Statistica sanitaria

Misure di posizione - Quantili

I quantili sono utilizzati in statistica per frazionare in N parti uguali un insieme di dati numerici disposti in ordine progressivo crescente o decrescente. I principali quantili sono i quartili, quintili, centili e percentili.

Quartili: sono 3 e sono nominati Q1, Q2 e Q3. Essi dividono i dati ordinati in 4 parti uguali.

• Q1 (primo quartile): separa il 25% inferiore dei dati dal 75% superiore dei dati.
• Q2 (secondo quartile): separa il 50% inferiore dei dati dal 50% superiore dei dati (corrisponde alla mediana).
• Q3 (terzo quartile): separa il 75% inferiore dei dati dal 25% superiore dei dati.

Percentili: sono 99 e sono indicati con P1, P2, ..., P99. Essi dividono i dati in 100 gruppi comprendenti ciascuno l'1% dei valori.

Corrispondenze quartile-percentile: Q1=P25, Q2=P50, Q3=P75

Statistiche quartile-percentile:

• Range interquartile (o IQR) = Q3 - Q1
• Range semi-interquartile = (Q3 - Q1) / 2
• Midquartile = (Q3 + Q1) / 2
• Range percentile 10-90 = P90 - P10

Esempio: I giorni di...

degenza post-operatoria di 6 pazienti ricoverati in ospedale sono risultati essere rispettivamente 7, 5, 6, 5, 9, 10. Siamo di fronte ad una serie di variabili quantitative discrete.

La media aritmetica si ottiene sommando i sei valori diviso il numero di osservazioni: 7+5+6+5+9+10 / 6 = 42/6 = 7

La moda risulta essere 5, ossia l'unico valore per il quale si registrino due osservazioni: 7, 5, 6, 5, 9, 10.

Essendo un numero pari di osservazioni, la mediana si calcola ordinando i numeri in senso crescente (5, 5, 6, 7, 9, 10) o decrescente (10, 9, 7, 6, 5, 5), sommando i due valori centrali e dividendoli per 2: 6+7/2 = 6.5

I valori estremi delle osservazioni (7, 5, 6, 5, 9, 10), ordinate in senso crescente (5, 5, 6, 7, 9, 10) o decrescente (10, 9, 7, 6, 5, 5), sono 5 e 10. Il range è quindi 10 - 5 = 5.

Più complesso è il calcolo della DS: per ogni valore si calcola la differenza dalla media e si eleva al quadrato.

Autlier è un valore estremo.

Serie di punti, ciascuno dei quali corrisponde, in ascissa, al punto medio di una classe di valori e, in ordinata, alla frequenza assoluta o percentuale. È costituito da una spezzata le cui ascisse dei vertici si trovano in corrispondenza dei punti medi delle classi.

Istogramma: una distribuzione di frequenza di variabili quantitative può essere rappresentata anche con l'istogramma, in cui ad ogni classe corrisponde un'area che è tanto più estesa quanto più il fenomeno è frequente. È un grafico a barre che riporta sull'asse orizzontale le classi in cui sono stati suddivisi i dati e sull'asse verticale le frequenze (assolute o relative). L'altezza delle barre corrisponde ai valori delle frequenze e le barre sono disegnate adiacenti le une alle altre.

Diagramma a barre: molto simile all'istogramma ma concettualmente diverso. Può essere utilizzato anche per variabili qualitative. Le frequenze assolute

Le percentuali sono indicate in un asse (ascissa o ordinata) mentre lungo l'altro asse sono rappresentate le variabili (categorie).

Diagramma areale: si addice a dati qualitativi. È diviso in segmenti, ciascuno dei quali rappresenta una categoria. L'area del grafico corrisponde al 100% delle osservazioni ed ogni categoria è rappresentata da una porzione dell'area totale corrispondente alla sua percentuale rispetto a tutte le osservazioni.

Diagramma a punti: viene utilizzato per rappresentare la relazione tra due variabili quantitative. Ad ogni punto corrisponde una singola osservazione.

Ideogramma: è un tipo di diagramma che permette di rappresentare un insieme di dati mediante opportuni simboli.

Piramide dell'età: rappresenta i dati riguardanti le fasce d'età di una popolazione. In ordinata vengono riportate le classi d'età in cui è distribuita la popolazione, in ascissa la percentuale o il numero assoluto.

dei soggetti appartenenti a ciascuna classe suddivisi per sesso: maschile a sinistra e femminile a destra.

Cartogramma: è una carta geografica sulla quale vengono rappresentati dei dati statistici, con colori e simboli diversi a seconda dei valori del fenomeno osservato.

Grafico delle frequenze cumulate (o grafico a ogiva): è costituito da una spezzata crescente che corrisponde alla frequenze cumulate. Le ascisse dei punti di spezzata corrispondono ai separatori delle classi.

Dotplot (o grafico a punti): è un grafico in cui ciascun valore corrisponde a un punto lungo una scala graduata. Se vi sono valori uguali, i punti relativi sono impilati uno sull'altro.

