Statistica

TABELLA CONTINGENTE

tab_co <- (tab_oss - tab_te)

tab_co

CHI QUADRATO

chi_quad <- sum((tab_co^2)/tab_te)

Data la tabella di contingenza formata da due righe e due colonne (0,1,3,4) descrivere quale script di R si implementa per calcolare:

a) la tabella delle frequenze teoriche;

b) la tabella delle contingenze assolute;

c) il chi-quadrato, massimo e normalizzato

TABELLA FREQUENZE CONGIUNTE TEORICHE

tab_te <- matrix.table(tab_oss, 1) %*% t(margin.table(tab_oss, 2)) / sum(tab_oss)

tab_te

TABELLA CONTINGENTE

tab_co <- (tab_oss - tab_te)

tab_co

CHI QUADRATO

chi_quad <- sum((tab_co^2)/tab_te)

CHI QUADRATO NORMALIZZATO

chi_max <- (sum(tab_oss)) * (min(dim(tab_oss - 1)))

chi_norm <- chi_quad / chi_max

Data la v.c Poissoniana X con λ = 3,2 calcolare:

a) la probabilità che x = 10;

b) la probabilità che x < 13;

c) la probabilità che x > 22 e che x sia ricompreso fra 30 e 40

a. P(x=10)/3,2 /10!*e^-3,2 = 1,26*10^-3 ≈ 0,0413

x=0 x 3,2 3,2

b. p(x<13)/F(x) = p(x ≤ x) = ∑

3,2 /x!* e- e-1 2 3 4 133,2°/0!*0,04+3,2 /1!*0,04+3,2 /2!*0,04+3,2 /3!*0,04+3,2 /4!*0,04+…3,2 /13!*0,04= ≅=0,04+0,128+0,2048+0,21+0,17+0,11+0,04+0,0272+0,0109+0,0039+0,00124+0,000361+0,000361+0,00002369

0,9522x=0 x -3,2c. P(x>22)/1-P(x≤22)=1-∑ (3,2 /x!*e )40x=30 x -3,2d. P(30≤x≤40) = ∑ (3,2 /x!* e )

Data la v.c Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 calcolare: a) la probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c) la probabilità che x> 37 e che x sia ricompreso fra 31 e 44

Intervallo (20-50)

a. P(x=28)=0 nelle uniformi continue la probabilità puntuale è NULL

b. P(x<32)=F(32)-F(20)==(0,0333*32)-(0,0333*20)=0,3996

c. P(x>37)= 1-P(x<37)=1-[F(37)-F(20)]==1-[(0,033*37)-(0,0333*20)]=1-0,5661= 0,4339

d. P(31≤x≤44)=F(44)-F(31)==(0,0333*44)-(0,0333*31)=1.4652-1.0323=0.4329

Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 calcolare: a) la probabilità che x=0; b) la probabilità

che x< 3;

c) la probabilità che x>2 e che x sia ricompreso fra 3 e 4

Prob Binomiale p=0,07 n=11

a. P(x=0) 11-0p(X=0)= 11 *0,07°*(1-0.07) =0 1111! = 1*1*(0.93) =0.450!(11-0)!

b. P(x<3) [=0,1,2]P(x<3)=P(x=0)+ P((x=1)+ P(x=2)=11-0 1 11-1 2 11-2= 11 *0,07°*(1-0.07) + 11 *0,07 *(1-0.07) + 11 *0,07 *(1-0.07) =0 1 2= 0.45+0.37+0.14= 0.96

c. P(x>2)P(x>2)=1-P(x≤2)=1- [P(x=0)+ P(x=1)+ è(x=2)]→stessi →calcoli di sopra 1-0.96= 0.04

d. P(3≤x≤4)P(x=3) + P(x=4)3 8 4 711 * 0,07 * (1-0.07) + 11 * 0.07 * (1-0.07) =3 49*10 3 8 8*9*10 4 711! * 0.07 * (1-0.07) + 11! * 0.07 * (1-0.07) =3!(11-3)! 4!(11-4)!0,0317+0,0048= 0,0365

Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 con quali script di R si calcola:

a) la probabilità che x=0;

b) la probabilità che x< 3;

c) la probabilità che x>2 e che x sia ricompreso fra 3 e 4

#DATIn<-11

p<-0,07 →#PROBABILITA’ (X=0)

densitàdbinom(0,11,0.07) →#PROBABILITA’

