Statistica inferenziale, esercitazione svolta, intervallo di confidenza

Statistica Inferenziale

Esercitazione 3

• Intervallo di confidenza

Problema 1

Un componente del motore

La durata di un componente di un motore, fondamentale per il suo funzionamento, è distribuita normalmente e sulla base di prove effettuate su 15 esemplari si è ottenuto che un intervallo di confidenza al 95% della durata media, espresso in ore, è ]5000; 7000[.

1. Possiamo accettare l'ipotesi che il componente funzioni per 8000 ore a un livello di confidenza del 99%?
2. Fino a quante ore possiamo ipotizzare un funzionamento senza guasti a un livello di confidenza del 99%?

Problema 2

In una scuola di 650 alunni è stato rilevato, su un campione di numerosità 150, che il tempo medio giornaliero dedicato allo studio è di 2,5 ore con una deviazione standard di 0,8 ore.

1. Determina l'intervallo di confidenza al 95% del tempo medio di studio.
2. Determina allo stesso livello l'intervallo di confidenza, supponendo di sapere da precedenti rilevamenti che la varianza della popolazione è di 0,5 ore.
3. Nel caso della varianza della popolazione di 0,5 ore, mantenendo il livello di confidenza, quanti ragazzi dovrebbe coinvolgere il sondaggio se si volesse dimezzare l'ampiezza dell'intervallo rispetto al precedente?

Statistica Inferenziale

Esercitazione 3

• Intervallo di confidenza

Problema 1

Un componente del motore La durata di un componente di un motore, fondamentale per il suo funzionamento, è distribuita normalmente e sulla base di prove effettuate su 15 esemplari si è ottenuto che un intervallo di confidenza al 95% della durata media, espresso in ore, è [5000; 7000[.

1. Possiamo accettare l’ipotesi che il componente funzioni per 8000 ore a un livello di confidenza del 99%?
2. Fino a quante ore possiamo ipotizzare un funzionamento senza guasti a un livello di confidenza del 99%?

Problema 2

In una scuola di 650 alunni è stato rilevato, su un campione di numerosità 150, che il tempo medio giornaliero dedicato allo studio è di 2,5 ore con una deviazione standard di 0,8 ore.

1. Determina l’intervallo di confidenza al 95% del tempo medio di studio.
2. Determina allo stesso livello l’intervallo di confidenza, supponendo di sapere da precedenti rilevamenti che la varianza della popolazione è di 0,5 ore.
3. Nel caso della varianza della popolazione di 0,5 ore, mantenendo il livello di confidenza, quanti ragazzi dovrebbe coinvolgere il sondaggio se si volesse dimezzare l’ampiezza dell’intervallo rispetto al precedente?

Problema 1

Un componente del motore La durata di un componente di un motore, fondamentale per il suo funzionamento, è distribuita normalmente e sulla base di prove effettuate su 15 esemplari si è ottenuto che un intervallo di confidenza al 95% della durata media, espresso in ore, è [5000; 7000[.

1. Possiamo accettare l’ipotesi che il componente funzioni per 8000 ore a un livello di confidenza del 99%?
2. Fino a quante ore possiamo ipotizzare un funzionamento senza guasti a un livello di confidenza del 99%?

a. Poiché il fenomeno che stiamo indagando si distribuisce normalmente, possiamo assumere che la durata media x̄ di un componente del motore per il campione in esame sia pari a x̄ = 6000 ore.

Prima di costruire un test di ipotesi per rispondere alla domanda, dobbiamo calcolare l’errore standard campionario s. Siamo nel caso di piccoli campioni (n < 30), quindi sappiamo che la media asintoticamente si distribuisce come una t-Student con gradi di libertà pari a n − 1 = 15 − 1 = 14. Per un livello di confidenza pari al 95% e 14 gradi di libertà dalle tavole abbiamo t_1−α/2 = 2,145. Attraverso l’intervallo di confidenza calcoliamo l’errore standard campionario.

x̄ − t_1−α/2 s / √n−1 = 5000 ↔ s = (x̄ − 5000) √n−1 / t_1−α/2

s = 1000 √14 / 2,145 ≃ 1744.

Costruiamo ora il test unilaterale a sinistra o una coda con ipotesi nulla H₀: μ = 8000 contro l’ipotesi alternativa H₁: μ < 8000. A un livello di confidenza del 99% abbiamo t_1−α = 2,624. Confrontiamo | t | con t_1−α:

| t | = | x̄ − μ / s / √n−1 | = | 6000 − 8000 / 1744 √14 | ≃ 4,29.

Poiché | t | > t_1−α non possiamo accettare l’ipotesi nulla e non possiamo affermare che il motore funzioni in media per 8000 ore.

b. Se x̄ è il numero di ore di funzionamento senza guasti che possiamo ipotizzare a un livello di confidenza del 99%, allora deve essere:

t = x̄ − 6000 / 1744 √14 < 2,624 ↔ x̄ < 2,624 · 1744 √14 + 6000 ↔ x̄ < 7223.