Scienza delle costruzioni B

Ricavare le equazioni di congruenza per il modello di trave alla Eulero-Bernoulli

u₀(y,z) = u₀(z), u_y(z) = 0

Deformazioni: v(z) = u″

• ε_zz = dv₀/dz
  • -w₀ + yϕ′
  • w₀ - yv″
  • ε_yy ≠ dv ≠ 0
• Deformazione a taglio trascurabile
• ε_zz = w₀′ + yϕ″ = w₀ = yv″
• ε_o: Deformazione assiale
• χ: Curvatura

Equazione di congruenza

• ε_o = w₀′
• χ = v″

Ricavare le equazioni di legame costitutivo per il modello di trave alla Eulero-Bernoulli

Equilibrio:

• N′ = p

Congruenza:

• ε_o = w₀′
• χ = v″

σ = Eε: Legge di Hooke

σ = E(ε_o + χz)

N = ∫_Aσ dA = ∫_A[Eε_o + (χz)E]dA = Eε_o∫ dA + Eχ∫(z) dA = EAε_o

M = ∫_AσzdA = ∫_A[E(ε_o + χz)z]dA = -∫_A[Eε_oz]dA + Eχ∫ z²dA = -Eε_o∫ zdA + Eχ∫ z²dA = EIχ

• N = EAε_o
• M = EIχ

Scrivere le equazioni di congruenza equilibrio indefinito e legame costitutivo per il modello di trave alla Eulero Bernoulli

Equilibrio:

• M′ = q
• N′ = p

Congruenza:

• ε_o = w_o′
• χ = v″

Legame Costitutivo:

• N = EAε_o
• M = EIχ

Linea Elastica

N = EAε₀

ε₀ = ν₀ -> ν

N = EAν₀ -> N = P

^EAν₀/_P assiale

M = EIχ

χ = ν -> ν

^EIν/_ν -> D

EIOν ~ 9 flessionale

Analogia di Mohr

Equilibrio

• - N = P
• T = 9
• M = T

Congruenza

1. νI = ∫ε₀
2. ν = ∫χ
3. φ = ∫ν
4. μ = ∫φ

NN = nouvelle élasticité

au φ changement

φ = -1

φ = -1

Tra. i due sistemi ci sono delle analogie. È necessario costruire una trave analogica che abbia delle quantità fittizie

N^*, T^*, M^*

Risolvendo N^* della seconda trave possiamo ricavare gli spostamenti della prima trave

N -> N^*

I -> T^*

M^* = ?

Dobbiamo trovare l’analogo dei carichi distribuiti e dei vincoli, vincoli -> vincoli analogici

• EA -> P^k
• N = I^k
• 9 -> M^EE

TRAVE ANALOGICA

W=0V=0M=0Φ=1θ=0

W=0V=0M=0Φ=0θ=1

N=0V=0M=0T=0

VB-F=0HA=0-MB+F(2/3)=0MB-F/2=0

M(x)_δ(x)=(F(2)/2EI)

