Statistica - indice di concentrazione di una distribuzione gaussiana

Matematica e statistica per scienze biologiche

Statistica, esempio prova d'esame

Istogramma e spezzata di concentrazione

A.A. 2021-2022

Esempio di prova d'esame

A 200 persone è stato chiesto quanto spendono per i viaggi durante l'anno. La seguente tabella mostra i risultati.

1. La distribuzione ottenuta è di tipo gaussiano? Con quale media e con quale deviazione standard?
2. Calcola l'indice di concentrazione della distribuzione.

Calcolo della media e della deviazione standard

Costruiamo l'istogramma e il corrispondente poligono delle frequenze. Il poligono delle frequenze ha un andamento a campana, quindi possiamo considerare che la distribuzione sia di tipo gaussiano.

Calcoliamo la media tramite la media ponderata dei valori centrali delle classi:

M = ^{500 · 30 + 1500 · 40 + 2500 · 62 + 3500 · 41 + 4500 · 27}/₂₀₀ = ⁴⁹⁵⁰⁰⁰/₂₀₀ = 2475.

Con la media quadratica degli scarti dalla media, sempre ponderando ciascun valore calcoliamo la deviazione standard:

σ = √(^{(500 − 2475)2 · 30 + (1500 − 2475)2 · 40 + … + (4500 − 2475)2 · 27}/₂₀₀) = √(^308875000/₂₀₀) ≃ 1243.

Calcolo dell'indice di concentrazione

Per poter calcolare l'indice di concentrazione, compiliamo la tabella delle frequenze e delle intensità relative cumulate.

In particolare, le intensità sono date dal prodotto fra il valore centrale di ogni classe e la corrispondente frequenza. Per esempio, 500 · 30 = 15 000. Possiamo disegnare ora la spezzata di concentrazione.

L'area di concentrazione è data dall'area di massima concentrazione (che vale sempre 0,5) meno l'area sottostante alla spezzata di concentrazione. Per l'area sottostante alla spezzata di concentrazione, consideriamo i seguenti contributi:

• Triangolo con base 0,03 e altezza 0,15, quindi con area 0,00225.
• Trapezio con basi 0,03 e 0,15 e altezza 0,20, quindi con area 0,01800.
• Trapezio con basi 0,15 e 0,46 e altezza 0,31, quindi con area 0,09455.
• Trapezio con basi 0,46 e 0,75 e altezza 0,21, quindi con area 0,12705.
• Trapezio con basi 0,75 e 1,00 e altezza 0,13, quindi con area 0,11375.