Serie di funzioni, la serie di Fourier, serie delle armoniche di segnale elettrico

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di Fourier

Serie della armoniche che approssima un segnale elettrico con forma d’onda quadra.

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di Fourier

Serie della armoniche che approssima un segnale elettrico con forma d’onda quadra.

Un segnale elettrico ha come forma d’onda l’onda quadra in figura, viene ottenuto come somma di segnali sinusoidali.

1. Determina la serie delle armoniche che approssima il segnale.
2. Si vuole che il segnale non sia udibile, quindi si filtra in modo da selezionare solo le armoniche fino a una frequenza di 20 Hz. Quante sono le armoniche che restano, dopo aver applicato il filtro?
3. Se si vuole che l’ampiezza delle armoniche non sia inferiore a 0,5, qual è il polinomio trigonometrico che approssima la forma d’onda? Il periodo di questo segnale è diverso da quello iniziale?

a. Consideriamo il prolungamento periodico _T f(x) della funzione

f(x) = { -1, -1 ≤ x < 0

{ 1, 0 ≤ x < 0,5

La funzione ha periodo l = 0,5, da cui T = 1. La funzione soddisfa le ipotesi di Dirichlet quindi la sua serie di Fourier è convergente. Dal grafico osserviamo che la funzione è dispari, pertanto i coefficienti a₀ e a_n per ogni n sono uguali a 0.

Calcoliamo i coefficienti b_n = 10 ∫ f(x) sin(10nπx) dx = 20 ∫ ₀^0,5 sin(10nπx) dx = 2/nπ [1 - (-1)ⁿ] = { 0, n pari

{ 4/nπ, n dispari

Dati questi coefficienti di Fourier, le ampiezze sono date da

A₀ = 0, A_2n-1 = ⁴/_(2n-1)π, A_2n = 0

e le fasi da

a_n = 0.

Pertanto la serie delle armoniche che approssima il segnale è

⁴/_π ± ⁴/_π ∑ _n=1^∞ 1/(2n-1) · sin[(10(2n-1)πx].

b. La frequenza di un’armonica di ordine dispari è data da:

v_2n-1 = ^2n-1/_2ℓ = 5(2n-1)

Il filtro seleziona solo le armoniche fino ad una frequenza di 20Hz, dalla diseguaglianza 5(2n-1) ≤ 20 otteniamo che restano solo le armoniche di indice n = 1 ed n = 2

⁴/_π ± ⁴/_π ∑ _n=1² 1/(2n-1) · sin[(10(2n-1)πx]