Report esercitazione di progettazione di sistemi meccanici: Progettazione di un Riduttore

ϕB ϕB ϕB

(xz) = (Ft5) + (Ft4) = 0.000803 10

Passiamo ora al calcolo delle frecce e rotazioni riferendoci al piano xy:

Usiamo lo stesso principio di ragionamento, solo che in questo caso nel calcolo introduciamo il contributo

del momento:

 Fr5:

usiamo per il calcolo il valore della forza Fr5= 2481N, e come quite di albero quelle date da progetto.

f5(x5) = (−Fbx5³ + Fb ( l² – b²) x5) / (6lEJ) = 0.0066273 mm

f4(x4) = (−Fbx4³ + Fb ( l² – b²) x4) / (6lEJ) = 0.005013 mm

φA = + ((ab( l + b)) / ( 6lEJ)) F = 0.000279 rad

φB = − ((ab(l + a)) / ( 6lEJ)) F = -000222 rad

 Fr4:

usiamo per il calcolo il valore della forza Fr4= -744N, e come quite di albero quelle date da progetto.

f5(x5) = (−Fbx5³ + Fb ( l² – b²) x5) / (6lEJ) = -0.001504 mm

f4(x4) = (−Fbx4³ + Fb ( l² – b²) x4) / (6lEJ) = -0.001662 mm

φA = + ((ab( l + b)) / ( 6lEJ)) F = -0.000033 rad

φB = − ((ab(l + a)) / ( 6lEJ)) F = 0.000080 rad

 Ma5:

Usiamo per il calcolo il valore del momento Ma5 = -26185 Nmm, e come quote quelle date da progetto.

Considerando il momento bisogna usare altre formule per i calcolo delle frecce e delle rotazioni:

f (x5) = − ((Ma5x5)/ (6lEJ)) (x5² + 3a² − 6al + 2l²) = 0.0001380 mm

f (x4) = − ((Ma5x4)/ (6lEJ)) (x4² + 3a² − 6al + 2l²) = 0.001203 mm

φA = + ((l² − 3b²)/( 6lEJ)) Ma5 = 0.000033 rad

φB = +(( l² − 3a²)/( 6lEJ)) Ma5 = -0.000063 rad

 Ma4:

Usiamo per il calcolo il valore del momento Ma4 = -29830 Nmm, e come quote quelle date da progetto.

f (x5) = − ((Ma4x4)/ (6lEJ)) (x5² + 3a² − 6al + 2l²) = -0.001893 mm

f (x4) = − ((Ma4x4)/ (6lEJ)) (x4² + 3a² − 6al + 2l²) = -0.001555 mm

φA = + ((l² − 3b²)/( 6lEJ)) Ma4 = -0.000079 rad

φB = +(( l² − 3a²)/( 6lEJ)) Ma4 = -0.000053 rad 11

Calcolati tutti i contributi di frecce e rotazioni per il piano xy, possiamo cobinare i risultati con la

sovrapposizione degli effetti:

f5 (xy) = f5 (Fr5) + f5 (Fr4) + f5 (Ma5) + f5 (Ma4) = -0.020662 mm

f4 (xy) = f4 (Fr5) + f4 (Fr4) + f4 (Ma5) + f4 (Ma4) = -0.017727 mm

φA (xy) = φA (Fr5) + φA (Fr4) + φA (Ma5) + φA (Ma4) = -0.000903 rad

φB (xy) = φB (Fr5) + φB (Fr4) + φB (Ma5) + φB (Ma4) = 0.000803 rad

Possiamo ora effettuare la verifica a deformazione combinando i valori delle frecce e delle rotazioni e vedere

se rientrano nei parametri prestabiliti: √

f5 = (f5 (xz)² + f5 (xy)² ) = 0.02106 mm

√

f4 = (f4 (xz)² + f4 (xy)² ) = 0.01801 mm

il valore tipico di alberi per applicazioni meccaniche affinchè sia verificata la massima dimostrazione è:

≤

max (f5;f4) l 3 10^-4 = 0.0255 mm

i valori delle frecce sono entrambi verificati.

Facciamo la stessa verifica considerando le rotazioni

√

φA = (φA (xz)² + φA (xy)²) = 0.00092 rad

√

φB = (φB (xz)² + φB (xy)²) = 0.00082 rad

il valore tipico di alberi con cuscinetti a rulli e ruote dentate è:

≤

max (φA; φB) 10^-3 rad = 0.001 rad

I valori delle rotazioni sono entrambi verificati.

