filo è direttamente proporzionale alla corrente e inversamente proporzionale alla distanza.
• Le linee del campo magnetico sono circonferenze concentriche al filo poste in piani perpendicolari a esso.
• Le linee del campo magnetico hanno il verso delle dita raccolte della mano destra se il pollice punta nel verso della corrente.

La legge, nota come legge di Biot-Savart, afferma quindi che un filo rettilineo indefinitamente esteso genera nel vuoto un campo magnetico la cui intensità è data dalla seguente formula:

B = (μ₀ × I) / (2πr)

in cui la costante \( \mu_0 \) è la permeabilità magnetica del vuoto che vale \( 4\pi × 10^{-7} \, T \cdot m/A \).

La scoperta di Oersted è di grande importanza perché mette in luce il collegamento tra elettricità e magnetismo a livello macroscopico. Quando le cariche elettriche sono ferme danno origine a un campo elettrico, se invece le cariche elettriche sono in movimento danno origine anche a un campo magnetico. Faraday scoprì che un filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico, subisce una forza il cui verso è dato dalla regola della mano destra.

• Il pollice della mano punta nel verso della corrente.
• Le altre dita nel verso delle linee del campo magnetico.
• Il verso della forza è quello che esce dal palmo della mano.

Le esperienze di Oersted e quelle di Faraday mostrarono l'esistenza della relazione tra corrente elettrica e campo magnetico:

• Una corrente elettrica genera un campo magnetico.