Prova d'esame Analisi matematica - 30 quesiti svolti Maggio 2022

Usiamo il teorema del confronto.

L’esponenziale è sempre positiva, 3

moltiplichiamo tutti i termini della disequazione per :

−3 3

Passando ora al limite, le funzioni e tendono entrambe a zero, quindi anche la funzione interna

tende allo stesso limite, ovvero: 2

lim 3 ⋅ cos ( ) = 0

x→−∞ √3

8 Il limite:

vale:

3

R [ ]

2

Il numeratore è la somma dei termini di una progressione aritmetica, il cui primo termine è 4 e il cui

termine generale è 3n+1. Otteniamo perciò:

9 In 0 e 2 la funzione

ha

R [salto in x=0; asintoto verticale in x=2]

10 Le equazioni degli asintoti della funzione:

sono:

[ = , = −, = ]

R Come prima cosa determiniamo il domino: (−∞;

= − {2} = 2) ∪ (2; +∞)

Calcoliamo i limiti agli estremi del domino:

11 La derivata della funzione:

è:

′ =

[ ]

R 2

+ 1

12 Il dominio della funzione

è

[]

R arcsin () arccos ()

Sono funzioni goniometriche inverse e composte. Sia che sono definite per

−1 ≤ () ≤ 1. Per la funzione data bisogna porre perciò:

1

−1 ≤ ≤1

2

+1

Il numeratore è positivo così come il denominatore, quindi la disequazione è sempre verificata in R,

=

ovvero:

13 2

() = cos = ( , 0)

La primitiva di il cui grafico passa pere il punto è:

2

1

(

() = + sin ⋅ cos ) −

R 2 4

2

() = cos

La funzione è definita in R ed è continua in esso, quindi è integrabile. Per trovare le sue

primitive, dobbiamo intergrare: 2

() = ∫ cos

2

L’integrale non è immediato, la funzione cos si può scrivere anche come:

1 + cos 2

2

cos = 2

Mettiamo sotto il segno di integrale:

1 + cos 2 1

∫ = (∫ + ∫ cos 2 )

2 2

e risolviamo:

1 1 1

(∫ + ∫ cos 2 ) = ( + sin 2) +

2 2 2

1 (

() = + sin ⋅ cos ) +

2

Anche la primitiva è definita e continua in R

() comprende infinite primite che differiscono per la costanre. Cerchiamo quella che passa per il

( , 0):

punto A= 2

1 ( )

( ) = + sin ⋅ cos +

2

1

0 = ( + sin ⋅ cos ) +

2 2 2 2

1

(1

0 = + ⋅ 0) + → + = 0 → = −

4 2 4 4

La primitiva cercata è: 1

(

() = + sin ⋅ cos ) −

2 4

14 Senza risolvere il problema di Cauchy ′

= 4 ⋅ sin

{ ( ) = −5

2

scrivere l’equazione della retta tangente nel punto di acissa al grafico della curva integrale di

2

equazione y=f(x), soluzione del problema di Cauchy dato.

= −20 + 10 − 5

R L’equazione esponenziale:

15 4+1

2 ⋅ = 8 ⋅ 32

√4

ha soluzione:

R [x=2]

4+1

2 ⋅ = 8 ⋅ 32

√4

4+1 3 5

√2 2 (2 )

2 ⋅ = ⋅ 2

4+1 3 5

2

)

√(2

2 ⋅ = 2 ⋅ 2

4+1 3+5

2 ⋅ 2 = 2

5+1 3+5

2 = 2

5 + 1 = 3 + 5

5 − 3 = 5 − 1

5 − 3 = 5 − 1

2 = 4 → = 2 −

16 >

La disequazione esponenziale ha soluzione:

5

R > 3 1

17 cos ( − ) ≥ −

La disequazione goniometrica è risolta in:

6 2

R

18 Il modulo del numero complesso +

= −

è:

R [ ]

√ + :

Scriviamo nella forma

Abbiamo ottenuto: 1 2

= =

5 5

il modulo è: 2 2

√

|| = +

19 Il sistema di disequazioni:

ha soluzione:

R [impossibile]

Studiamo le disequazioni del sistema in maniera indipendente e poi riportiamo i risultati nello schema

grafico in modo da poter individuare le soluzioni comuni, date dall’intersezione dei due insiemi di

soluzioni

20 La disequazione irrazionale

è risolta in:

19

R ≤ < 5 ∨ > 7]

[ 4

Risolviamo la terza disequazione trovando le radici dell’associata:

2 2

+ 16 − 8 > 4 − 19 → − 12 + 35 = 0

21 La somma della serie:

vale:

R [ ]

1

= ( )

Il termine generale della serie è ,i termini sono quelli di una progressione geometrica con

5

1 1

, perché l’indice n parte da 1. La ragione

= =

primo termine è . La somma parziale n-esima è:

