Prova d'esame Analisi matematica - 30 quesiti svolti Maggio 2022

Università Telematica Pegaso Insegnamenti: Analisi Matematica I e II

30 quesiti svolti da prova d’esame aggiornato Maggio 2022

1. Calcolo del limite

Il limite \( 24x - 12 \lim_{{x \to \infty}} \left(1 - \frac{2x}{x}\right) \) vale: [ ]

Cerchiamo di ricondurre il limite a forme notevoli.

2. Soluzione del problema di Cauchy

La soluzione del problema di Cauchy \( y'' = y \cdot x \), \( y(0) = 1 \), è: [ ]

Determiniamo l'integrale generale dell'equazione differenziale.

Per risolvere il problema a variabili separate: \( y' - 2y = y \), \( y(0) = 1 \), osserviamo che \( y = 0 \) non è soluzione del problema dato che:

Proseguiamo: \( y' - 2y - 2y - 2 = y \) → \( y = x \) → \( x - y = -2y \)

Integrando i due membri: \(\int -2 \, dy = \int -2x \, dx\)

\( -2y = x^2 + C \)

Imponiamo la condizione iniziale per determinare la costante:

\( 1 = x^2 + C \) → \( 1 = 0 + C \) → \( C = 1 \)

Quindi abbiamo: \( -2y = x^2 + 1 \) → \( y = -\frac{x^2 + 1}{2} \)

Passando ai reciproci: \( y = -\frac{x^2}{2} + 1 \)

3. Equazione differenziale

L'integrale generale dell'equazione differenziale \( y - 4y' + 3 = 0 \) è: [ ]

Risolviamo l'equazione omogenea associata:

\( y - 4y' + 3 = 0 \)

Passando all'equazione caratteristica: \( r^2 - 4r + 3 = 0 \)

Le cui soluzioni sono: \( r_1 = 1 \), \( r_2 = 3 \)

L'integrale generale dell'omogenea associata è: \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} \)

Sommando il termine noto, abbiamo l'integrale generale dell'equazione completa: \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} + \frac{1}{3} \)

4. Derivata e punti di non derivabilità

Data la funzione \( f(x) \) definita e continua in \([-2, 4]\), dal grafico della sua derivata prima per \(x=0\) e per \(x=3\), la funzione presenta: [punti di non derivabilità]

Dal grafico della derivata prima si evince che essa non è definita in questi due punti, quindi la funzione non è derivabile in \(x = 0\) e \(x = 3\). Si tratta di punti di non derivabilità. Abbiamo infatti: \(x = 0\), \(x = 3\).

La funzione in \(x = 0\) ammette un punto di cuspide. I limiti a destra e a sinistra di \(x = 3\) sono entrambi +∞, quindi la funzione ammette un flesso a tangente orizzontale in \(x = 3\).

5. Periodo della funzione

Il periodo della funzione è: [ ]

Utilizziamo la formula di duplicazione del coseno per riscrivere la funzione in maniera più semplice, essendo infatti: \( 2\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \)

Ponendo: \(x = 3 + 4\) e separando il -2: \( f(x) = 2\cos(x) - 1 - 14\) → \( f(x) = \cos(2x) - 1 \) → \( f(x) = \cos(3 + 4x) - 1 \)

Per le relazioni tra gli archi associati: \(\cos(6x + 4) = -\sin(6x)\)

La funzione diventa: \( f(x) = -\sin(6x) - 1 \)

Ricordiamo che se una funzione ha periodo \( T \), allora la funzione ha periodo \(\frac{T}{6}\).

La funzione seno ha periodo 2π, quindi per la nostra funzione \( f(x) = -\sin(6x) - 1 \), si ha: \(\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\).

6. Funzione dispari

La funzione è: [dispari]

La funzione è definita in tutto \(\mathbb{R}\). Il dominio è simmetrico rispetto all’origine.

Verifichiamo che è dispari: \( f(-x) = 2(-x)|-x| - 3 \)