Parabola e sua equazione, problema geometrico di secondo grado sul rombo

Complementi di Algebra

Equazione di secondo grado e Parabola

Esercizi svolti

• La parabola e la sua equazione
• Problema geometrico di secondo grado sul rombo

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Equazione di secondo grado e Parabola

Esercizi svolti

• La parabola e la sua equazione
• Problema geometrico di secondo grado sul rombo

Considera la parabola avente come asse di simmetria la retta di equazione x=5 e passante per i punti A(3; 2) e B(1; −4).

Qual è l’equazione della parabola?

E quali sono le coordinate del vertice V?

C è l’ulteriore punto di intersezione della retta y = 5 − x con la parabola.

Quanto vale l’area del triangolo BCV?

La parabola è ad asse di simmetria verticale e l’equazione dell’asse è x=5. L’equazione della parabola è del tipo:

y = ax² + bx + c

Troviamo i parametri a,b e c imponendo il passaggio della curva per i punti A e B dati e sfruttando la condizione sull’asse di simmetria.

1. 2 = 9a + 3b + c
2. −4 = a + b + c
3. b = −10a

→ 2 = 9a + 3b + c

→ −4 = a + b + c

b = −10a

→ 2 = 9a + 3b + c

→ c = 9a − 4

b = −10a

→ 2 = 9a − 30a + 9a − 4

→ c = 9a − 4

b = −10a

{

6 = −12a

c = 9a − 4

b = −10a

a = -¹/₂

c = -¹⁷/₂

b = 5

L’equazione della parabola è \( y = \frac{1}{2}x^2 + 5x - \frac{17}{2} \).

Il vertice della parabola ha ascissa 5 quindi sostituendo otteniamo la sua ordinata: \( V(5;4) \).

Determiniamo le coordinate di C risolvendo il sistema di secondo grado:

\[\begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2 + 5x - \frac{17}{2} \\ y = 5 - x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 9 \\ y_1 = -4 \end{cases} \quad \begin{cases} x_2 = 3 \\ y_2 = 2 \end{cases}\]

Il punto \( C(9;-4) \) è il secondo punto di intersezione oltre ad \( A \).

\( C \) e \( B \) hanno la stessa ordinata quindi \( BC = |9 - 1| = 8 \).

8 è anche la distanza del punto \( V(5;4) \) dalla retta \( y = -4 \) che contiene il segmento \( BC \).

L’area richiesta è quindi \( A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32 \).

Risolvi il problema

ABCD è un rombo di perimetro 120 cm e O è il punto di intersezione delle sue diagonali.

H è il piede della perpendicolare condotta da O al lato AB.

Quanto vale l’area dei triangoli OBH e OAH, sapendo che OH è 12 cm?

[36 cm²; 144 cm²]

ABCD rombo

2p = 120 cm

OH ⊥ AB

OH = 12 cm

Poniamo AH = x e BH = y.

Sapendo che il perimetro è 120 cm e quindi che ciascun lato misura 30 cm possiamo ottenere la prima relazione:

x + y = 30.

Inoltre, per il secondo Teorema di Euclide, nel triangolo rettangolo OAB si ha

OH² = BH ⋅ AH, da cui la seconda relazione:

xy = 12².

Impostiamo il sistema simmetrico:

{ x + y = 30 xy = 144 }

Da tale sistema otteniamo l’equazione risolvente:

t² − 30t + 144 = 0.

Le due soluzioni dell’equazione sono 6 e 24.

Le soluzioni del sistema sono le coppie (6;24) e (24;6).