(X<3) cumulatapbinom(2,11,0.07) 3 escluso

PROBABILITÀ (X>2)1-pbinom(2,11,0.07)

PROBABILITÀ (3≤X≤4)dbinom(3,11,0.07)+dbinom(4,11,0.07)

Data la v.c. binomiale X con parametri p=0,23 e n=80 Bin~(80;0,23) con quali linee di codice di R si calcola:

a) la probabilità che p(X<18);

la probabilità che P(X>19);

la probabilità che X sia ricompresofra 17,8 e 19,2

Data la v.c. continua Chi-quadrato X con n=23 descrivere con quali script si calcola:

a) la varianza;

b) la deviazione standard;

c) l’indice di asimmetria e di curtosi

sig<- 23

a. var <- 2^g ; var

b. sd<- sqrt 8var); sd

c. asim <- sqrt (g/8); asim

d. curt <- 12/g

Data la v.c. continua Chi-quadrato X con n=23 descrivere con quali script si calcola:

a) la probabilità che x=8;

b) la probabilità che x< 3;

c) la probabilità che x> 17 e che x sia ricompreso fra 13 e 20

a. p8 <- pchisq (8,23); p8

b. p3<- pchisq (3,23)

c. p17<-1-pchisq(17,23);

p17p20<-pchisq (20,23); p20- p13d. p13<- pchisq (13,23)

Data la v.c. continua F di FisherX con g1=16 e g2=24 con quali script si calcola:

a) la probabilità che x=18;

b) la probabilità che x< 22;

c) la probabilità che x> 17 e che x sia ricompreso fra 14 e 19

#DATI

g1<-16

g2<-24

#PROBABILITA’ (X=18)

df(18,g1,g2)

#PROBABILITA’ (X<22)

pf(22,g1,g2)

#PROBABILITA’ (X>17)

1-pf(22,g1,g2)

#PROBABILITA’ (14≤x≤19)

pf(19,g1,g2)-pf(14,g1,g2)

Data la v.c. continua F i di Fisher X~ F (11,24) come si calcola

a) il valore atteso;

b) la varianza;

c) la deviazione standard?

E(F)=1,09; Var(F)=17280; Dv.std(F)=131,45

Data la v.c. continua Normale standardizzata X con media=0 e dev.std=1 impostare le formule per il calcolo:

a) della probabilità che x< 3,2;

b) della probabilità che x> 3,7;

c) della probabilità che x sia ricompreso fra 3,1 e 4,4

a. P(x=2.8)=0

b. P(x<3.2)= P(z<3.2-0/1)= ρ (3.2)=0.9993

c. P(x<3.7)=

1. a) la varianza: Var <- ds^2;
2. b) la deviazione standard: Ds <- 1c;
3. c) l'indice di asimmetria: Sim <- 0;
4. d) l'indice di curtosi: Kurt <- 3;

1. a) la probabilità che x = 4,1: P(x = 4.1) = 0 (probabilità puntuale)
2. b) la probabilità che x < 3,9: P(x < 3.9) = P(z < -0.3809) = ρ(-0.38) = 0.3520
3. c) la probabilità che x > 4,4 e che x sia compreso fra 4,2 e 4,5: P(x > 4.4) = 1 - P(z < -0.1429) = 1 - ρ(-0.14) = 0.5657
4. d) la probabilità che 4,2 ≤ x ≤ 4,5: P(4.2 ≤ x ≤ 4.5) = P(z ≤ -0.0952) - P(z < -0.2380) = ρ(-0.0952) - ρ(-0.2380)

(-0.10) – ρ(-0.24) = 0.4602-0.4052= 0.055

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si calcola:
a) la varianza;
b) la deviazione standard;
c) l’indice di asimmetria e di curtosi

#VARIANZA
sd^2

#ASIMMETRIA
Ias<-0

#CURTOSI
Icur<-0

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si calcola:
a) la probabilità che x=4,1;
b) la probabilità che x< 3,9;
c) la probabilità che x> 4.4 e che x sia ricompreso fra 4,2 e 4,5

#DATI
mean<-4.7
sd<-2.1

#PROB (X=4.1)
dnorm(4.1, mean,sd)

#PROB (X<3.9)
pnorm(3.9,mean,sd)

#PROB(X>4.4)
1-pnorm(4.4,mean,sd)

#PROB (4.2≤X≤4.5)
pnorm(4.5,mean,sd)-pnorm(4.2,mean,sd)

