Matematica finanziaria - Esercizi

R R R R R

1 2 3 4 5

1/1/3 1/1/4 1/1/5 1/1/6 1/1/7

2) piano di costituzione:

Z Fz – 1 Interessi Rate Fz

1 / / 100 100

2 100 10 100 210

3 210 21 100 331

4 331 33,1 100 464,18

5 464,1 46,41 100 610,51 (torna)

3) Fino all’1/1/5 = 10%, poi 12%

2 2 2

C = Rs ¬ (1 + 0,12) + Rs ¬ = 331(1 + 0,12) + Rs ¬ = 627,2064 nota: con (1 + 0,12) porto a scadenza.

3 0,1 2 0,12 2 0,12

Facoltativo)

Z Fz – 1 Interessi Rate Fz

1 / / 100 100

2 100 10 100 210

3 210 21 100 331 (fin qui =)

4 331 39,72 100 470,72

5 470,72 56,4864 100 627,2064

4) R R R R R

1 2 3 4 5

1/1/3 1/1/4 1/1/5 1/1/6 1/1/7

Prima cosa da fare è passare ai tassi annui.

→ 2 2

i ½ = 0,05 1 + i = (1 + i ½ ) = (1 + 0,05) i = 0,1025

→

1.000 = Rs ¬ R = 162,98

5 0,1025 3

5) C = 1000(1 + 0,05) = 1177,625

1/7/8

• Esercizio 30

A = 2000

n = 4

i = 1%

2000 = Ra ¬

4 0,01

R = 512,5621

Z R Dz Iz Cz

0 / 2000 / /

1 512,5621 1507,4378 20 492,5621

2 512,5621 1009,95 15,074378 497,4877

3 512,5621 507,4874 10,0995 502,4626

≈

4 512,5621 0 5,074874 507,4872

• Esercizio 31: Tema d’esame

Il debito di 4.000 concesso 1/1/01 viene ammortizzato in 4 anni nei seguenti modi:

Caso A: Amm.to con 2 rate annue posticipate a quote di capitale costante con i precisato dopo;

Caso B: Amm.to in capitalizzazione composta semestrale di 2% con le seguenti R:

R = 800 disponibile il 1/7/01

1

R = ? 1/1/02

2

R = 800 1/7/02

3 = 1.000 1/1/03

R

4

Caso C: Amm.to mediante versamento di 2R costanti = 2.200 versate rispettivamente l’1/1/02 e l’1/1/03.

Determinare il tasso annuo in ammortamento con capitalizzazione composta annua. 8

Svolgimento:

Caso A: stendere il piano d’ammortamento con i = 5% e stendere il piano d’amm.to ipotizzando tassi annui del 5% nel

primo anno e del 6% nel 2° anno a quote di capitale prefissate.

A = 4.000 n = 4 C = 4.000/2 = 2.000 i = 5%

Z Cz Dz Iz Rz

0 / 4.000 / /

1 2.000 2.000 200 2.200

2 2.000 / 100 2.100

Z i Cz Dz Iz Rz

z

0 / / 4.000 / /

1 0,05 2.000 2.000 200 2.200

2 0,06 2.000 / 120 2.120

Caso B:

1) Descrivere condizione di ammortamento e determinare R

2

2) Determinare il D subito dopo il versamento della seconda rata a

3) Determinare il valore del prestito subito dopo il versamento della 2 rata al tasso annuo di valutazione del 6%

convenzione esponenziale.

800 R 800 1.000

2

1/7/01 1/1/02 1/7/02 1/1/03

–1 –2 –3 –4

1) 4.000 = 800 (1 + 0,02) + R (1 + 0,02) + 800 (1 + 0,02) + 1.000 (1 + 0,02)

2

4.000 = 784,3137255 + R (0,961168781) + 753,8578677 + 923,845426

2 → 2

R (0,961168781) = 4.000 – 2.462,017019 R = (4.000 – 2462,017019) * 1,02 = 1.600,117

2 2

–1 –2

2) D = 800 (1 + 0,02) + 1.000 (1 + 0,02) = 1.745,482507

1/1/02 –½ –1

3) V = 800 (1 + 0,06) + 1.000 (1 + 0,06) = 1.958,88? 1.720,424916

1/1/02

Caso C: 2200 2200

1/1/01 1/1/02 1/1/03 4.000 → →

–1 –2 –1 –2

4.000 = 2.200 (1 + i) + 2.200 (1 + i) 4.000 = 2.200 [(1 + i) * (1 + i) ] semplificando ottengo:

→ → →

–1 –2 –1 –2

40 = 22 (1 + i) + 22 (1 + i) 20 = 11 (1 + i) + 11 (1 + i) i = –1,51 non accettabile

0,06596

–1

Non ho ben capito come abbia risolto l’esercizio in classe, ma a casa l’ho risolto così: ho posto (1 + i) = z.

