Relazione parte 3 Metodi Numerici

Nodo Direzione Spostamento [mm] Nodo Direzione Reazione vincolare [kN]

1 x 0.004 2 x 0

1 y -0.016 2 y 7.929

2 x 0 3 n 2.929

2 y 0 3 n 0

3 x 0 4 x -2.071

3 y 0 4 y 0

4 x 0

4 y 0

Sforzi nelle aste

Asta Sforzo assiale [kN/m] L iniziale [mm] L finale [mm]

1 7.929 120 120.016

2 2.929 169.706 169.714

3 -2.071 120 119.996

Figura 2.02. Deformata della struttura del problema 4.

Figura 2.03. Diagramma degli sforzi normali della struttura del problema 4 (verde = positivo = trazione; rosso = negativo =compressione).

Dopodiché si è effettuato un confronto dei risultati con quelli calcolati con Straus7:

Figura 2.04. Spostamenti nodali della struttura del problema 4.

Figura 2.05. Reazioni vincolari della struttura del problema 4.

Figura 2.06. Deformata della struttura del problema 4.

Figura 2.07. Diagramma degli sforzi normali della struttura del problema 4.

E con quelli ricavati tramite Matlab:

Figura 2.08. Deformata della struttura del problema 4.

Problema 5 (Ferreira)

Si analizza la

struttura in Figura 2.09, assumendo i seguenti dati:
6 × 2h = 3m
L = 3m
E = 70 × 10³ kN/m²
A = 0.0003 m
F = 50 kN
F = 100 kN
F = 50 kN

Figura 2.10. Struttura Problema 5: dimensioni e carichi assegnati.

Di seguito si riportano gli spostamenti, le reazioni vincolari e le sollecitazioni nelle aste (indicando con gli sforzi positivi quelli di trazione) della struttura del problema 5 calcolati utilizzando il programma "Ret2d_incl":

Spostamenti nodali Reazioni vincolari

Sforzi nelle aste

2990.961

Figura 2.11. Deformata della struttura del problema 5.

Figura 2.12. Diagramma degli sforzi normali della struttura del problema 5 (verde = positivo = trazione; rosso = negativo =compressione).

33Dopodiché si è effettuato un confronto dei risultati con quelli calcolati con Straus7:

Figura 2.13. Spostamenti nodali orizzontali della struttura del problema 5.

Figura 2.14. Spostamenti nodali verticali della struttura del problema 5.

Figura 2.15. Reazioni vincolari della struttura del problema 5.

34Figura 2.16. Deformata della struttura del problema 5.

Figura 2.17. Diagramma degli sforzi normali della struttura del problema 5.

E con quelli ricavati tramite Matlab:

35Figura 2.18. Deformata della struttura del problema 5.

36Problema 6 (Ferreira)

Si analizza la struttura in Figura 2.19, assumendo i seguenti dati:

6 25√2asta 1 = m asta 2 = 10m E = 210GPa= 210 x 10 kN/m2 2A = 500 mm = 0,0005 mF = 25 kNK = 2000 kN/m3

Figura 2.19. Struttura Problema 6: dimensioni e carichi

Di seguito si riportano gli spostamenti, le reazioni vincolari e le sollecitazioni nelle aste (indicando con gli sforzi positivi quelli di trazione) della struttura del problema 6 calcolati utilizzando il programma "Ret2d_incl":

Sforzi nelle aste:

Figura 2.20. Deformata della struttura del problema 6.

Figura 2.21. Diagramma degli sforzi normali della struttura del problema 6 (verde = positivo = trazione; rosso = negativo = compressione).

Dopodiché si è effettuato un confronto dei risultati con quelli calcolati con Straus7:

Figura 2.22. Spostamenti nodali della struttura del problema 6.

Figura 2.23. Reazioni vincolari della

struttura del problema 6.

Figura 2.24. Deformata della struttura del problema 6.

Figura 2.25. Diagramma degli sforzi normali della struttura del problema 6.

E con quelli ricavati tramite Matlab: 39

Figura 2.26. Deformata della struttura del problema 6.

Si può osservare come per ogni struttura i risultati corrispondano a quelli ricavati con gli altri metodi di calcolo. 40

Struttura Reticolare Risolta con Matlab e Straus7

Si vogliono confrontare i risultati ottenuti su Matlab tramite il programma di Khennane e tramite il programma "Ret_2D_incl" con quelli ottenuti tramite Straus7 della struttura in figura 2.27, assumendo i seguenti dati:

6 2h = 2m L= 2m E = 30 x 10 kN/m2

Aste di parete: A = 0.02 m

Aste corrente superiore e inferiore: A = 0.045 m

F = 15 kN F = 5 kN F = 7 kN F = 10 kN

Figura 2.27. Struttura reticolare.

Lunghezza iniziale dell'asta, si ottiene la lunghezza finale. Questa però è una situazione che cade in difetto nel momento in cui si ha uno spostamento ortogonale all'asta stessa, perché proprio per l'approssimazione che è stata fatta, considerando l'ipotesi di piccoli spostamenti, gli spostamenti perpendicolari alla linea d'asse non producono sollecitazione nell'asta. Succede allora che se si ha uno spostamento di questo tipo lo sforzo sarà nullo. Questo significa che nel caso 1 la lunghezza finale rimane identica alla lunghezza iniziale.

Per ovviare a questo, anziché procedere al calcolo con la sollecitazione, si procede nel caso 2 al calcolo della lunghezza finale tramite la posizione dei nodi prima e dopo lo spostamento. Le incognite del problema sono diventate quindi gli spostamenti nodali e una volta trovata la soluzione, si conosce la posizione di tutti i nodi. Noti questi valori è possibile calcolare

tutte le lunghezze finali delle astesenza incorrere nell'errore del caso 1.Tra i 2 casi quindi, ci saranno delle differenze legate al fatto che il calcolo della sollecitazione è un calcoloapprossimato e quindi risulterà più corretto il calcolo delle lunghezze effettuato nel caso 2.

Esempio di struttura mal condizionata

La struttura in questione è mal condizionata in quanto possiede in entrambi i casi che studieremo uninsufficiente numero di vincoli, ma può essere ancora risolta risultando auto-equilibrata e con gradi dilabilità non sollecitati.

La prima struttura oggetto di studio è la seguente:

Tramite Ftool non è possibile risolvere la struttura, di conseguenza si è fatto ricorso al programma "Ret_2D_incl" e si sono ricavati i seguenti risultati:

Spostamenti nodali Reazioni vincolari

Nodo Direzione Spostamento [mm] Nodo Direzione Reazione vincolare [kN]

1 x 0 1 x 0

1 y 0

1 y 12 x 29.289 5 x 02 y -70.7113 x 03 y -70.7114 x -29.2894 y -70.7115 x 05 y -141.421

Sforzi nelle aste

Figura 2.36.