Diagramma ramo-foglia: i dati vengono elencati dividendoli in due parti: il ramo (per esempio la cifra più a sinistra) e le foglie (per esempio la cifra più a destra). Il vantaggio è che possiamo avere un'idea della distribuzione dei dati pur continuando a mantenere tutte le

• Lista originale: informazioni della lista originale. Altro vantaggio è che i dati vengono disposti in ordine crescente, requisito necessario per alcune procedure statistiche.
• Diagramma di Pareto: diagramma a barre per dati qualitativi, con le classi riordinate in ordine decrescente di frequenza.
• Diagramma a torta: per visualizzare dati qualitativi. Grafico in cui le classi sono rappresentate come fette di una torta. Non sono in genere consigliabili come strumento per rappresentare i dati in maniera efficace.
• Diagramma a dispersione: è un grafico in cui a ciascun punto (x, y) corrisponde un'osservazione del campione; ciascuna osservazione è composta da una coppia di valori, che diventano l'ascissa e l'ordinata del punto corrispondente. La configurazione dei punti è sovente di aiuto per determinare se sussista una qualche relazione tra le due variabili.

Per i dati qualitativi la possibilità di rappresentazione è limitata all'elenco delle

variabili con le frequenze assolute e relative della singola classe rispetto al totale. Nel caso delle variabili quantitative la descrizione sintetica dei dati può avvenire mediante l'uso di uno o più valori numerici che possono rappresentare la tendenza centrale di tutti i valori (misura di posizione) o la dispersione (distribuzione di essi intorno alla media).

Distribuzione normale o Gaussiana è la più importante e utilizzata in statistica. La curva delle frequenze della distribuzione normale ha una forma caratteristica, simile ad una campana. Il valore medio si trova esattamente al centro della distribuzione, e la curva è simmetrica rispetto ad esso: media, mediana e moda coincidono. La maggior parte delle osservazioni si concentrano intorno al valore medio.

Non descrive una sola distribuzione, ma una famiglia di distribuzioni, tutte con la stessa forma a campana ma caratterizzate da media e varianza diverse. È definita da 2 parametri:

• Il

valore medio o µ Se varia µ, si sposta orizzontalmente l’asse di simmetria della curva- La varianza o δ Se varia δ, la curva si fa più o meno appuntitaUna distribuzione normale con media µ e varianza δ viene indicata come N(µ, δ). Per indicare che lavariabile X si distribuisce come una normale si scrive X ~ N(µ, δ)

Distribuzione binomiale o di Bernoulli È la più importante tra le distribuzioni discrete. Definisce ladistribuzione di probabilità di n prove ripetute ed indipendenti, quando i risultati possibili di ciascuna provapossono essere soltanto 2:

• Il successo: p (probabilità favorevole all’evento)
• L’insuccesso: q = 1 - p (probabilità sfavorevole all’evento).

Prove dipendenti Prove dipendenti sono ad esempio le estrazioni ripetute senza reintroduzioneProve indipendenti Prove indipendenti sono eventi che non dipendono dalla storia

precedente → 10

Distribuzione binomiale o di Bernoulli È la probabilità di ottenere x successi in n prove indipendenti.

Valgono le seguenti formule:

• µ = n * p²
• δ = n * p *

LA PROBABILITÀ Il calcolo della probabilità è la base su cui poggiano tutti i metodi di statistica inferenziale.

Legge degli eventi rari per la statistica inferenziale: se si è verificato un certo evento e, in base a una certa ipotesi, la probabilità che quell’evento si verifichi è molto bassa, allora l’ipotesi è probabilmente sbagliata.

Es: se vado a studiare che il tumore del polmone è favorito dal fumo di sigaretta, ed esce una probabilità alta che dimostra che è vero che il fumo è un favorente al tumore al polmone. Se la probabilità fosse bassa allora dire che il fumo è favorente il k polmone è dato al caso.

Definizioni:

• Un evento è una raccolta di esiti di un esperimento

Un evento elementare è un evento che non può essere ulteriormente suddiviso in eventi più semplici.

Lo spazio campionario di un esperimento è composto da tutti gli eventi elementari ovvero da tutti gli esiti che non possono essere ulteriormente suddivisi.

Un evento composto è un qualsiasi evento formato da due o più eventi semplici.

Lancio il dado, il risultato è un evento e lo spazio campionario è 6 eventi (perché il dado ha 6 facce); con 2 dadi lo spazio campionario è 12. Con la moneta lo spazio campionario è 2 (testa e croce).

Tre approcci per definire la probabilità:

• Approssimazione della probabilità con la frequenza relativa. Frequenza relativa: che probabilità ho che esca 3 sul dado? 3 su 6. Che probabilità ho che esca testa sulla moneta? 1 su 2. P(A) = n. volte in cui A si è verificato / n. di ripetizioni dell'esperimento.
• Lancio di una puntina → Per determinare

P(la puntina atter