Matematica finanziaria - esercizi svolti e spiegati

APPUNTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

Esercizi svolti e spiegati

Scuola di Economia e Management

Torino

M.R.

condizione di chiusura economica → S_c = ∑_i=1ⁿ C_i

condizione di chiusura simmetrica → S = ∑_i=1ⁿ R_i Φ(i)

condizione di chiusura finale

→ N = ∑_i=1ⁿ R_i f(T-x,i)

(solo spaziale se x non varia negli spaziali)

Un prestito di 1000 euro viene rimborsato attraverso il versamento di 4 rate semestrali posticipate. Redigere il piano di ammortamento nell’ipotesi che quest’ultimo preveda il versamento di quote capitali costanti (ammortamento all’italiana) e che il tasso di interesse applicato sia del 20% nominale annuo convertibile due volte l’anno.

La prima cosa da fare è trasformare il tasso annuo nominale convertibile semestralmente in tasso semestrale:

i₂ = i/2

i₂ = 20% / 2 = 10%

Successivamente si utilizza il debito residuo indicato con la lettera D_t e lo si divide per il numero di rate che richiede l’esercizio:

C₁ = C₂ = C₃ = C₄ = C_n = D_t/n

D/n = 1.000/4 = 250

Abbiamo dunque così trovato le 4 quote capitali costanti C ciascuna di 250.

Successivamente andremo a calcolare la quota interessi I al tempo 1, data dalla moltiplicazione fra il tasso semestrale i₂ e il debito al tempo 0:

I₁ = i₂ * D₀ = 10% * 1.000 = 100

Infine la rata R sarà data dalla somma fra quota capitale C e quota interessi I:

R = C + I

R₁ = C₁ + I₁ = 250 + 100 = 350

Il debito residuo al tempo 1 sarà dato dalla differenza fra debito residuo al tempo 0 D₀ e la quota capitale al tempo 1 C₁:

D₁ = D₀ - C₁

D₁ = D₀ - C₁ = 1.000 – 250 = 750

Si va avanti fino all’ultima quota capitale C₄ e fino a che il debito residuo si annulla.

I₂ = i₂ * D₁ = 10% * 750 = 75

R₂ = C₁ + I₂ = 250 + 75 = 325

D₂ = D₁ – C₂ = 750 – 250 = 500

I₃ = i₂ * D₂ = 10% * 500 = 50

R₃ = C₃ + I₃ = 250 + 50 = 300

D₃ = D₂ – C₃ = 500 – 250 = 250

I₄ = i₂ * D₃ = 10% * 250 = 25

R₄ = C₄ + I₄ = 250 + 25 = 275

D₄ = C₄ = 250 – 250 = 0

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TAEG: TASSO ANNUO EFFETTIVO GLOBALE

Il TAEG tiene conto, nel caso in cui siano presenti, degli oneri accessori.

• Nel caso in cui ci sia un’operazione finanziaria che comporta oneri accessori, avremo:

TAEG > TAE

• Nel caso in cui ci sia un’operazione finanziaria che non comporta oneri accessori, avremo:

TAEG = TAE

La formula del TAEG è:

F⁼ - [R₁ / (1 + x)]¹ - [R₂ / (1 + x)]² - ……… - [R_n / (1 + x)]ⁿ = 0

• E^* = F – spese portate in riduzione dal finanziamento iniziale. Tali spese sono per esempio le spese d’istruttoria, apertura pratica, spese accessorie. Nel caso particolare in cui le spese accessorie siano totalmente finanziate non vanno sottratte ma bensì sommate.
• F: finanziamento iniziale.
• R: rata
• R^* = R + spese portate in aumento della generica rata.

TAE: TASSO ANNUO EFFETTIVO

Il TAE, a differenza del TAEG, non tiene conto degli oneri accessori.

La formula del TAE è:

F = P₄ / (1 + x)^t₄ - P_x / (1 + x)^t_x - ….. - P_n / (1 + x)^t_n = 0

Nel calcolare il TAE, oltre a non tenere conto degli oneri accessori, non si tiene conto nemmeno dell’aumento delle rate, e quindi bisogna riportare il finanziamento e le rate senza che esse subiscano riduzioni o aumenti.