1 5 5

22 Per quali valori di k la serie +∞ 1

∑

(1 + )

=1

è convergente:

[ < −2 ∨ > 0]

R L’equazione della retta per A(2,0,3) e B(0,4,-2)

23 in forma parametrica è:

= 2 − 2

R { = −4

= 3 − 5

Scriviamo le generiche equazioni parametriche di una retta:

= +

1

= + ∈

{ 1

= +

1

Sono noti due punti, possiamo calcolare una terna di coefficienti direttivi:

= − = −2

2 1

= − = 4

2 1

= − = −5

2 1

Sostituiamo nelle equazioni generiche usando le coordinate di A:

= 2 − 2 ∈

{ = −4

= 3 − 5

24 La superficie sferica di centro C(-1,2,1) e raggio 2, ha equazione:

R + + + − − + = ]

[

Conoscendo centro e raggio usiamo la formula generale:

2 2 2

( ) ( ) ( )

− + − + − =

0 0 0

sostituiamo tutti i valori numerici: 2 2

( ( (

+ 1) + − 2) + − 1) = 4

Sviluppiamo i quadrati: 2 2 2

+ 2 + 1 + − 4 + 4 + − 2 + 1 = 4

Ordiniamo: 2 2 2

+ + + 2 − 4 − 2 + 2 = 0

25 Il dominio della funzione: 2

2 2

+ − 15) + 7 − 6

√ln(

(, ) = 2 2

− − 1

√

è: 2 2

+ ≥ 16

{ 2 2

− > 1

Dobbiamo imporre che siano verificate contemporaneamente le seguenti condizioni:

• il denominatore diverso da zero;

• il radicando al numeratore maggiore o uguale a zero;

• l’argomento del logaritmo maggiore di zero;

• il radicando al denominatore maggiore o uguale a zero.

Osserviamo che la prima e l’ultima condizione possono essere accorpate considerando solo il radicando

positivo

Il sistema da risolvere si riduce a tre condizioni:

2 2

√ − − 1 ≠ 0 2 2

ln( + − 15) ≥ 0

2 2

ln( + − 15) ≥ 0 2 2

→ { + − 15 > 0

2 2

+ − 15 > 0 2 2

− − 1 > 0

2 2

− − 1 ≥ 0

{ 2 2

+ − 15 ≥ 1

2 2

→ { + − 15 > 0

2 2

− − 1 > 0 ≥ 1

Osserviamo che la prima e la seconda sono entrambe vere se il primo membro è

2 2

+ ≥ 16

→{ 2 2

− > 1

La prima disequaazione individua la parte di piano esterna alla circonferenza di raggio 4, compresi i

punti della frontiera di piano esterna all’iperbole.

La seconda individua la parte

L’intersezione delle condizioni, graficamente è la parte colorata

26 Per quali valori di k − 2 = −6 −

2( − 1) + = 4

{ 2(2 − ) + =

il sistema ammette soluzione:

8 3

R = ∨ =

[ ]

3 4

Il sistema è determinato se le due matrici hanno lo stesso rango

Per determinare il rango di A consideriemo il minore non nullo di ordine 1 costituito dall’elemento della

prima riga e della prima colonna di A. Esso si può orlare con gli elementi della seconda riga e della

seconda colonna oppure con gli elementi della terza riga e della seconda colonna.

Il primo di questi minori di annulla per k=3/4, il secondo si annulla per k=8/3. Non vi alcun valore di k

che annulla contemporaneamente tali minori, perciò il rango di A è 2. Per determinare il rango della

matrice completa, possiamo considerare gli stessi minori, quindi il rango di A’ è maggiore o uguale a 2.

Le due matrici hanno lo stesso rango, cioè 2, se k assume uno dei valori prima trovati.

27 Per quali valori di x,y,z la matrice + −−2 0

[ ]

0 − +

+ 3 0 2

è diagonale

[ = , = , = −]

R Una matrice è diagonale quando gli elementi non appartenenti alla diagonale principale sono tutti nulli.

Imponiamo allora che ciò si verifichi: −−2=0

{ + =0

+ 3 = 0

risolviamo il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:

−−2=0 −3 + − 2 = 0 −2 = 2 = −1

→{ → →

{ { {

= − = − = − = 1

= −3 = −3 = −3 =3

Sostituendo i valori trovati, la matrice associata al sistema è così diagonalizzata:

4 0 0

[ ]

0 2 0

0 0 −2

28 L’integrale doppio della funzione (, ) = cos( + ) = ×

[0, ] [0,× ]

sul rettangolo vale:

4 2

R − ]

[√

La funzione data è continua, L’integrale doppio sul B è:

4 2

∫ = ∬ = ∫ cos( + ) =

[∫ ]

0 0

4 = 2

[sin(

= ∫ + )]

=0

0

4

= ∫ (sin ( + ) − sin )

2

0

4 (cos