Simulazioni esami matematica finanziaria

Primo Appello Sessione

1. Si consideri l'investimento di una somma S=2500 euro, assumendo che il capitale triplichi in T=25, si calcoli il tasso annuo d'interesse i in legge lineare e i in legge esponenziale, poi si calcoli il tempo necessario affinché il capitale quadruplichi in ciascuno dei 2 casi, indicando con T1 quello con legge lineare e T2 quello con la legge esponenziale.

2. Si consideri l'ammortamento di una somma S=150000 in 3 anni a rata annuale posticipata non costante al tasso i=4,5%, sapendo che C1=40000 e che R2=65000.

3. Si consideri un mercato in cui in t=0 è in vigore la legge di equivalenza finanziaria delta (0,s) = 0,015-0,0015s; in riferimento allo scadenziario t=1,2,3,4 si determinano le strutture per scadenza dei tassi a pronti e a termine.

4. Si consideri al tempo t=0, un contratto che al tempo s=3 paghi l'importo x(T, s) = 50/v(T, s) con T=1 anno, si determini in t il suo valore V(0, x) e la D(0, x) sapendo che la struttura per scadenza dei tassi d'interesse in vigore è: i(0,1)=2%; i(0,2)=2,5%; i(0,3)=3%. Considerando anche il titolo a cedola fissa y che dura 3 anni con tasso nominale i=4% e capitale=100, si costruisca un portafoglio Z composto da alfa "a" titoli x e beta "b" titoli y tali che il V(0,Z)=90 e la D(0,Z)=2,2 anni.

1.

S = 2500€   T = 25   ⟹ 2500 × 3 = 7500

• Legge lineare

m(t,s) = ₁^t + i(s-t)

i = ^{m(t,s) - 1} /_s-t = ^{3 - 1} /₂₅ = 0,08 = 8%

• Legge esponenziale

m(t,s) = (1 + i)^(s-t)

m(t,s) = (1 + ₁²⁵ - 1) = (1 - 0,06492) = 0,06492   4,92%

S = 10.000   T =?

• Legge lineare

T_d = ^{m(t,s) - 1} /_i = ^{4 - 1} /_0,08 = 37,5 anni

• Legge esponenziale

ln m(t,s) = (s-t) ln (1+ i)

s = ^{ln m(t,s)} /_{ln 4} = 31,5467 anni

2.

S = 150.000   3 anni   i = 4,5%

• C₁ = 40.000
• R₂ = 65.000

I₁ = 150.000 × 0,045 = 6750

3.

δ(0,s) = 0,015 - 0,0015s   t = 1,2,3,4

i(t,s) = ^[₁s-t]

i(t,s) = e^{- ∫ _ts δ(t,u)du}

S = 1.000

a=0,003; b=0,1; c=0,02

0,003 + 0,1 x₆ + 0,02 x^[7/6]

1 = 0,020428 = 2,04201

1 = 1.000

PR R Fx Cx Dx

1/6 515,37264 20,428 494,94664 505,05536

1/3 515,37264 10,31977 505,05536 0.

1.000

t=0

δ₀(S)=a+bs a=0,03 b=0,02

X D FC S=1 anno C=100€

Y D TCF S=2 anni K=100€ t_c=4,2; 1 anno

1.58

x o 1

D(o,p) = 1.58 anni

Σα_i √(t_i; x_i)

√(D’P)

ln(N

V(o;x) = 100 + 0,960289 = 96,0289

V(o;y) = 4,2 x 0,960289 + 100 x 2 x 0,9048 = 98,31964

D(0;y) =

3 x 96,0289 + x 98,31964 x 1,95886

B - Esercizi

[1] Si consideri un mercato definito all'istante t₀ da una legge lineare con tasso d'interesse annuo i = 5%, nel quale sia quotato il contratto x / t sa (-7₀, 60,14) / (0,1 1_t). Determinare t₁ affinché il contratto risulti equo.

[2] Si considera l'ammortamento di un capitale S = 500 € in due rate trimestrali costanti posticipate R. Ipotizzando una legge finanziaria definita dall'intensità di rendimento a scadenza h(0,5) = a + bs + es³ anni^-1, con a = 0,015, b = 0,0075 e c = 0,0002 determinare R.

[3] Si consideri un individuo che stipuli con una controparte il prestito di una somma S = 200000 euro da rimborsare mediante il pagamento di quattro costanti posticipate, con rata di pagabile . . . determinata al tasso i = 4%. Compilare il piano di ammortamento considerando la durata commerciale dell'anno. Qualora il debitore intendesse rimborsare integralmente il debito dopo tre anni e 211 giorni, quale importo K dovrebbe corrispondere alla controparte?

[4] Nell'istante di valutazione t = 0, il mercato è descritto dalla seguente struttura per scadenza a pronti:

• (0,1) = 3,20%
• (0,2) = 3,75%
• (0,3)= 4,65%
• (0,4)=5,85%

Calcolare il valore V (0,t) e la duration D (0,t) di un titolo a cedola fissa x di durata 3 anni, capitale 100 euro, che paga cedole ogni anno al tasso annuo del . . . Calcolare altresì il class swap Λ, relativamente allo . . . scadenzeranno . . . (1,2,3,4) anni.

4

t.c.

i = 1/t → anno

t → rendito annuo su post. l'anno R = 60€

x → C.I.S. 9 anni → cedola semestr.

P = αx + βy V(0,P) = 100-C D(0,P) = 0,05 anni

V(0,r) = 60[(1,q)^-2+(q^-14)]=46,51883

D(0,r) = 0,02 - \bar{1,02}^-1

1,495 semestre = 0,7475 anni

V(0,0.5) = 50

D(0,0.5) = 0.5

• 0,65 = (α x 46,51883 - 0,7475 + β x 50 x 0,5) / 100
• 100 = α x 46,51883 + β x 50
• α = \dfrac{100 - 50β}{46,51883} = 0,85825 - 0,42913β
• 65 = 74,74998 - 37,37433β + 25β
• 12,37453β = 9,74998 → β = 0,78784
• α = 0,85825 - 0,42913 x 0,28884 = 0,52046