1)

Un soggetto ottiene un finanziamento di 6000 €. L'operazione comporta spese accessorie pari a 300 € da sostenere alla stipula del contratto. Il rimborso avviene attraverso 3 rate semestrali di 2200 € ciascuna. Il TAEG è il tasso annuo che risolve l'equazione:

F' è dato dalla sottrazione fra il finanziamento di 6.000 ed il pagamento delle spese accessorie da pagarsi al momento della stipula del contratto 300:

F' = F - spese apertura pratica

F' = 6.000 - 300 = 5.700

La rata R', trimestrale, è di 2.200.

Quindi la formula del TAEG è:

[F' - [R'₁ / (1 + x)¹] - [R'₂ / (1 + x)²] - … - [R'_ₙ / (1 + x)^ₙ]] = 0

5.700 - [2.200 / (1 + x)^1/2] - [2.200 / (1 + x)] - [2.200 / (1 + x)^3/2] = 0

N.B.: In questo caso si eleva ad 6/12, 12/12, 18/12, in quanto abbiamo 3 rate semestrali; semplificando avremo 6/12 = 1/2, 12/12 = 1, 18/12 = 3/2.

Nel caso in cui un'operazione finanziaria comporta il pagamento di oneri accessori il TAEG è sempre maggiore del TAE

RATE UNITARIE

La Rendita Posticipata (ossia pagamento alla fine) nel caso di un montante è:

La Rendita Posticipata nel caso di un valore attuale è:

La Rendita Anticipata (ossia pagamento all'inizio) nel caso di un montante è:

La Rendita Anticipata nel caso di un montante è:

RATE NON UNITARIE

Le Rate Non Unitarie sono di ammontare costante pari a R.

R = M / s_n1

R = A / a_n1

TAN = tasso annuo nominale

TAE = tasso annuo effettivo

Un contratto di leasing riguarda un bene con valore di fornitura A = 100. La quota in contanti è pari al 10% del valore del bene. I canoni, in numero di 24 sono mensili posticipati e costanti, d'ammontare R. Il valore di riscatto del bene al termine del secondo anno sia pari al 5% del valore di fornitura A. Calcolare R nell'ipotesi in cui il tasso annuo effettivo (TAE) praticato sia del 10%.

La prima cosa da fare quando ci si ritrova davanti ad un contratto di Leasing è mettere un po' d'ordine e scrivere i dati che abbiamo e la nostra incognita:

Indichiamo con la lettera A il valore di fornitura di un certo bene:

A = 100

Indichiamo con la lettera B l'anticipo, che è dato dal 10% del valore di fornitura A:

B = 10% * 100 = 10

Indichiamo con la lettera E_n il valore di riscatto, che è dato dal 5% del valore di fornitura A:

E_n = 5% * 100 = 5

La formula per calcolare R è la seguente:

^{A - B = R * a₂₄, _1,10 + E_n * (1+i)-n}

In questo caso, leggermente differente da quello precedente, dobbiamo trasformare il TAE seguendo questo semplice passaggio (sotto radice avremo soltanto 1+i mentre il -1 rimane fuori):

i_m = ¹²√(1,10) - 1 _{(i12 perché il tasso è mensile ➔ 12 mesi)}

Ora sostituiamo i dati che abbiamo ricavato e mettiamo in evidenza la nostra incognita (R):

100 - 10 = R * a₂₄, _0,10 + 5 * (1+0,10)^-24/12

R * a₂₄, _0,10 = 90 - 5 * (1+0,10)^-24/12

R = ^{90 - 5 * (1,10)-24/12} _{a24, 0,10}

R = ^{90 - 5 * (1,10)-24/12} _{1 - (1+i)^-24/12}

i

R = ^{90 - 5 * (1,10)-2}

_{1 - (1,10)^-2}

¹²√(1,10) - 1

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