2. Valutare la velocità critica flessionale.

Per calcolare la velocita critica flessionale bisogna prima ricavare la rigidezza dell’albero sottoposto a

flessione, che varia in base a che ruota prendo in considerazione, dato che osservo variazioni nei valori del

momento d’inerzia:

i diametri delle ruote sono dp4 = 104.17 mm e dp5= 30.97 mm

J4= (πdp4^4)/ 64 = 5780169.251 mm^4

J5 = (πdp5^4)/ 64 = 45158.00217 mm^4

I valori delle rigidezze flessionai sono:

k4 = Fi/ fi = (3 ∙ E ∙ J ∙ (a + b)) / ( a² ∙ b² ) = 4.48 10^8 N/m

k5 = Fi/ fi = (3 ∙ E ∙ J ∙ (a + b)) / ( a² ∙ b² ) = 3.95 10^8 N/m

sapendo che la densità vale ρ=7860 kg/m^3 e che gli spessori valgono s4= 25 mm e s5 = 37 mm posso

ricavarmi le masse: m4 = 1.67 kg e m5 = 0.22 kg 12

Ho adesso tutti i dati per ricavarmi le velocità critiche flessionali per ciascuna ruota:

√

ωcr4 = ( k4/m4) = 16350 rad/s ∙ 60/(2π)= 156130.99 rpm

√

ωcr5 = ( k5/m5) = 42485 rad/s ∙ 60/(2π)= 405701.86 rpm

La prima velocità critica flessionale dell'albero si può calcolare con il metodo di prima approssimazione di

Dunkerley, attraverso la seguente formula:

1/( ωcr,tot)² = 1 /(ωcr4)² + 1 /(ωcr5)²

Invertendo la formula ricavo: ωcr,tot = 15259 rad/s ∙ 60/(2π) = 145711 rpm

3. Valutare la velocità critica torsionale.

Per il calcolo della velocità critica torsionale devo applicare la formula:

√

= ((I4

ωcr,tors + I5)/( I4 ∙ I5) ∙(( G ∙ Jp)/l)) = 60472 rad/s ∙ 60/(2π) = 577464 rpm

In cui:

 G = modulo elastico tangenziale cacolato con la relazione:

G= E / (2 (1+ν) = 7.92 10^10 Pa

 Jp = momento d’inerzia polare della sezione dell’albero calcolato con la relazione:

Jp = (πd^4) / 32 = 3.385 10^-8 m^4

 l = distanza tra le due ruote dentate

 I4 , I5 = momenti d'inerzia di massa delle ruote calcolati con la relazione:

I4=ρ (π / 32) (D^4) s = 2.27 10^-3 kg m² ; I5 = 2.62 10^-3 kg m²

 ρ = densità acciaio = 7860 kg/m3

 D = diametro primitivo ruota dentata

 s = larghezza della ruota dentata 13

Svolgimento: Parte 4

1. Effettuare la verifica della linguetta secondo normativa, cioè valutando la pressione sui fianchi, per il

calettamento della ruota 4 sull’albero centrale del riduttore.

Per effettuare la verfica dela linguetta, valutiamo la pressione sui fianchi distinguendo il caso a carico

nominale Cnom e a carico massimo Cmax = 1.6 Cnom

Utilizziamo per l’analisi i seguenti dati:

 z = numero di linguette = 1

 d = diametro albero = 25 mm

 L = larghezza del contatto linguetta-mozzo = 24.5 mm

 h = 7mm

 t1 = 4.2 mm

 t2 = 3.5 mm

 kφβ = fattore di frazionamento = 1

Venogono inoltre forniti i dati relativi ai materiai che compongono l’albero e il mozzo:

 Albero: Rsn = 735 Mpa; Rp = 845.3 Mpa

 Mozzo: Rsn = 590 Mpa; Rp = 678.5 Mpa

Possiamo adesso passare alle verifiche:

 Verifica a carico nominale:

A carico nominale troviamo il valore del momento torcente pari a: Mt =102232 Nmm

Effettuiamo adesso le verifiche sia per l’albero che per il mozzo:

Albero: calcolo la pressione con la formula:

o p = (Mt ∙ kφβ) /( z ∙ d/ 2 ∙ L ∙ (h – t1)) = 95.4 Mpa

passo adesso al calcolo della pressione limite tramite la relazione:

plim = f s ∙ Rp = 1014.3 Mpa

in cui: f s = fattore di collaborazione=1.2. tiene conto dell’effetto di collaborazione con la sollecitazione di

o compressione rispetto ai valori di resistenza derivati da prove di trazione.