Data la v.c. continua t di Student X con n=23 con quali script di R si calcola:
a) la probabilità che x=2;
b) la probabilità che x< 12;
c)la probabilità che x> 17 e che x sia ricompreso fra 11 e 14

a. p2<-pt(2,23);
b. p12<-pt(12,23);
c. p17<-1-pt(17,23);
d. 

p14<-pt(14,23); p11<-pt(11,23); p14-p11

Data la v.c. continua t di Student X con n=23 con quali script si calcola:

a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l'indice di asimmetria e di curtosi

A. g<-23; var <-g/(g-z); var

B. sqm <- sqrt (var); sqm

C. assimetria <- 0

D. kurt<- 6 / (g-4); kurt

Data la v.c. continua Normale standardizzata Z con media=0 e dev.std=1 con quali script di R si calcola:

a) la probabilità che x=2,8; b) la probabilità che x< 3,2; c) la probabilità che x> 3,7 e che x sia ricompreso fra 3,1 e 4,4

a. P2_8<-pnom(2.8,0,1),P2_8

b. P3_2<-pnom(3.2,0,1);p3_2

c. P3_7<-1-pnom(3.7,0,1);p3_7

d. P4_4<-pnom(4.4,0,1); p3_1<-pnom(3.1,0,1); p4_4 - p3_1

Data la v.c. Poissoniana X con λ=3,2 con quali script di R si calcola:

a) la probabilità che x=10; b) la probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22 e che x sia ricompreso fra 30 e 40

#DATIℓ<-3.2

#PROB(X=10) → prob.

puntuale (n, ℓ)dpois(10, 3.2)#PROB (X<13)ppois(12, 3.2)#PROB (X>22)1-ppois (22, 3.2)#PROB (30≤X≤40)ppois(40,3.2)-ppois(30,3.2)

Data la v.c. t continua di Student X con n=23 impostare la formula per calcolare: a) la probabilità che x< 12; b) la probabilità che x> 17; c) la probabilità che x sia ricompreso fra 11 e 14→gradin=23 di libertà→si lavora con g=n-1→g=23-1a. P(x=2)= 0 p punt nullab. P(x<12)P(x<12)= ρ (12,g=22)= 0.9995c. P(x>17)1-P (x≤17)=1- ρ(17, g=22)= 1-0.9995=0.0005d. P(11≤x≤14)P(x≤14) – P(x<11)Ρ(14,g=22) – ρ(11, g=22)= 0.9995-0.9995=0

Data la v.c. Uniforme continua X con a=10 e b= 25 calcolare: a) il valore atteso; b) la varianza e la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di curtosi e lo scostamento?

Data la v.c. Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=28; b) la

probabilità che x< 32; c) la probabilità che x> 37 e che x sia ricompreso fra 31 e 44

#DATI

a<-20 estremi intervallo

b<-50

#PROB (X=28)

dunif(28,min=a, max=b)

#PROB (X<32)

punif(32,min=a, max=b)

#PROB (X>37)

1-punif(37,min=a, max=b)

#PROB (31≤x≤44)

punif(44,min=a, max=b)- punif(31,min=a, max=b)

Data la v.c. X ed estratto un campione di 85 famiglie la sommatoria delle xi è pari a 67 e quella delle xi2 pari a 169 calcolare:

a) il valore atteso;

b) la varianza;

c) la numerosità campionaria

Valore atteso =0,79

Varianza =1,38

Data la varianza del peso del tondino pari a 36 gr ed estratto un campione di 397 tondini con un peso medio pari a 987 grammi e un livello di significatività dell’1% con quali script di R si calcola:

a)il limite superiore dell’intervallo di confidenza per la media con varianza nota;

b) il limite inferiore dell’intervallo di confidenza per la media con varianza nota;

c) la numerosità campionaria

el’ampiezza dell’intervallo

INTERVALLO CONFIDENZA MEDIA CON VARIANZA NOTA

DATIvar<-36n<-397mx_camp<-987

LIMITE SUPERIORE INTERVALLOl.sup<-mx_camp+qnorm(0.995)*sqrt(var/n)

LIMITE INFERIORE INTERVALLOl.INF<-mx_camp-qnorm(0.995)*sqrt(var/n)

AMPIEZZA INTERVALLOamp_int<-2*qnorm(0.995)*sqrt(car/n)

NUMEROSITA’ CAMPIONARIAnum_camp<-round((qnorm(0.995)^2*S^2)/amp_int^2)2 2n=(z ) σ-α/2