Serie di funzioni e serie di potenze - Esercizi svolti

Analisi 2: Appunti ed esercizi svolti

Serie di funzioni e serie di potenze

Calcola \( \lim_{x \to -\frac{1}{3}} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n+1} x^n \)

Serie di funzioni e serie di potenze: Calcola _{lim x→-¹/3} ^+∞Σ_n=0 ¹/_2n+1 xⁿ

Serie di funzioni e serie di potenze: Calcola lim_x→-1/3∑^+∞_n=0 1/(2n+1) · xⁿ

Inizialmente vogliamo dimostrare che la serie ∑^+∞_n=0 1/(2n+1) · xⁿ è uniformemente convergente, così da poter scrivere

lim_x→-1/3∑^+∞_n=0 1/(2n+1) · xⁿ = ∑^+∞_n=0lim_x→-1/31/(2n+1) · xⁿ.

Consideriamo la serie ∑^+∞_n=01/(2n+1) · xⁿ. Questa è assolutamente convergente e quindi convergente in ]-1; 1[; infatti, applicando il criterio della radice alla serie

∑^+∞_n=0 |x|ⁿ/(2n+1) = ∑^+∞_n=0 |x|^1/(2n+1)

abbiamo

lim_n→+∞ √[^|x|ⁿ/_2n+1] = |x| il che implica che la serie ∑^+∞_n=0|x|ⁿ/(2n+1) converge in ]-1; 1[.

Consideriamo ora l'intervallo [-1/3; 1/3]⊆]-1; 1[⊆R. ∀x∈[-1/3; 1/3] e ∀n∈N vale

1/(2n+1) · |x|ⁿ ≤ 1/(2n+1) · (1/3)ⁿ.

Verifichiamo che la serie numerica ∑^+∞_n=0 1/(2n+1) · (1/3)ⁿ è convergente. Applichiamo il criterio del rapporto:

lim_n→+∞ a_n+1/a_n = lim_n→+∞ |1/(2(n+1)+1) · 3ⁿ⁺¹|/|1/(2n+1) · 3ⁿ| = 1/3

La serie ∑^+∞_n=0 1/(2n+1) · (1/3)ⁿ è convergente, pertanto per il criterio di Weierstrass, la serie di funzioni ∑^+∞_n=01/(2n+1) · xⁿ è uniformemente convergente nell'intervallo [-1/3; 1/3].

Perciò nel punto di accumulazione x = -1/3 vale:

lim_x→-1/3 ∑^+∞_n=0 1/(2n+1) · xⁿ = ∑^+∞_n=0 1/(2n+1) · (-1/3)ⁿ.