ESERCIZIO 1

ANALISI CINEMATICA

GDL=13-3=39

GNV=2+1+2+4+G1+G2+G10+G11+G12=13GNV=39

30-13=0Angoli 3 conosciutiCordoni=8B1 vincolesterniV, dispositivi 1

ANALISI STATICASTRUTTURA CONGRUENTEISOSTATICA

VA+VH+2F=0HA=0FR-4FR-3F2(VH)√2(C)VH=2F

VA=2FHA=0VH=2F

ΣHA=02F+N1√2/2=0

S1√2+S2=0

S1√2/2

-S3=0

N2=2F-0NA=2√2F

S4+2F=0S3-2F=0S4+2F=0S3-F=0

TAVE ANALOGICA

• EE
• VF
• V
• FR
• HA
• VB

• W=0
• Z=0
• Y=0

• N=0
• MF=0
• TF=0

• V=FR=0
• HA=0

1. MB+FB/2=0

MB=FB/2

Mod(E)=δ(L)-FB/2EI

ESERCIZIO 1

ANALISI CINEMATICA

• GDL=13.3=39
• GDL=2+1+2+4+G6+4=29

39-39=0

ARCHI + SERRATURE = CORDONIONI/

VINCOLI ESTERNI BEN DISPOSTI

ANALISI STATICA — STRUTTURA CONGRUENTE — ISOSTATICA

• PA
• VA
• VH

• VA+VH + F=0
• HA=0

• VA=2F
• HA=0

1. • FP+2FR-3FR+VM/H2=0
   • VA+2F

B

• SJ1=SJ0
• S3-S3/2=F=0

S4=2F

• SL=0
• S3/2F=0

1. • N1=2F₀
   • N1=2F⁰
   • NU=20√²FP

M(0₁) = - ql²/2

1/2 ql²/3

= ql (1/3) 8/2

R=5/24 ql²

qL (1- 3/8) = 3841, 384FT

ESERCIZIO 4

RICAWARE LO SPOSTAMENTO S MEDIANTE PLV

G.D.F = 3 > 6

GDV = 2+2+2 = 6

STRUTTURA ISO STATICO!

^{STRUTTURA CONSEQUENTE}

Va - Vc - ql = 0

HA = 0

-Mc - Vc = 0

Va - Vc + ql = 0

MC - ql²/2

1) Va + Vb - ql/2 = 0

VC - ql = 0

3) Va - ql/2 {VA = ql/2}

M1 - ql/2

3) Va + Vb - ql/2 = 0 {Vc = ql/2}

Mc - ql²

M1 = ql²/2

Struttura Congruente

1. VE + VC = 1 = 0
   • VE = 2
2. VC 3/2 = 0
   • VC = 3
3. VB - VA = 0
   • VB = 2
   • HB = 0
   • HA = 0
4. VA = 2
   • HD = 0
   • MD 12/2 - 2L = 0
     • VA = 2
     • HD = 0
     • MD = L

Controllo

1. -2 + 3 - 1 = 0 ✓
2. 2 + 0 = 0
3. 3E - L - 2L = 0 ✓

Soluzione Statica

M₄

F_{01 m} = 3 F₀ - 3 F → -3Fx + 2 Fz → M_A = -3F_x - 2F_z

[F_3θT ]

[3&2 L₀₁] _m = F₂ → - F ( x -2 )

M₅

F₀;L₁

m₂ = -1 x

x - 1 x - 1

1 . O - O

+ ∫( x (x )

- MI RIFIUTO DI RISOLVERE STO SCHIFO.

Soluzione Statica

1 - VB = 0

HC = 0

- M3 + 2Q = 0

HC: 1 - 1 = 0

HA = 0

- 30 + 20 + Q = 0

Diagrammi

PLV = LV _est - LV _nv

1. δ = 0 = [(NB (NA + NRZ))/EA] + [(MB (M + Z1B))/EI] S

Struttura

Equilibrata

1. Va - Vc = 0
2. Ma + Vc * 2l = 0
3. Vb = 1/2P
4. Vb - Vc =0
5. A - Vc * 2l =0
6. AR1 - NR2 * c/l

Soluzione Statica

• NR2
• NR1
• NR1

Diagrammi

1. M
2. x
3. N
4. M

PIV

1. N = F
2. Ma = FPl

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

E(Q^v) = g^c

E(QF) = C₁

E(QV) = c⁰ x + C₂

E(1Q)= ∆(Qx)²/2 + c₃

E(QV)= ∆(Qx)²/2 + C₂

E(QV)= ∆(Qx²)/6 + (c₂x) + Q_x + c_d

• C₁ = F
• K₃ = O

O = F _c2 = b₂ -> C₂ - B₂

O/2 = b/2 = AB/2 + C₁ -> C₁ ∆ A F²/B

O = O/2 - A F^1/3E

ESERCIZIO 1

• F
• b
• A
• D
• P

• DETERMINARE LO SPOSTAMENTO SUL BARRIERA DIV (SENZA CALCOLOPE SPOSTAMENTI SUL VETTORI)

*ANALISI CINEMATICA

• GDL - 2-3=6
• G-6>0

GdV - 2-3 = 6

Corpo Rigido

vincoli esterni brndispo

-> isotatica

*STRUTTURA A CONGRUENTE

• F
• Ma
• H_c
• V_a
• V_c

• V_a+V_c-F=O
• H_c-O
• (Ma-FR-3V_L) + c

• V_a=F
• Ma=FR

• (Ma)
• (VB)
• (2)
• (V_S)
• (V_C)

• V_C=O
• V_B=O