∆=11

2 2

Viene una parabola: 11z + 11z – 20 = 0; con Ruffini: – 4 (–20) 11 = 1001; z1,2 = neg, (–11+31,63858404)/(2*11) = 0,938117456;

→ i = 0,065964601 e il risultato torna! ;)

–1 –1

Quindi: (1 + 1) = 0,938117456; ho elevato ambo i lati alla – 1: 1 + i = 0,938117456

• Esercizio 32: A = 1.000 in 10 anni

Determinare R: 1) con un ammortamento francese con tasso annuo del 4%

2) a quote di ammortamento costante con tasso 4%

┐ → →

–n

1) 1.000 = R a 0,04 1.000 = R * [1 – (1 + i) ]/0,04 R = 123,2909443

10

2) Rz = A (1/n + i – i/n(z – 1)) cioè: R = I + C

R = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(1 – 1)) = 140 cioè: Rata1 = 1.000x4% + 1.000/10 = 140

1

R = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(2 – 1)) = 136 cioè: Rata2 = 900x4% + 1.000/10 = 136 e così via…

2

R = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(3 – 1)) = 132

3

R = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(4 – 1)) = 128

4

R = 104

10

Nell’ipotesi di ammortamento francese: a

3) determinare il debito residuo subito dopo il versamento della 7 rata

┐

R R R D = R a = 342,14358

7 3 0,04

7 8 9 10 a

4) determinare il valore del prestito dopo il versamento della 7 rata se il tasso di valutazione i = 0,02 con

½

capitalizzazione composta esponenziale.

–2 –4 –6

D = R (1 + 0,02) + R (1 + 0,02) + R (1 + 0,02) = 341,88

7 a a a

5) Subito dopo il versamento della 7 rata si sospendano i versamenti all’8 e 9 rata. Determinare l’ammontare R’

a

della 10 rata necessaria per completare l’ammortamento al tasso annuo i = 0,04.

┐ –10

1000 = 123,2909 a + R’ (1 + 0,04) = 384,865

7 0,04

• Esercizio 33

Si hanno tre titoli A, B, C, tutti di valore nominale = al valore di rimborso Ci = C scadenti a 2 anni da oggi.

A titolo zero coupon bond valore nominale C = 94,27

0

B titolo coupon bond cedola annua post = 12 valore emissione C = 117,27

0 = 115,44

C titolo coupon bond cedola 6 mesi posticipata = 5,5 valore emissione C

0

Determinare il tasso effettivo di rendimento dei tre titoli. 9

Soluzione: < 0 non accettabile Si poteva fare anche Ma col TER si

→ 2

–2 100=94,27(1+TER) attualizza.

A 94,27 100 94,27 = 100(1 + x) x = 0,029943133

0 2 –1 –2

B 117,27 12 12+100 117,27 = 12(1 + x) + 112(1 + x)

2

0 1 2 117,27(1 + x) – 12(1 + x) – 112 = 0

√12 →

2

0 + x = 12 ± + 4 x 117 x 112 / (2 x 117,27) x = 0,029959… (la soluzione <0 no!)

–4

C 115,44 5,5 5,5 5,5 5,5+100 115,44 = 5,5 a┐4x + 100 (1 + x )

½ ½

0 1 2 applico il teorema di iterazione. È stabile sullo 0,0149

x = 5,5/115,44 + (100/115,44 – 1)/s4┐x x = 0,047643797 – 0,133749/s4┐x

0 0

x = 0,047643797; x = 0,0165035; x = 0,015022972; x = 0,0149500; x = 0,014947107

0 1 2 3 4

• Esercizio 34 α, φ

3 3 3*8/12 3+100 Calcolare dietimo corso secco e corso tel quel. i* = 0,04

1/1/00 1/1/01 1/1/02 1/1/03 1/1/04 p = 4/12

1/5/02 1 – p = 8/12

α(4/12) = Ci * p = 3 * 4/12 = 1 dietimo 98,43+1 = 99,43 corso tel quel

φ(2 –8/12 – 1 – 8/12

+ 4/12 * 0,04) = 3 * 8/12 (1 + 0,04) + 103 (1 + 0,04) = 98,43 corso secco

δ → δ

–8/12 – 1 – 8/12

(2 + 4/12; 0,04) = 3 (1 + 0,04) + 103 (1 + 0,04) = 99,405 corso tel quel >

• Esercizio 35: Compito d’esame sulla duration:

Oggi 1/1/00 è disponibile il titolo di valore nominale C = 100 che dà diritto a cedole annuali al tasso annuo nominale

del 6%; prima cedola al 1/1/01 e rimborso alla pari al 1/1/03. Sia i* = 0,05 il tasso di valutazione. Determinare:

1) Duration e valore del titolo oggi;

2) Variazione relativa del titolo quando il tasso passa da i* = 0,05 a i* + di* = 0,05 + 0,55;

3) Legame tra la duration e la variazione relativa. Verificare numericamente;

4) 1/04/00 dietimo, corso secco e corso tel quel.