Rp = 1,15∙Rsn

o

Come ultimo passaggio si calcola il coefficiente di sicurezza dele pressioni:

SF = plim/ p= 10.63 ≥ SF,lim= 1.3

In cui: SF,lim = 1.0-1.3 per materiali duttili; SF,lim = 1.3-2.0 per materiali fragili

Mozzo: faccio gli stessi passaggi

o p = (Mt ∙ kφβ) /( z ∙ d/ 2 ∙ L ∙ (h – t2)) = 119.2 Mpa

plim = f s ∙ Rp = 1017.8 Mpa

Per il calcolo della plim considero un fs pari a 1.5

SF = plim/ p= 8.54 ≥ SF,lim= 1.3 14

 Verifica a carico Massimo

Per la verifica a carico Massimo considero il valore di momento torcente come: Mt,max = 1,6 ∙ Mt i cui

valore risulta Mt,max 163571 Nmm. Cio perchè devo calcolare la pressione massima pmax. Come nel caso

precedente distinguo il caso dell’albero e del mozzo:

Albero

o p max = (Mt ∙ kφβ) /( z ∙ d/ 2 ∙ L ∙ (h – t1)) = 152.6 Mpa

passiamo adesso al calcolo della plim tramite la formula:

plim,max = fL (NL ) ∙ Rp = 845.3 Mpa

in cui: f L (NL ) = fattore delle punte di carico = 1;tiene conto dell’effetto del numero di punte di carico. La

o coppia massima si osserva solo durante l’avviamento e la pressione che ne deriva sui fianchi della

linguetta è da considerarsi a fatica. Il fattore f L tiene quindi conto del fatto che, con pochi

avviamenti, la resistenza a fatica è maggiore. Il valore lo si ricava dal grafico.

NL = numero punte di carico

o

Possiamo infine calcolare il coefficiente di sicurezza delle pressioni:

SF = plim,max/ pmax = 5.54 ≥ SF,lim = 1.3

Mozzo: faccio gli stessi passaggi:

o p max = (Mt ∙ kφβ) /( z ∙ d/ 2 ∙ L ∙ (h – t2)) = Mpa

plim,max = fL (NL ) ∙ Rp = 678.5 Mpa

SF = plim,max/ pmax = 3.56 ≥ SF,lim = 1.3 15

2. Ipotizzando una modalità di calettamento alternativa alla linguetta, proporre una soluzione di

calettamento con forzamento, verificando che:

a. l’interferenza minima da progetto sia tale da garantire la trasmissione della coppia;

b. l’interferenza massima non porti a snervamento il mozzo.

a. Dalla condizione di incipiente scorrimento del mozzo sull’albero è possibile ricavare la pressione

minima tra ruota e albero necessaria per garantire la trasmissione coppia:

pmin = (2 ∙ Cmax) / ( π ∙ f ∙ L ∙ d²) = 33.3 Mpa

dove:

 Cmax = 1,6 ∙ Cnom = coppia da trasmettere = 163571 Nmm

 L = larghezza del mozzo = 25mm

 d = diametro albero = 25mm

 f = coefficiente d’attrito = 0.2

L’interferenza minima tra albero e mozzo è esprimibile tramite la seguente relazione:

imin = ((2 ∙ a²) / (a² − 1)) ∙ (pmin ∙ d) / E + 2 ∙ (Rp,albero + Rp,mozzo) = 15μm

in cui :

 imin,el: interferenza minima elastica = ((2 ∙ a²) / (a² − 1)) (pmin ∙ d)/ E = 8.6 μm

 imin,pl: interferenza minima plastica, cioè l’effetto della rugosità superficiale

imin, pl =2 ∙ (Rp,albero + Rp,mozzo) = 6.4 μm

 D = diametro esterno della ruota (si assume diametro primitivo per le ruote dentate)=104.17mm

 Rp = rugosità di picco = 2 ∙ Ra (sotto l’ipotesi semplificativa di profilo di triangolare)

Ra albero = 0.8 μm ricavato da disegno

o Ra mozzo = 0.8 μm ricavato da disegno

o Rp albero = 1.6 μm

o Rp mozzo = 1.6 μm

o

Occorre quindi scegliere l’accoppiamento ISO che garantisca un’interferenza minima superiore a quella

calcolata in precedenza per la trasmissione della coppia:

imin,ISO = ei − ES ≥ imin

scelgo per come accoppiamento un H6r5 che garantisce un’alta precisione e parti non bloccate assialmente.

Dalle tabelle ricavo i vai valori che caratterizzano l’accoppiamento:

Valori tolleranza:

 IT 6 (albero) = 13 μm

 IT 5 (mozzo) = 9 μm

Scostamenti albero:

 EI H6 = 0

 ES H6 = 13 μm

Scostamenti mozzo:

 ei r5 = 28 μm

 es r5= 37 μm 16

Possiamo adesso ricavare il valore dell