Simulazioni esami statistica parte 2

Prova d'esame di Statistica - II canale - 10 CFU

Dott.ssa C. Conigliani05/07/2010

Esercizio 1.

Data la seguente tabella:

• a) riempila in modo che risulti χ²=1;
• b) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di X;
• c) calcolare la moda di X;
• d) calcolare la proporzione di unità con modalità di X compresa tra μ - σ e μ + σ.

Esercizio 2.

Un'urna contiene 8 palline bianche e 2 palline nere. Dall'urna vengono estratte (con ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale "numero di palline bianche due estratte".

• a) Calcolare E(X) e var(X).
• b) Calcolare la probabilità che X assuma un valore maggiore o uguale a 1.

Esercizio 3.

Dal Mondo in cifre 2009 (The Economist) si ricava che il numero di nati maschi ogni 100 femmine nel 2007 in Portorico è pari a 92. Durante una indagine campionaria svolta nel 2010 in tale paese, su un campione di 300 nati si è osservato che 142 sono maschi.

• a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1 - α = 0.95 per la proporzione di nati maschi nel 2010.
• b) Verificare al livello di significatività del 2.5% se la proporzione di nati maschi nel 2010 può essere assunta uguale a quella del 2007, contro l'alternativa unidirezionale più opportuna.
• c) Con riferimento al test d'ipotesi del punto b), calcolare il livello di significatività osservato.

Esercizio 4

Dal Mondo in cifre 2009 (The Economist) si ricava la seguente distribuzione relativa ad alcuni paesi del mondo secondo i caratteri Età media (X) e PIL pro capite in migliaia di dollari (Y) nel 2005:

1. Stimare i parametri della retta di regressione di Y in funzione di X e determinare la bontà di adattamento della relazione stimata.
2. Nell'ipotesi di normalità della componente accidentale, determinare un intervallo di confidenza per l'intercetta della retta, con livello di confidenza pari al 95%.
3. Nell'ipotesi di normalità della componente accidentale, verificare al livello di significatività dell' 1% l'ipotesi di indipendenza lineare contro l'ipotesi alternativa unilaterale più opportuna.

Esercizio 4 (9 punti) Data la seguente distribuzione doppia di alcuni paesi europei secondo i caratteri X = “tasso di inflazione” e Y = “tasso di occupazione” per il 2007 (valori percentuali - dati Istat):

a) Stimare i parametri della retta di regressione che esprime il tasso di occupazione in funzione del tasso di inflazione e determinarne la bontà di adattamento della relazione stimata.

b) Nell'ipotesi di normalità della componente accidentale, determinare un intervallo di confidenza per il coefficiente angolare della retta, con livello di confidenza pari al 95%.

c) Nell'ipotesi di normalità della componente accidentale, prevedere (tramite una stima puntuale e un intervallo di previsione) il valore del tasso di occupazione per Malta, il cui tasso di inflazione per il 2007 era pari a 0.7.

[R: a) α = 43.60, β = 11.96, R² = 0.76; b) (2.49;21.43); c) ŷ = 51.97, (37.41; 66.53)]

Prova scritta di Statistica, n.o., II canale - 10 CREDITI

Dot.ssa Conigliani - 10/01/11

Esercizio 1. [4 punti] La distribuzione dei matrimoni in Italia nel 1961 secondo l'età delle spose è riportata nella tabella seguente:

1. fare la rappresentazione grafica della distribuzione;
2. calcolare la media aritmetica e la mediana della distribuzione;
3. calcolare un indice di asimmetria;

Esercizio 2. [6 punti] Un'urna contiene 5 palline bianche e 10 nere. Si estraggono senza ripetizione due palline.

1. Quale è la probabilità di estrarre due palline bianche?
2. Sapendo che la seconda pallina è bianca, quale è la probabilità che anche la prima sia bianca?

Esercizio 3. [9 punti] In uno stabilimento, sulla base di un campione di 25 operai, si è osservato che il tempo richiesto affinché un operaio compia un certo lavoro è normalmente distribuito con scostamento quadratico medio pari a 12 minuti.

1. Quale è l’ampiezza dell’intervallo di confidenza al 95% per il tempo medio?
2. Come cambia l’ampiezza del punto a) utilizzando un campione di 100 operai?
3. Come cambia l’ampiezza del punto a) utilizzando un livello di confidenza al 99%?

Esercizio 9

Dati i seguenti coppie di osservazioni:

• X: 2, 2.5, 3, 3.5, 4
• Y: 3, 18, 30, 45, 81

1. Stimare i parametri della retta di regressione di Y su X² e determinare la bontà di adattamento della relazione stimata.
2. Assumendo normalità della componente accidentale, verificare l'ipotesi di passaggio per l'origine ad un livello di significatività del 5%.
3. Individuare infine l'intervallo di previsione per il carattere Y in corrispondenza di X = 5.

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Prova di Statistica - II canale - 10 CFU

Dott.ssa C. Conigliani 20/06/2011

Esercizio 1.[6 punti] Dall'Annuario Statistico Italiano si ricava la seguente distribuzione dei consumatori di farmaci per classe di età (in migliaia) per l'anno 2008:

1. Fare la rappresentazione grafica della distribuzione.
2. Calcolare un indice di asimmetria.
3. Calcolare la proporzione di consumatori minorenni. [R: b) γ₁ = -0.5; c) F(18) = 0.078.]

Esercizio 2.[6 punti] Un nuovo modello di computer portatile e' appena stato messo sul mercato, e la campagna pubblicitaria sottolinea l'elevata durata sia della piastra madre che del disco rigido. Da studi condotti in azienda e' noto che se il computer si guasta, ci sono 70 possibilità su 100 che la piastra madre sia da sostituire; nei restanti casi e' da sostituire il disco rigido. E' noto inoltre che se si guasta la piastra madre, la probabilità che anche il disco rigido risulti danneggiato e' 0.2.

1. Calcolare la probabilità che si debbano sostituire piastra madre e disco rigido.
2. Calcolare la probabilità che, dato che si deve sostituire il disco rigido, sia guasta anche la piastra madre. [R: a) 0.14; b) 0.47]

Esercizio 3.[9 punti] Data una popolazione Normale di varianza pari a 9 si vuole sotto- porre a verifica l'ipotesi H₀ : μ = 0 contro H₁ : μ ≠ 0 attraverso un campione casuale di 25 osservazioni.

1. Individuare la regione critica del test per α = 0.05.
2. A favore di quale ipotesi si conclude se la media campionaria e' risultata pari a 0.4?
3. Calcolare la potenza del test per μ = 1.
4. Calcolare il livello di significatività osservato. [R: a) Rifiuto H₀ per (X < -1.176)∪(X > 1.176); b) H₀; c) 1 - β = 0.3859; d) pvalue=0.5028]

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