Soluzione:

1/4/00 6 6 6+100

oggi

1/1/00 1/1/01 1/1/02 1/1/03

–1 –2 –3

1) V(0) = 6 (1 + 0,05) + 6 (1 + 0,05) + 106 (1 + 0,05) = 102,7232

–1 –2 –3

D(0) = 6 x 1 (1 + 0,05) + 6 x 2 (1 + 0,05) + 106 x 3 (1 + 0,05) = 2,83 la duration è una misura di tempo

102,7232

2) Variazione relativa = [V(0,55) – V(0,05)]/V(0,05) = – 0,01337847 era sbagliato!(?) correzione calcolo:

≈ →

Variazione relativa – D (0) 1/(1 + i*) di* = –2,83/(1 + 0,05) x 0,55 = – 0 , 0 1

3 5 0

3 6 –1,482780952

– 0 , 0 1

3 5 0

3 6

α(p) α(3/12) →

3) p = 3/12 1 – p = 9/12 = 6 x 3/12 = 1,5 dietimo

–9/12 –1–9/12 –2–9/12

corso secco = (6 – 1,5)(1 + 0,05) +6*1,05 +106*1,05 = 102,53 corso tel quel = 104,03

• Esercizio 36: primo appello sessione estiva 2006 (svolto in classe il giorno 18/4/7)

Il capitale di 10.000 € è ammortizzato in 10 anni con un ammortamento uniforme. Se il tasso di ammortamento è del

5% annuo, si determini:

1) le quote capitale e compilare le prime 3 righe del piano di ammortamento

2) calcolare quanto vale la decima rata

3) calcolare la nuda proprietà alla scadenza = 5 al tasso annuo di valutazione i* = 0,04

Supponiamo che, dopo il versamento della terza rata, si sospenda l’ammortamento a quote di capitale costanti e si

prosegua l’ammortamento con un ammortamento francese ancora per i 7 anni previsti al tasso annuo del 5%.

4) determinare la rata costante da versare

5) verificare la condizione di ammortamento del debito iniziale di 10.000€.

Soluzione:

1) A = 10.000

n = 10

i = 0,05

Z C Dz Iz Rz

0 - 10.000 - -

1 1.000 9.000 500 1.500

2 1.000 8.000 450 1.450

3 1.000 7.000 400 1.400

Avevamo detto che anche se non abbiamo le quote capitali, possiamo determinare lo stesso l’ammortamento in questi

casi, inoltre lo costruiamo non per righe ma per colonne.

→

2) Rz = A (1/n + i – i/n(z – 1)) R = 10.000 (1/10 + 0,05 – 0,05/10 * 9) = 1.050 (ci si poteva arrivare anche

10

proseguendo con il piano di ammortamento)

3) x x x x x

z = 5 6 7 8 9 10

┐ ┐

= C a = 1.000 a = 4.451,82

A

5;0,04 5 0,04 5 0,04

4) x x x R R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

Su quale debito io pago? Sul debito residuo, che abbiamo già calcolato = 7.000 e va ammortizzato come fosse francese.

┐0,05 →

D = 7000 = R a R = 1.209,738729

3 7 ┐0,05

–1 –2 –3

10.000 = R (1 + 0,05) + R (1 + 0,05) + R (1 + 0,05) + R/3 a =

1 2 3 7

┐0,05 ┐0,05

m –3

Il differimento (R differito3) che avevamo chiamato v : R/3 a = R a (1 + 0,05)

7 7

• Esercizio 37

Abbiamo sempre un debito di 10.000 contratto l’1/1/5 ed ammortizzato con 10 rate annue posticipate al tasso annuo

i = 0,06 in uno dei seguenti modi:

a) ammortamento francese

i. determinare la rata, l’ammontare della sesta quota capitale e quello della sesta quota interessi

δ

ii. determinare il debito residuo ed il valore del prestito al tasso annuo istantaneo = 0,05

subito dopo il versamento della sesta rata.<